幾何條件代數(shù)化與代數(shù)運(yùn)算幾何化(編輯修改稿)
2024-09-25 21:35 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3 11| | ( ) ( 1 )2 8 8 8NP ? ? ? ? ? ? ?, 2 21 32| | 1 ( 2 ) | | 2A B x x? ? ? ?g, 32||4AM ? , 222 2 1 1 3 3| | ( ) ( )4 8 2 8 8MN ? ? ? ? ?,22 3 11| | | | | | 8N A A M M N? ? ?,故 | | | |NP NA? ,又 | | | |NP NQ? , | | | |NA NB? ,所以 | | | | | | | |NA NP NB NQ???, 由此知 A 、 P 、 B 、 Q 四點(diǎn)在以 N 為圓心 ,NA 為半徑的圓上 。 （第四次周考） )0,(1:2222 ??? babyaxE 過(guò) M（ 2， 2 ）， N（ 6 ， 1）兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . （ 1）求橢圓 E 的方程； 5 （ 2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓 ,使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A， B，且 OBOA? ？若存在，寫出該圓的方程，并求 |AB|的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由 . 分析： 幾何條件代 數(shù)化： 平面向量條件 OBOA? 本質(zhì)特征： OA 與 OB 垂直；代數(shù)關(guān)系： 1 2 1 2 0x x y y??. 圓的 切線 圓心到切線的距離等于半徑 ，找 ,km關(guān)系。 |AB|的取值范圍 代數(shù)關(guān)系：弦長(zhǎng)公式和 范圍問(wèn)題多樣化 。 一般問(wèn)題特殊化 分 斜率 存在與 不存在 討論。 無(wú)斜率 任何條件 時(shí) ，直線 設(shè)成 mkxy ?? . 代數(shù)運(yùn)算幾何 化 利用 1 2 1 2 0x x y y??找 ,km關(guān)系， )1(38 22 km ?? 把二元轉(zhuǎn)化為一元。 解題方向：聯(lián)立直線和橢圓方程解題。 ：（ 1）將 NM, 的坐標(biāo)代入 橢圓 E 的方程得 ???????????1161242222baba 解得 .4,8 22 ?? ba 所以橢圓 E 的方程為 .148 22 ?? yx （ 2）證明：假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為 222 Ryx ?? ，其中 .20 ??R 設(shè)該圓的任意一條切線 AB 和 橢圓 E 交于 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）兩點(diǎn)， 當(dāng)直線 AB 的斜率存在時(shí)，令直線 AB 的方程為 mkxy ?? ，① 將其代入 橢圓 E 的方程并整理得 .0824)12( 222 ????? mk mxxk 由韋達(dá)定理得 .12 82,12 42221221 ??????? kmxxk kmxx ② 因?yàn)? OBOA? ， 所以 .02121 ?? yyxx ③ 將①代入③并整理得 0)()1( 221212 ????? mxxkmxxk 聯(lián)立②得 )1(38 22 km ?? ④ 因?yàn)橹本€ AB 和圓相切，因此21|| kmR ?? ,由④得 ,362?R 所以 存在圓 3822 ?? yx 滿足題意 . 6 當(dāng)切線 AB 的斜率不存在時(shí)，易得 ,382221 ?? xx由橢圓方程得382221 ?? yy 顯然 OBOA? ， 綜上所述，存在圓3822 ?? yx滿足題意 . 解法一： 當(dāng)切線 AB 的斜率存在時(shí)，由①②④得 221221 )()(|| yyxxAB ???? 2212 )(1 xxk ??? 212212 4)(1 xxxxk ???? 12 824)12 4(1 22222 ???????? kmk kmk 12 132112 124 2222??????? kkkk 令 12 122 ??? kkt ，則 121 ??t ，因此 .12)43(364)321(32|| 22 ?????? tttAB 所以 ，12||332 2 ?? AB 即 32||3 64 ?? AB . 當(dāng)切線 AB 的斜率不存在時(shí)，易得 364|| ?AB ，所以 ?? ||364 AB .32 綜上所述，存在圓心在原點(diǎn)的圓 3822 ?? yx 滿足題意 ，且 32||3 64 ?? AB . （第五次周考） 橢圓 22 1(
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