【文章內(nèi)容簡介】 門嚴格的演繹科學，并通過集合論與其它數(shù)學分支密切地聯(lián)系者?？茽柲炅_夫是20世紀最杰出的數(shù)學家之一，他不僅僅是公理化概率論的建立者，在數(shù)學和力學的眾多領域他都做出了開創(chuàng)或奠基性的貢獻，同時，他還是出色的教育家。由于概率論等其它許多領域的杰出貢獻，科爾莫戈羅夫榮獲80年的沃爾夫獎。七、進一步的發(fā)展在公理化基礎上，現(xiàn)代概率論取得了一系列理論突破。公理化概率論首先使隨機過程的研究獲得了新的起點。1931年，科爾莫戈羅夫用分析的方法奠定了一類普通的隨機過程——馬爾可夫過程的理論基礎?？茽柲炅_夫之后，對隨機過程的研究做出重大貢獻而影響著整個現(xiàn)代概率論的重要代表人物有萊維(,18861971)、辛欽、杜布()和伊藤清等。1948年萊維出版的著作《隨機過程與布朗運動》提出了獨立增量過程的一般理論，并以此為基礎極大地推進了作為一類特殊馬爾可夫過程的布朗運動的研究。1934年，辛欽提出平穩(wěn)過程的相關理論。1939年，維爾()引進“鞅”的概念，1950年起，杜布對鞅概念進行了系統(tǒng)的研究而使鞅論成為一門獨立的分支。從1942年開始，日本數(shù)學家伊藤清引進了隨機積分與隨機微分方程，不僅開辟了隨機過程研究的新道路，而且為隨機分析這門數(shù)學新分支的創(chuàng)立和發(fā)展奠定了基礎。像任何一門公理化的數(shù)學分支一樣，公理化的概率論的應用范圍被大大拓廣。 概率論的產(chǎn)生 　　希羅多德在他的巨著《歷史》中記錄到，早在公元前1500年，埃及人為了忘卻饑餓，經(jīng)常聚集在一起擲骰子，游戲發(fā)展到后來，到了公元前1200年，有了立方體的骰子，6個面上刻上數(shù)字，和現(xiàn)代的賭博工具已經(jīng)沒有了區(qū)別。但概率論的概念直到文藝復興后才出現(xiàn)，概率論出現(xiàn)如此遲緩，有人認為是人類的道德規(guī)范影響了對賭博的研究——既然賭博被視為不道德的，那么將機會性游戲作為科學研究的對象也就是大逆不道?！　〉谝粋€有意識地計算賭博勝算的是文藝復興時期意大利醫(yī)生、數(shù)學家卡當。據(jù)說卡當曾參加過這樣的一種賭法：把兩顆骰子擲出去，以每個骰子朝上的點數(shù)之和作為賭的內(nèi)容．已知骰子的六個面上分別為1～6點，那么，賭注下在多少點上最有利？234567345678456789567891067891011789101112兩個骰子朝上的面共有36種可能，點數(shù)之和分別可為2～12共11種．從圖中可知，7是最容易出現(xiàn)的和數(shù)，它出現(xiàn)的概率是．　 　卡當曾預言說押7最好．　　現(xiàn)在看來這個想法是很簡單的，可是在卡當?shù)臅r代，應該說是很杰出的思想方法．他在一生中超過40年的時間里，幾乎每天都參與賭博，而且是帶著數(shù)學的頭腦去觀察、去思考。最終，在一本名叫《機會性游戲手冊》的書中，他公布了調(diào)查和思考的結果和關于賭博實踐的體會。這本書寫于1526年左右，但一直到一百多年后的1663年才出版。書中已包含了等可能性事件的概率的思想萌芽，即一個特殊結果的概率是所有達到這個結果的可能方法的數(shù)目被一個事件的所有可能結果的總和所除。　　在那個時代，雖然概率論的萌芽有些進展，但還沒有出現(xiàn)真正的概率論．十七世紀中葉，法國貴族德梅勒在一次和賭友擲骰子中，各押賭注32個金幣．雙方約定，梅勒如果先擲出三次6點，或者賭友先擲三次4點，就贏了對方．賭博進行了一段時間，梅勒已經(jīng)兩次擲出6點，賭友已經(jīng)一次擲出4點，這時候梅勒接到通知，要他馬上陪同國王接見外賓，賭博只好中斷了．請問：兩個人應該怎樣分這64個金幣才算合理呢？　　 賭友說，他要再碰上兩次4點，或梅勒要再碰上一次6點就算贏，所以他有權分得梅勒的一半，即梅勒分64個金幣的 ，自己分64個金幣的 ．梅勒爭辯說，不對，即使下一次賭友擲出了4點，他還可以得到 ，即32個金幣；再加上下一次他還有一半希望得到16個金幣，所以他應該分得64個金幣的 ，賭友只能分得64個金幣的 ．兩人到底誰說得對呢？　　于是就寫信向當時法國的最具權威的數(shù)學家帕斯卡請教，正是這封信使概率論向前邁出了第一步．帕斯卡是17世紀有名的“神童”數(shù)學家．可是，梅勒提出的“分賭注”的問題，卻把他難住了．他苦苦思考了兩三年，到1654年才算有了點眉目，于是寫信給他的好友費馬，兩人討論結果，取得了一致的意見：梅勒的分法是對的，他應得64個金幣的 ，賭友應得64金幣的 ．這時有位荷蘭的數(shù)學家惠更斯在巴黎聽到這件新聞；也參加了他們的討論．討論結果，惠更斯把它寫成一本書叫做《論賭博中的計算》（1657年），這就是概率論最早的一部著作．于是，一個嶄新的數(shù)學分支——概率論登上了歷史舞臺．　　概率論現(xiàn)在已經(jīng)成了數(shù)學的一個重要分支，最初它只是對于帶機遇性游戲的分析，而現(xiàn)在已經(jīng)是一門龐大的數(shù)學理論，它在社會學、生物學、物理學和化學等許多領域發(fā)揮著十分重要的作用． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史 17世紀，正當研究必然性事件的數(shù)理關系獲得較大發(fā)展的時候，一個研究偶然事件數(shù)量關系的數(shù)學分支開始出現(xiàn)，這就是概率論．　　早在16世紀，賭博中的偶然現(xiàn)象就開始引起人們的注意．數(shù)學家卡丹諾(Cardano)首先覺察到，賭博輸贏雖然是偶然的，但較大的賭博次數(shù)會呈現(xiàn)一定的規(guī)律性, 卡丹諾為此還寫了一本《論賭博》的小冊子，書中計算了擲兩顆骰子或三顆骰子時，在一切可能的方法中有多少方法得到某一點數(shù)．據(jù)說，曾與卡丹諾在三次方程發(fā)明權上發(fā)生爭論的塔爾塔里亞，也曾做過類似的實驗．　　促使概率論產(chǎn)生的強大動力來自社會實踐．首先是保險事業(yè)．文藝復興后，隨著航海事業(yè)的發(fā)展，意大利開始出現(xiàn)海上保險業(yè)務．16世紀末，在歐洲不少國家已把保險業(yè)務擴大到其它工商業(yè)上，保險的對象都是偶然性事件．為了保證保險公司贏利，又使參加保險的人愿意參加保險，就需要根據(jù)對大量偶然現(xiàn)象規(guī)律性的分析，去創(chuàng)立保險的一般理論．于是，一種專門適用于分析偶然現(xiàn)象的數(shù)學工具也就成為十分必要了．　　不過，作為數(shù)學科學之一的概率論，其基礎并不是在上述實際問題的材料上形成的．因為這些問題的大量隨機現(xiàn)象，常被許多錯綜復雜的因素所干擾，它使難以呈“自然的隨機狀態(tài)”．因此必須從簡單的材料來研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，這種材料就是所謂的“隨機博弈”．在近代概率論創(chuàng)立之前，人們正是通過對這種隨機博弈現(xiàn)象的分析,注意到了它的一些特性, 比如“多次實驗中的頻率穩(wěn)定性”等，然后經(jīng)加工提煉而形成了概率論.　　荷蘭數(shù)學家、物理學家惠更斯（Huygens）于1657年發(fā)表了關于概率論的早期著作《論賭博中的計算》．在此期間，法國的費爾馬（Fermat）與帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探討了隨機博弈現(xiàn)象中所出現(xiàn)的概率論的基本定理和法則．惠更斯等人的工作建立了概率和數(shù)學期望等主要概念，找出了它們的基本性質(zhì)和演算方法，從而塑造了概率論的雛形．　　18世紀是概率論的正式形成和發(fā)展時期．1713年，貝努利（Bernoulli）的名著《推想的藝術》發(fā)表．在這部著作中，貝努利明確指出了概率論最重要的定律之一――“大數(shù)定律”，并且給出了證明，這使以往建立在經(jīng)驗之上的頻率穩(wěn)定性推測理論化了，從此概率論從對特殊問題的求解，發(fā)展到了一般的理論概括．　　繼貝努利之后，法國數(shù)學家棣謨佛（Abraham de Moiver）于1781年發(fā)表了《機遇原理》．書中提出了概率乘法法則，以及“正態(tài)分”和“正態(tài)分布律”的概念，為概率論的“中心極限定理”的建立奠定了基礎．　　1706年法國數(shù)學家蒲豐（Comte de Buffon）的《偶然性的算術試驗》完成，他把概率和幾何結合起來，開始了幾何概率的研究，他提出的“蒲豐問題”就是采取概率的方法來求圓周率π的嘗試．　　通過貝努利和棣謨佛的努力，使數(shù)學方法有效地應用于概率研究之中，這就把概率論的特殊發(fā)展同數(shù)學的一般發(fā)展聯(lián)系起來，使概率論一開始就成為數(shù)學的一個分支．　　概率論問世不久，就在應用方面發(fā)揮了重要的作用．牛痘在歐洲大規(guī)模接種之后，曾因副作用引起爭議．這時貝努利的侄子丹尼爾貝努利（Daniel Bernoulli）根據(jù)大量的統(tǒng)計資料，作出了種牛痘能延長人類平均壽命三年的結論，消除了一些人的恐懼和懷疑；歐拉（Euler）將概率論應用于人口統(tǒng)計和保險，寫出了《關于死亡率和人口增長率問題的研究》，《關于孤兒保險》等文章；泊松（Poisson）又將概率應用于射擊的各種問題的研究，提出了《打靶概率研究報告》．總之，概率論在18世紀確立后，就充分地反映了其廣泛的實踐意義．　　19世紀概率論朝著建立完整的理論體系和更廣泛的應用方向發(fā)展．其中為之作出較大貢獻的有：法國數(shù)學家拉普拉斯（Laplace），德國數(shù)學家高斯（Gauss），英國物理學家、數(shù)學家麥克斯韋（Maxwell），美國數(shù)學家、物理學家吉布斯（Gibbs）等．概率論的廣泛應用，使它于18和19兩個世紀成為熱門學科，幾乎所有的科學領域，包括神學等社會科學都企圖借助于概率論去解決問題，這在一定程度上造成了“濫用”的情況，因此到19世紀后半期時，人們不得不重新對概率進行檢查，為它奠定牢固的邏輯基礎，使它成為一門強有力的學科．　　1917年蘇聯(lián)科學家伯恩斯坦首先給出了概率論的公理體系．1933年柯爾莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率論的公理結構，從此，更現(xiàn)代意義上的完整的概率論臻于完成．　　相對于其它許多數(shù)學分支而言，數(shù)理統(tǒng)計是一個比較年輕的數(shù)學分支．多數(shù)人認為它的形成是在20世紀40年代克拉美（）的著作《統(tǒng)計學的數(shù)學方法》問世之時，它使得1945年以前的25年間英、美統(tǒng)計學家在統(tǒng)計學方面的工作與法、俄數(shù)學家在概率論方面的工作結合起來，從而形成數(shù)理統(tǒng)計這門學科．它是以對隨機現(xiàn)象觀測所取得的資料為出發(fā)點，以概率論為基礎來研究隨機現(xiàn)象的一門學科，它有很多分支，但其基本內(nèi)容為采集樣本和統(tǒng)計推斷兩大部分．發(fā)展到今天的現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計學，又經(jīng)歷了各種歷史變遷．　　統(tǒng)計的早期開端大約是在公元前１世紀初的人口普查計算中，這是統(tǒng)計性質(zhì)的工作，但還不能算作是現(xiàn)代意義下的統(tǒng)計學．到了18世紀，統(tǒng)計才開始向一門獨立的學科發(fā)展，用于描述表征一個狀態(tài)的條件的一些特征，這是由于受到概率論的影響．　　高斯從描述天文觀測的誤差而引進正態(tài)分布，并使用最小二乘法作為估計方法，是近代數(shù)理統(tǒng)計學發(fā)展初期的重大事件，18世紀到19世紀初期的這些貢獻，對社會發(fā)展有很大的影響．例如，用正態(tài)分布描述觀測數(shù)據(jù)后來被廣泛地用到生物學中，其應用是如此普遍，以至在19世紀相當長的時期內(nèi)，包括高爾頓（Galton）在內(nèi)的一些學者，認為這個分布可用于描述幾乎是一切常見的數(shù)據(jù)．直到現(xiàn)在，有關正態(tài)分布的統(tǒng)計方法，仍占據(jù)著常用統(tǒng)計方法中很重要的一部分．最小二乘法方面的工作，在20世紀初以來，又經(jīng)過了一些學者的發(fā)展，如今成了數(shù)理統(tǒng)計學中的主要方法．　　從高斯到20世紀初這一段時間，統(tǒng)計學理論發(fā)展不快，但仍有若干工作對后世產(chǎn)生了很大的影響．其中，如貝葉斯（Bayes）在1763年發(fā)表的《論有關機遇問題的求解》，提出了進行統(tǒng)計推斷的方法論方面的一種見解，在這個時期中逐步發(fā)展成統(tǒng)計學中的貝葉斯學派（如今，這個學派的影響愈來愈大）．現(xiàn)在我們所理解的統(tǒng)計推斷程序，最早的是貝葉斯方法，高斯和拉普拉斯應用貝葉斯定理討論了參數(shù)的估計法，那時使用的符號和術語，至今仍然沿用．再如前面提到的高爾頓在回歸方面的先驅(qū)性工作，也是這個時期中的主要發(fā)展，他在遺傳研究中為了弄清父子兩輩特征的相關關系，揭示了統(tǒng)計方法在生物學研究中的應用，他引進回歸直線、相關系數(shù)的概念，創(chuàng)始了回歸分析．　　數(shù)理統(tǒng)計學發(fā)展史上極重要的一個時期是從19世紀到二次大戰(zhàn)結束．現(xiàn)在，多數(shù)人傾向于把現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計學的起點和達到成熟定為這個時期的始末．這確是數(shù)理統(tǒng)計學蓬勃發(fā)展的一個時期，許多重要的基本觀點、方法，統(tǒng)計學中主要的分支學科，都是在這個時期建立和發(fā)展起來的．以費歇爾（）和皮爾遜（）為首的英國統(tǒng)計學派，在這個時期起了主導作用，特別是費歇爾．　　繼高爾頓之后，皮爾遜進一步發(fā)展了回歸與相關的理論，成功地創(chuàng)建了生物統(tǒng)計學，并得到了“總體”的概念，1891年之后，皮爾遜潛心研究區(qū)分物種時用的數(shù)據(jù)的分布理論，提出了“概率”和“相關”的概念．接著，又提出標準差、正態(tài)曲線、平均變差、均方根誤差等一系列數(shù)理統(tǒng)計基本術語．皮爾遜致力于大樣本理論的研究，他發(fā)現(xiàn)不少生物方面的數(shù)據(jù)有顯著的偏態(tài)，不適合用正態(tài)分布去刻畫，為此他提出了后來以他的名字命名的分布族，為估計這個分布族中的參數(shù)，他提出了“矩法”．為考察實際數(shù)據(jù)與這族分布的擬合分布優(yōu)劣問題，他引進了著名“χ２檢驗法”，并在理論上研究了其性質(zhì)．這個檢驗法是假設檢驗最早、最典型的方法，他在理論分布完全給定的情況下求出了檢驗統(tǒng)計量的極限分布．1901年，他創(chuàng)辦了《生物統(tǒng)計學》，使數(shù)理統(tǒng)計有了自己的陣地，這是２０世紀初葉數(shù)學的重大收獲之一．　　1908年皮爾遜的學生戈賽特（Gosset）發(fā)現(xiàn)了Z的精確分布，創(chuàng)始了“精確樣本理論”．他署名“Student”在《生物統(tǒng)計學》上發(fā)表文章，改進了皮爾遜的方法．他的發(fā)現(xiàn)不僅不再依靠近似計算，而且能用所謂小樣本進行統(tǒng)計推斷，并使統(tǒng)計學的對象由集團現(xiàn)象轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機現(xiàn)象．現(xiàn)“Student分布”已成為數(shù)理統(tǒng)計學中的常用工具，“Student氏”也是一個常見的術語．　　英國實驗遺傳學家兼統(tǒng)計學家費歇爾，是將數(shù)理統(tǒng)計作為一門數(shù)學學科的奠基者，他開創(chuàng)的試驗設計法，憑借隨機化的手段成功地把概率模型帶進了實驗領域，并建立了方差分析法來分析這種模型．費歇爾的試驗設計，既把實踐帶入理論的視野內(nèi)，又促進了實踐的進展，從而大量地節(jié)省了人力、物力，試驗設計這個主題，后來為眾多數(shù)學家所發(fā)展．費歇爾還引進了顯著性檢驗的概念，成為假設檢驗理論的先驅(qū)．他考察了估計的精度與樣本所具有的信息之間的關系而得到信息量概念，他對測量數(shù)據(jù)中的信息，壓縮數(shù)據(jù)而不損失信息，以及對一個模型的參數(shù)估計等貢獻了完善的理論概念，他把一致性、有效性和充分性作為參數(shù)估計量應具備的基本性質(zhì)．同時還在1912年提出了極大似然法，這是應用上最廣的一種估計法．他在２０年代的工作，奠定了參數(shù)估計的理論基礎．關于χ２檢驗，費歇爾1924 年解決了理論分布包含有限個參數(shù)情況，基于此方法的列表檢驗，在應用上有重要意義．費歇爾在一般的統(tǒng)計思想方面也作出過重要的貢獻，他提出的“信任推斷法”，在統(tǒng)計學界引起了相當大的