【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 是 151 cm.? (9分 ) tan CECAE?155tan ?1557 .5 0 0t DFDBF234ta .3?2345 .8 5 0思路分析 根據(jù) Rt△ CAE和 Rt△ DBF中的邊和角的數(shù)值 ,用正切函數(shù)分別求得 AE,BF的長(zhǎng)度 , 得 EF=AE+AB+BF,由矩形的性質(zhì)可知 CH=EF,可以求出問(wèn)題的答案 . 方法總結(jié) 解直角三角形的應(yīng)用問(wèn)題 ,一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形 ,結(jié)合所給的線段或角 ,借 助邊角關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題 ,若幾何圖形中無(wú)直角三角形 ,則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三 角形 ,再解直角三角形 ,求出實(shí)際問(wèn)題的答案 . 9.(2022云南昆明 ,19,7分 )小婷在放學(xué)路上 ,看到隧道上方有一塊宣傳“中國(guó) —— 南亞博覽會(huì)” 的豎直標(biāo)語(yǔ)牌 CD,她在 A點(diǎn)測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌頂端 D處的仰角為 42176。,測(cè)得隧道底端 B處的俯角為 30176。 (B,C,D在同一條直線上 ),AB=10 m,隧道高 m(即 BC= m),求標(biāo)語(yǔ)牌 CD的長(zhǎng) (結(jié)果保留小數(shù) 點(diǎn)后一位 ). (參考數(shù)據(jù) :sin 42176。≈ ,cos 42176?！?,tan 42176?！?,? ≈ ) ? 3解析 如圖 ,過(guò)點(diǎn) A作 AE⊥ BD于點(diǎn) E,? (1分 ) ? 由題意得 ∠ DAE=42176。,∠ EAB=30176。, 在 Rt△ ABE中 ,∠ AEB=90176。,AB=10,∠ EAB=30176。, ∴ BE=? AB=? 10=5.? (2分 ) ∵ cos∠ EAB=? , ∴ AE=ABcos 30176。=10? =5? .? (4分 ) 在 Rt△ DEA中 ,∠ DEA=90176。,∠ DAE=42176。, ∵ tan∠ DAE=? , 1212AE323AE∴ DE=AEtan 42176?！?5? =? ,? (5分 ) ∴ CD=BE+EDBC=5+? ≈ (m).? (6分 ) 答 :標(biāo)語(yǔ)牌 CD的長(zhǎng)約為 m.? (7分 ) 39322思路分析 作 AE⊥ BD于點(diǎn) E,構(gòu)造直角△ DEA和直角△ ABE,解直角△ DEA和直角△ ABE,求得 BE,DE的長(zhǎng) ,進(jìn)而可求出 CD的長(zhǎng)度 . 10.(2022安徽 ,19,10分 )為了測(cè)量豎直旗桿 AB的高度 ,某綜合實(shí)踐小組在地面 D處豎直放置標(biāo)桿 CD,并在地面上水平放置一個(gè)平面鏡 E,使得 B,E,D在同一水平線上 ,如圖所示 .該小組在標(biāo)桿的 F處通過(guò)平面鏡 E恰好觀測(cè)到旗桿頂 A(此時(shí) ∠ AEB=∠ FED).在 F處測(cè)得旗桿頂 A的仰角為 176。, 平面鏡 E的俯角為 45176。,FD= 米 ,問(wèn)旗桿 AB的高度約為多少米 ?(結(jié)果保留整數(shù) ) (參考數(shù)據(jù) :tan 176?！?,tan 176?！?) ? 解析 解法一 :由題意知 ,∠ AEB=∠ FED=45176。, ∴∠ AEF=90176。. 在 Rt△ AEF中 ,? =tan∠ AFE=tan 176。, 在△ ABE和△ FDE中 ,∠ ABE=∠ FDE=90176。,∠ AEB=∠ FED, ∴ △ ABE∽ △ FDE, ∴ ? =? =tan 176。, ∴ AB=FDtan 176?！?=≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18 米 .? (10分 ) 解法二 :作 FG⊥ AB于點(diǎn) G, AEFEAB? 由題意知 ,△ ABE和△ FDE均為等腰直角三角形 , ∴ AB=BE,DE=FD=, ∴ FG=DB=DE+BE=AB+,AG=ABGB=ABFD=. 在 Rt△ AFG中 ,? =tan∠ AFG=tan 176。,即 ? =tan 176。, 解得 AB=≈ 18(米 ). 答 :旗桿 AB的高度約為 18 米 .? (10分 ) FG??思路分析 思路一 :由題意可確定 ∠ AEF=90176。,從而可推出△ ABE∽ △ FDE,最后由相似三角形 中對(duì)應(yīng)邊的比相等求解 。思路二 :作 FG⊥ AB于點(diǎn) G,由題意可推出△ ABE和△ FDE均為等腰直 角三角形 ,在直角三角形 AFG中由銳角三角函數(shù)求出 AB. 11.(2022陜西 ,20,7分 )某市一湖的湖心島有一棵百年古樹(shù) ,當(dāng)?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳” ,不乘船不 易到達(dá) ,每年初春時(shí)節(jié) ,人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳 .小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與 “鄉(xiāng)思柳”之間的大致距離 .于是 ,有一天 ,他們倆帶著測(cè)傾器和皮尺來(lái)測(cè)量這個(gè)距離 .測(cè)量方 案如下 :如圖 ,首先 ,小軍站在“聚賢亭”的 A處 ,用測(cè)傾器測(cè)得“鄉(xiāng)思柳”頂端 M點(diǎn)的仰角為 23176。,此時(shí)測(cè)得小軍的眼睛距地面的高度 AB為 米 。然后 ,小軍在 A處蹲下 ,用測(cè)傾器測(cè)得“鄉(xiāng)思 柳”頂端 M點(diǎn)的仰角為 24176。,這時(shí)測(cè)得小軍的眼睛距地面的高度 AC為 1 米 .請(qǐng)你利用以上所測(cè)得 的數(shù)據(jù) ,計(jì)算“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離 AN的長(zhǎng) (結(jié)果精確到 1 米 ).(參考數(shù)據(jù) :sin 23176。 ≈ 7,cos 23176?！? 5,tan 23176?！? 5,sin 24176?！? 7,cos 24176?！? 5,tan 24176?！? 2) 解析 作 BD⊥ MN, 垂足為 D, 作 CE⊥ MN, 垂足為 E. 設(shè) AN=x米 ,則 BD=CE=x米 . 在 Rt△ MBD中 ,MD=xtan 23176。米 . 在 Rt△ MCE中 ,ME=xtan 24176。米 .? (4分 ) ? ∵ MEMD=DE=BC, ∴ xtan 24176。xtan 23176。=. ∴ x=? . ∴ x≈ 34. ∴ “聚賢亭”到“鄉(xiāng)思柳”之間的距離約為 34 米 .? (7分 ) tan23?? ?解后反思 解決此類問(wèn)題的步驟如下 :(1)根據(jù)題目中的已知條件 ,將實(shí)際問(wèn)題抽象為解直角三 角形的數(shù)學(xué)問(wèn)題 ,畫(huà)出平面幾何圖形 ,弄清已知條件中各量之間的關(guān)系 。(2)若三角形是直角三 角形 ,根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算 ,若三角形不是直角三角形 ,可通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形來(lái) 解決 .解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵是要根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型 ,正確畫(huà)出圖形 ,找準(zhǔn) 三角形 . 12.(2022江西 ,17,6分 )如圖 1,研究發(fā)現(xiàn) ,科學(xué)使用電腦時(shí) ,望向熒光屏幕畫(huà)面的“視線角” α約為 20176。,而當(dāng)手指接觸鍵盤(pán)時(shí) ,肘部形成的“手肘角” β約為 100176。.圖 2是其側(cè)面簡(jiǎn)化示意圖 ,其中視 線 AB水平 ,且與屏幕 BC垂直 . (1)若屏幕上下寬 BC=20 cm,科學(xué)使用電腦時(shí) ,求眼睛與屏幕的最短距離 AB的長(zhǎng) 。 (2)若肩膀到水平地面的距離 DG=100 cm,上臂 DE=30 cm,下臂 EF水平放置在鍵盤(pán)上 ,其到地面 的距離 FH=72 β是否符合科學(xué)要求的 100176。. ? 參考數(shù)據(jù) :sin 69176?！?? ,cos 21176?！?? ,tan 20176?！?? ,tan 43176。≈ ? ,所有結(jié)果精確到個(gè)位 ? 14154111415解析 (1)如圖 ,∵ AB⊥ BC,∴∠ B=90176。. ? 在 Rt△ ABC中 ,α=20176。, AB=? ≈ 20247。? =55(cm).? (3分 ) (2)如圖 ,延長(zhǎng) FE交 DG于點(diǎn) I, ? ∵ DG⊥ GH,FH⊥ GH,EF∥ GH, ∴ IE⊥ DG, ∴ 四邊形 GHFI是矩形 , ∴ IG=FH, tan 20BC?411∴ DI=DGFH=10072=28(cm).? (4分 ) 在 Rt△ DEI中 ,sin∠ DEI=? =? =? , ∴∠ DEI≈ 69176。.? (5分 ) ∴ β=180176。69176。=111176?！?100176。. ∴ 此時(shí) β不符合科學(xué)要求的 100176。.? (6分 ) DI2830141513.(2022河南 ,19,9分 )如圖所示 ,我國(guó)兩艘海監(jiān)船 A,B在南海海域巡航 ,某一時(shí)刻 ,兩船同時(shí)收到 指令 ,立即前往救援遇險(xiǎn)拋錨的漁船 ,B船在 A船的正南方向 5海里處 ,A船測(cè)得漁船 C在其 南偏東 45176。方向 ,B船測(cè)得漁船 C在其南偏東 53176。方向 .已知 A船的航速為 30海里 /小時(shí) ,B船的航速 為 25海里 /小時(shí) ,問(wèn) C船至少要等待多長(zhǎng)時(shí)間才能得到救援 ?? 參考數(shù)據(jù) :sin 53176?！?? ,cos 53176?！?? , tan 53176。≈ ? ,? ≈ ? ? 4 3543 2解析 過(guò)點(diǎn) C作 CD⊥ AB交 AB延長(zhǎng)線于點(diǎn) D,則 ∠ CDA=90176。.? (1分 ) 已知 ∠ CAD=45176。,設(shè) CD=x海里 ,則 AD=CD=x海里 . ∴ BD=ADAB=(x5)海里 .? (3分 ) 在 Rt△ BDC中 ,CD=BDtan 53176。,即 x=(x5)tan 53176。, ∴ x=? ≈ ? =20.? (6分 ) ∴ BC=? =? ≈ 20247。? =25海里 . ∴ B船到達(dá) C船處約需時(shí)間 :25247。25=1(小時(shí) ).? (7分 ) 在 Rt△ ADC中 ,AC=? x≈ 20= , ∴ A船到達(dá) C船處約需時(shí)間 :247。30=(小時(shí) ).? (8分 ) 而 1,所以 C船至少要等待 .? (9分 ) 5 tan 53tan 53 1???45 34 13??sin 5 3?sin 5 3x ?452解題技巧 本題是解三角形兩種典型問(wèn)題中的一種 . 以下介紹兩種典型問(wèn)題 : (1)如圖 ,當(dāng) BC=a時(shí) ,設(shè) AD=x,則 CD=? ,BD=? . ∵ CD+BD=a,∴ ? +? =a,∴ x=? . ? (2)如圖 ,當(dāng) BC=a時(shí) ,設(shè) AD=x,則 BD=? ,CD=? , ∵ CDBD=a,∴ ? ? =a, ∴ x=? . t a nx βt a nx αt a nx βt a αtan tann tana α βα β?t a nx αt a nx βt a nx βt a αtan tant tanα ββ?14.(2022茂名 ,21,8分 )如圖 ,在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中 ,小敏為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿 CD的高度 ,先在教學(xué)樓 的底端 A點(diǎn)處 ,觀測(cè)到旗桿頂端 C的仰角 ∠ CAD=60176。,然后爬到教學(xué)樓上的 B處 ,觀測(cè)到旗桿底端 D的俯角是 30176。.已知教學(xué)樓 AB高 4 米 . (1)求教學(xué)樓與旗桿的水平距離 AD。(? )(4分 ) (2)求旗桿 CD的高度 .(4分 ) ? ??????結(jié) 果 保 留 根 號(hào)解析 (1)∵ 在教學(xué)樓 B點(diǎn)處觀測(cè)旗桿底部 D處的俯角是 30176。, ∴∠ ADB=30176。.? (1分 ) 在 Rt△ ABD中 ,∠ BAD=90176。,∠ ADB=30176。,AB=4 米 ,? (2分 ) ∴ AD=? =? =4? (米 ).? (3分 ) 因此 ,教學(xué)樓與旗桿的水平距離是 4? 米 .? (4分 ) (也可先求 ∠ ABD=60176。,利用 tan 60176。去計(jì)算得到結(jié)論 ) (2)∵ 在 Rt△ ACD中 ,∠ ADC=90176。,∠ CAD=60176。,AD=4? 米 ,(5分 ) ∴ CD=ADtan 60176。=4? ? =12(米 ).? (7分 ) 因此 ,旗桿的高度是 12 米 .? (8分 ) tan ABADB?4ta 3 0?33 33315.(2022廣東 ,20,7分 )如圖 ,某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量一棵樹(shù) CD的高度 .他們先在點(diǎn) A處測(cè)得樹(shù)頂 C的仰角為 30176。,然后沿 AD方向前行 10 m到達(dá) B點(diǎn) ,在 B處測(cè)得樹(shù)頂 C的仰角為 60176。(A、 B、 D三點(diǎn) 在同一直線上 ).請(qǐng)你根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算這棵樹(shù) CD的高度 (結(jié)果精確到 m).(參考數(shù)據(jù) : ? ≈ ,? ≈ ) ? 3解析 ∵∠ CAB=30176。,∠ CBD=60176。, ∴∠ ACB=60176。30176。=30176。,∴∠ CAB=∠ ACB, ∴ BC=AB=10 m.? (3分 ) 在 Rt△ CBD中 ,sin 60176。=? , ∴ CD=BCsin 60176。=10? =5? ≈ (m). 答 :這棵樹(shù)高約為 m.? (7分 ) CDBC32316.(2022河南 ,19,9分 )如圖 ,小東在教學(xué)樓距地面 9 米高的窗口 C處 ,測(cè)得正前方旗桿頂部 A點(diǎn)的 仰角為 37176。,旗桿底部 B點(diǎn)的俯角為 45176。.升旗時(shí) ,國(guó)旗上端懸掛在距地面 米處 .若國(guó)旗隨國(guó)歌 聲冉冉升起 ,并在國(guó)歌播放 45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端 ,則國(guó)旗應(yīng)以多少米 /秒的速度勻速上升 ? (參考數(shù)據(jù) :sin 37176?！?,cos 37176?！?,tan 37176?！?) ? 解析 過(guò)點(diǎn) C作 CD⊥ AB,垂足為 D,則 DB=9.? (1分 ) 在 Rt△ CBD中 ,∠ BCD=45176。, ∴ CD=? =9.? (3分 ) 在 Rt△ ACD中 ,∠ ACD=37176。, ∴ AD=CDtan 37176?！?9=.? (6分 ) ∴ AB=AD+DB=+9=.? (7分 ) ()247。45=(米 /秒 ). ∴ 國(guó)旗應(yīng)以約 米 /秒的速度勻速上升 .? (9分 ) tan 45?17.(2022浙江紹興 ,20,8分 )如圖 ,從地面上的點(diǎn) A看一山坡上的電線桿 PQ,測(cè)得桿頂端點(diǎn) P的仰 角是 45176。,向前走 6 m到達(dá) B點(diǎn) ,測(cè)得桿頂端點(diǎn) P和桿底