關(guān)于函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)與不連續(xù)點(diǎn)的討論畢業(yè)設(shè)計論文(編輯修改稿)
2025-07-17 05:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 22 引 言 在研究普通函數(shù)的連續(xù)性時，需要判斷其是否在某一區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)或一直連續(xù)，通過判斷來確定函數(shù)是否一致連續(xù)。函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因?yàn)橐部梢灾苯佑迷擖c(diǎn)的極限來判斷函數(shù)在此點(diǎn)是否連續(xù)或間斷，間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)，然后通過判斷得出間斷點(diǎn)和連續(xù)點(diǎn)，再比較討論間斷點(diǎn)和連續(xù)點(diǎn)之間的判斷方法和聯(lián)系。之前學(xué)過一些有關(guān)函數(shù)連續(xù)的知識，但是從來沒有討論過連續(xù)點(diǎn)和間斷點(diǎn)的區(qū)別，連續(xù)的問題很廣泛，在接下來的課題中，我會通過已經(jīng)學(xué)過的知識和一些新的知識，來分析判斷連續(xù)點(diǎn)和間斷點(diǎn)之間的區(qū)別，通過一些實(shí)際的運(yùn)算和應(yīng)用來進(jìn)一步比較連續(xù)和間斷的差別和聯(lián)系。在此課題的分析會遇到一些難題，只要利用好函數(shù)連續(xù)性的知識，相信會的到一個可行的正確結(jié)果。 在高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)性，；，再從具體應(yīng)用中體會這些概念的深刻含義.一 相關(guān)概念的闡述及例題分析 函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若 ，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù). 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)若對任給，任給，存在使得當(dāng)且時，就有. 例使得可從不等式推出不等式可否對于已知的選出來，使它對于區(qū)間中的一切值都適用，換句話說，對于任意的值，若，則？ 解： （1）由于或，故有 （在此，我們已假設(shè)了，這一點(diǎn)是可以辦到的）.于是要，只要 即只要 .取，則當(dāng)時，恒有 .我們?nèi)〗浦担? ①當(dāng) ②當(dāng)時， ③當(dāng)時，由表達(dá)式（1）可知，對于不論怎樣小的正數(shù)（固定），則當(dāng)及時，無法選出一個公共的正數(shù)來. 函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)若對任給，存在，使得當(dāng)，且時，就有. 例圓柱形鞘筒之寬度為，長度為，將鞘筒套在曲線上且沿此曲線滑動，問應(yīng)等于什么？設(shè)為任意小數(shù). 解: 。對于，由于 即 或 對于任給的，要，只要或即可.取，則當(dāng)時，恒有 當(dāng)時，； 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)為任意小數(shù)時， 函數(shù)在區(qū)間上絕對連續(xù)設(shè)為定義在閉區(qū)間上的實(shí)值函數(shù)，若對任給，存在，使得對任意，當(dāng)，則稱函數(shù)在區(qū)間上絕對連續(xù). 例設(shè)是閉區(qū)間上的可積函數(shù)，則的不定積分 （其中C是任意常數(shù)）是閉區(qū)間 上的絕對連續(xù)函數(shù). 證明： 由積分的絕對連續(xù)性,對任意的，存在，使得對中的任意可測集A，當(dāng)時，,于是對閉區(qū)間上的任意有限個互不相交的開區(qū)間，當(dāng)時，令，則,于是 因此F是上的絕對連續(xù)函數(shù).二 相關(guān)概念的比較及例題分析： ，是用在區(qū)間上每點(diǎn)處都連續(xù)來定義的，因此，的選取只與的大小有關(guān)，與，的選取無關(guān)，這表明函數(shù)在區(qū)間的一致連續(xù)性不僅要求函數(shù)在這個區(qū)間的每一點(diǎn)都連續(xù)，而且要求函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)是“一致”的，這是對函數(shù)的“整體性”，就是當(dāng)這個區(qū)間的任意兩個彼此靠近的點(diǎn)上的值的差，就絕對值來說，可以任意小，即任意的，函數(shù)的連續(xù)性以及一致連續(xù)性反映的是函數(shù)的自變量的變化與函數(shù)值變化之間的關(guān)系，函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性是局部性質(zhì)，. 但是函數(shù)在某些條件下是一致的，我們從定理中可以得到，如：?函數(shù)在上連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在上一致連續(xù)。?、如果函數(shù)在上連續(xù)，如果在點(diǎn)的右極限、在點(diǎn)的左極限均存在，那么可將函數(shù)延拓為上的連續(xù)函數(shù).?、若函數(shù)在上一致連續(xù)，則在點(diǎn)的右極限、在點(diǎn)的左極限均存在. 以上三條定理說明，有界區(qū)間上的一致連續(xù)函數(shù)均可看作有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù). 例證明：函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的，但在此區(qū)間上并非一致連續(xù)的. 證明： 連續(xù)性是顯然的， ，則當(dāng)時，不論取得多小，只要取得充分大，總可以使 但是， 因而，在上并非一致連續(xù). 例證明：若函數(shù)在域上有定義并且是連續(xù)的，而且存在，則在此域上是一致連續(xù)的.證明： 任給。由于存在，故必存在，使當(dāng)時，恒有 。由于 在上連續(xù)，故一致連續(xù)，從而必有正數(shù)存在，使當(dāng)，時恒有 。令現(xiàn)設(shè)為滿足的任何兩點(diǎn)。由于，故或同時屬于，或同時滿足，因此，恒有 ，.：一致連續(xù)與絕對連續(xù)的差別在于的選取，一致連續(xù)性對的要求是與有關(guān)，還要與數(shù)對的“個數(shù)”n有關(guān)，即；而絕對連續(xù)性不然，它只與有關(guān)，與數(shù)對的“個數(shù)”無關(guān)。絕對連續(xù)的函數(shù)一定是一致連續(xù)的，而反之不然。但要深入了解二者的內(nèi)在特征，還需從其他方面做深入的剖析與對比. 例證明：設(shè)函數(shù)在上可積，若對任意的，存在，使當(dāng)可測子集且時，就有，則稱函數(shù)在上的積分具有絕對連續(xù)性。 證明：事實(shí)上，只要函數(shù)在上可積，則其積分必具有絕對連續(xù)性.如果函數(shù)在上可積，則對任意的，存在
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