從古典幾何到現(xiàn)代幾何-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 )(2dA SKS????? 要等到 費(fèi)馬 （ 1629）和 笛卡兒（ 1637）引入坐標(biāo)系統(tǒng)后，人們才能用代數(shù)的方式來表示運(yùn)動(dòng)軌跡。這是法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒（ 1596～ 1650年），對(duì)于研究幾何，引進(jìn)了坐標(biāo)的概念，因此可用解析的方法來處理幾何的問題。世界上的事情，如果只用二維的平面，往往不足以表示，需要取更多的坐標(biāo)。 解析 幾何 的 理論價(jià)值 解析幾何把幾何研究的范圍大大地?cái)U(kuò)大了，而科學(xué)發(fā)展的基本現(xiàn)象，就是要擴(kuò)大研究的范圍，了解更多的情形。 坐標(biāo)系統(tǒng)讓我們繞過歐氏公理來研究幾何圖形 ，它 也領(lǐng)導(dǎo)我們進(jìn)入了高維空間。 天體的運(yùn)動(dòng)是透過歐氏空間的整體坐標(biāo)系統(tǒng)來描述的 ， 在那里空間是靜止的 ，而時(shí)間則獨(dú)立于空間之外 。 」 “ Absolute space, in its own nature and with regard to anything external, always remains similar and unmovable.” 牛頓利用一個(gè)旋轉(zhuǎn)水桶的實(shí)驗(yàn) ，來說明絕對(duì)空間的存在性 ， 而慣性坐標(biāo)便是在絕對(duì)空間中靜止的坐標(biāo) 。 1872年，克萊因發(fā)表了著名的演講 《 愛爾朗根綱要 》 ，闡述了幾何學(xué)統(tǒng)一的新思想。 ? 他把幾何學(xué)建立在 群 的觀念上：一個(gè)空間有一個(gè) 變換群 ，允許把空間的圖形從這個(gè)位置移到另一個(gè)位置。 克萊因的 Erlangen program ? 這樣一來，不僅 19世紀(jì)涌現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相干的幾何學(xué)被聯(lián)系到一起，而且變換群的任何一種分類也對(duì)應(yīng)于幾何學(xué)的一種分類。 ? 這樣的運(yùn)算（也稱為運(yùn)動(dòng)）有一個(gè)特別的性質(zhì)，也就是說：把一個(gè)物體從甲地移到乙地，再移到丙地，可直接把物體從甲地移到丙地，即兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，可經(jīng)由一次運(yùn)動(dòng)來達(dá)成，具有這個(gè)特殊性質(zhì)的，便稱其成一 群 。 因此，弧長(zhǎng)、曲率和撓率構(gòu)成了空間曲線的完全不變量系統(tǒng)。 他指出必須把曲面的 內(nèi)在性質(zhì) ，即身處曲面內(nèi)扁小甲蟲所經(jīng)驗(yàn)的屬性 ， 與其 外在的 ， 即依賴于曲面如何置于空間的性質(zhì)區(qū)分開來 ， 而只有內(nèi)在性質(zhì) ， 才值得「 幾何學(xué)家焚膏繼晷 ， 兀兀窮年地上下求索 」 (most worthy of being diligently explored by geometers)。 類似地，從雙曲曲面剪取的一片，其高斯曲率恒等于負(fù)一，而反過來說曲率等于負(fù)一的曲面與雙面曲面局部相等。 高斯：「 我愈來愈相信，人類的理性并不能證明或理解幾何的必要性。 高維流形 的內(nèi)蘊(yùn)幾何是由黎曼提出的 。 黎曼 抽象 空間 （ 現(xiàn)代幾何學(xué)的誕生 ） 黎曼在 1852年的 就職演說 第一位 創(chuàng)建廣義的新幾何學(xué)體系的數(shù)學(xué)家是黎曼 .他必須通過就職演講 ， 才能擔(dān)任無報(bào)酬的哥廷根大學(xué)的講師職位 .他提交了三個(gè)題目由教授會(huì)選擇 ， 他希望他們選中前兩個(gè)中的一個(gè) ， 這是他已經(jīng)準(zhǔn)備好了的 .但是他輕率地提出的第三個(gè)題目正是高斯仔細(xì)考慮了 60年或更長(zhǎng)時(shí)間的問題 ——幾何基礎(chǔ) ， 而這個(gè)題目他沒有準(zhǔn)備 .使黎曼大吃一驚的是 ， 高斯指定 第三個(gè)題目 . 黎曼在 1852年的 就職演說 ―所以我又處在絕境中了 ， ” 他給父親寫信說 ， “ 因?yàn)槲也坏貌蛔鞒鲞@個(gè)題目 .我恢復(fù)了對(duì)電 、 磁 、 光和引力的研究 ， 我已經(jīng)進(jìn)行到可能沒有絲毫懷疑地發(fā)表它 .我越來越相信高斯已經(jīng)在這個(gè)題目上工作了許多年 ， 并對(duì)一些朋友談到過它 .‖ 黎曼在 1852年的 就職演說 黎曼的就職演講 （ 1854年 6月 10日 ） 得到熱情接受 .這篇演講無論就數(shù)學(xué)還是就文筆來說 ， 都是杰作 .它改革了幾何學(xué)的研究 ,并且被認(rèn)為是整個(gè)數(shù)學(xué)史上篇幅最短 ， 內(nèi)容最豐富的文章 .在演講的結(jié)尾 ， 他說 ， “ 這樣一種研究的價(jià)值也許在于能使我們從先入之見中解放出來 ， 需要用某種不同于歐幾里得幾何學(xué)的幾何學(xué)來研究物理定律的日子必將到來 .‖ 這些預(yù)見在他死后五十年 ， 由于愛因斯坦的廣義相對(duì)論而實(shí)現(xiàn)了 . 就職演說的貢獻(xiàn) ? 對(duì)黎曼的簡(jiǎn)單扼要的論文的任何解釋 ， 都不能說明這篇論文的全部?jī)?nèi)涵 .有三點(diǎn)最基本的貢獻(xiàn)需要指出 .這就是 流形 的概念 ， 度量 的定義和流形的 曲率 的概念 . ? 將高斯關(guān)于歐氏空間中曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何推廣成任意空間的內(nèi)蘊(yùn)幾何 。 從此以后 ， 幾何學(xué)家研究的空間不再依賴于歐氏空間 ， 我們可以獨(dú)立地 討論 抽象空間 的幾何了（ 即 黎曼幾何 ） 。 ? 大致說起來，愛因斯坦的廣義相對(duì)論是要把物理幾何化 ，也就是說把物理的性質(zhì)變?yōu)閹缀蔚男再|(zhì)，因此黎曼幾何就成為物理學(xué)家一定要念的一門數(shù)學(xué)。 ? LeviCivita 以為在 偽黎曼幾何 （廣義相對(duì)論里的其中一種，稱為勞倫茲幾何）都有一個(gè)很基本的性質(zhì)，那就是平行性；在這個(gè)時(shí)候，空間不再是只用一個(gè)坐標(biāo)系表示的空間，而是需要很多不同的坐標(biāo)系才能表現(xiàn)的「流形」 (manifold)，這樣又把幾何研究的空間推廣了。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 ? 用以表示流形的坐標(biāo)系是任意的，因此可能是非線性的坐標(biāo)，在處理上就變得比較困難 。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 ? 又因?yàn)橥負(fù)鋵W(xué) (topology) 的發(fā)展，我們把這個(gè)觀念推廣了，不一定要談切空間，任意一個(gè)空間都可以。 ? 法國(guó)數(shù)學(xué)家加當(dāng)（ 18691951）于 1923年提出了一般聯(lián)絡(luò)的理論，是纖維叢概念的發(fā)端，加當(dāng)還是利用外微分形式和活動(dòng)標(biāo)形法的首創(chuàng)者。 現(xiàn)代微分幾何 陳省身： “ 我為我們說不清楚它（指現(xiàn)代微分幾何）是什么而高興，我希望它不要象其它數(shù)學(xué)分支那樣被公理化，保持著它把局部和整體相結(jié)合的精神，它在今后長(zhǎng)時(shí)期中仍將是一片肥沃
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