從古典幾何到現(xiàn)代幾何(編輯修改稿)
2025-07-16 23:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 非歐幾何并行發(fā)展的高維幾何、射影幾何、微分幾何以及較晚才出現(xiàn)的拓撲學等， 19世紀的幾何學展現(xiàn)了無限廣闊的發(fā)展前景。 在這樣的形勢下， 尋找不同幾何學之間的內(nèi)在聯(lián)系，用統(tǒng)一的觀點來解釋它們 ， 便成為數(shù)學家們追求的一個 目標 。 克萊因 統(tǒng)一幾何學的第一個大膽計劃是由德國數(shù)學家克萊因提出的。 1872年，克萊因發(fā)表了著名的演講 《 愛爾朗根綱要 》 ，闡述了幾何學統(tǒng)一的新思想。 克萊因的 Erlangen program 他在二十二歲的時候，前往德國小城 Erlangen 的一所大學任教。依據(jù)德國的習慣，新教授上任必須做一次公開演講，而他講演的結(jié)果──Erlangen program，就是這個新幾何學。 克萊因幾何學的新思想 ? 所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學問。 ? 他把幾何學建立在 群 的觀念上：一個空間有一個 變換群 ，允許把空間的圖形從這個位置移到另一個位置。因此有了一個群之后，便有一種幾何，它研究所有經(jīng)過這個變換群 不變 的幾何性質(zhì)。 ? 這個群可以是歐幾里得運動群，也可以是投影變換群，或者其它種種的群。因為群的選擇不同，也就得到許多不同的幾何學；其中包括非歐幾何學。 克萊因的 Erlangen program ? 這樣一來，不僅 19世紀涌現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相干的幾何學被聯(lián)系到一起，而且變換群的任何一種分類也對應于幾何學的一種分類。 ? 并非所有幾何都能納入克萊因方案，例如今天的 代數(shù)幾何 和 微分幾何 ，然而克萊因的綱領(lǐng)的確能給大部分幾何提供一個系統(tǒng)的分類方法，對幾何思想的發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響。 群 ? 群是數(shù)學上一個基本的結(jié)構(gòu)。 ? 數(shù)學上總是要運算，加、減、乘、除；研究幾何的話，把這個東西從這個位置移動到其它的位置，也是個 運算 。 ? 這樣的運算（也稱為運動）有一個特別的性質(zhì)，也就是說：把一個物體從甲地移到乙地，再移到丙地，可直接把物體從甲地移到丙地，即兩個運動的結(jié)果，可經(jīng)由一次運動來達成，具有這個特殊性質(zhì)的，便稱其成一 群 。 豐富的研究工具 ?微積分 的誕生解決了彎曲對象的計算問題，如曲線的弧長、曲面域的面積、幾何體的體積等； ?代數(shù)學 的進展使得幾何對象能用精確的代數(shù)語言來重新描述； ?微分方程 的進展使得幾何中最基本的存在性問題得以解決 。 ?計算機技術(shù) 的更新使得幾何對象得以直觀再現(xiàn) ?豐富的 數(shù)學語言 使問題的描述更為方便、精確 微分幾何學的起步 ?解析幾何學中用來處理二次曲線和二次曲面的初等代數(shù)學方法仍然 不能 處理 一般曲線和一般曲面 。 ?隨著微積分的發(fā)展 ,分析學進入幾何學，可以利用 微積分 來揭示空間更一般的曲線和曲面的幾何性質(zhì) ,這就形成了三維空間中曲線和曲面的 微分幾何學 (經(jīng)典微分幾何 )； ?主要包括 曲線論 和 曲面論 兩部分內(nèi)容： 微分幾何學 曲線論 ? 曲線論： 表現(xiàn)為如下兩個方面的內(nèi)容： ? 描寫它的弧長（曲線上兩點之間的距離）、曲率（反映曲線的彎曲程度）和撓率（描寫曲線的扭曲程度），這三個兩刻畫了曲線的形狀和大??； ? 兩條曲線能夠在一個剛體運動下彼此重合的充要條件是它們的弧長相等，并且曲率和撓率作為弧長的函數(shù)也對應地相同。 因此，弧長、曲率和撓率構(gòu)成了空間曲線的完全不變量系統(tǒng)。 微分幾何學 曲面論 ? 曲面論： 與曲線相比較，情況比較復雜： ? 將曲面上兩個無限鄰近點之間的距離表示成 通常稱為曲面的度量形式（或第一基本形式），它可以用來描寫曲面上曲線的弧長、兩個方向之間的夾角、曲面域的面積 ? 將到鄰近點的切平面之間的距離表示成 通常稱為曲面的第二基本形式，由它結(jié)合第一基本形式可以用來描述曲面的彎曲。 ? 第一和第二基本形式構(gòu)成曲面的完全不變量系統(tǒng) 222 2 G d vF d u d vE d uds ???22 2 N d vM d u d vL d uII ???Euler Monge Gauss ? 對微分幾何做出過杰出貢獻的數(shù)學家有 Euler和Monge,他們的工作是如何描寫和刻畫曲面 ? 對微分幾何做出劃時代貢獻的當推德國數(shù)學家Gauss 高斯對經(jīng)典微分幾何學的貢獻 Gauss的主要貢獻表現(xiàn)在以下三個方面： 證明了第一和第二基本形式不是彼此獨立的； 曲面的許多彎曲性質(zhì)完全由度量形式?jīng)Q定；特別 Gauss曲率是內(nèi)蘊幾何量（ 高斯絕妙定理 ） 闡明了非歐幾何與歐氏幾何的實質(zhì)區(qū)別在于空間具有不同的度量形式，從而具有不同的彎曲性質(zhì)。歐氏空間是平直的，而非歐空間是負常彎曲的； 高斯把他的絕妙定理寫入 《 曲面通論 》一書中 。 他指出必須把曲面的 內(nèi)在性質(zhì) ，即身處曲面內(nèi)扁小甲蟲所經(jīng)驗的屬性 ， 與其 外在的 ， 即依賴于曲面如何置于空間的性質(zhì)區(qū)分開來 ， 而只有內(nèi)在性質(zhì) ， 才值得「 幾何學家焚膏繼晷 ， 兀兀窮年地上下求索 」 (most worthy of being diligently explored by geometers)。 后世稱研究這些性質(zhì)的學問為 內(nèi)蘊幾何 。 如測地線 、 曲面上三角形的內(nèi)角和 、 平行移動等概念； 內(nèi)蘊幾何 從球面剪取一片曲面，其高斯曲率為正常數(shù)。反過來說，局部而言，任何具正常曲率的曲面都是球面的一部分。 類似地，從雙曲曲面剪取的一片，其高斯曲率恒等于負一，而反過來說曲率等于負一的曲面與雙面曲面局部相等。雙曲曲面曾在討論歐氏第五公設(shè)時論及。 高斯曲率 決 定曲面的 內(nèi)蘊幾何 高斯顯然因他
教學教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1