【文章內容簡介】 22 引 言 在研究普通函數的連續(xù)性時，需要判斷其是否在某一區(qū)間內有間斷點或一直連續(xù)，通過判斷來確定函數是否一致連續(xù)。函數在一點的連續(xù)性是通過極限來定義的，因為也可以直接用該點的極限來判斷函數在此點是否連續(xù)或間斷，間斷點包括可去間斷點、跳躍間斷點和第二類間斷點，然后通過判斷得出間斷點和連續(xù)點，再比較討論間斷點和連續(xù)點之間的判斷方法和聯(lián)系。之前學過一些有關函數連續(xù)的知識，但是從來沒有討論過連續(xù)點和間斷點的區(qū)別，連續(xù)的問題很廣泛，在接下來的課題中，我會通過已經學過的知識和一些新的知識，來分析判斷連續(xù)點和間斷點之間的區(qū)別，通過一些實際的運算和應用來進一步比較連續(xù)和間斷的差別和聯(lián)系。在此課題的分析會遇到一些難題，只要利用好函數連續(xù)性的知識，相信會的到一個可行的正確結果。 　　　在高等數學中，函數在一點上的連續(xù)性，；，再從具體應用中體會這些概念的深刻含義.一 相關概念的闡述及例題分析 函數在一點處連續(xù)若函數在點的某鄰域內有定義，若 ，則稱函數在點連續(xù)。若函數在區(qū)間內的任一點處都連續(xù)，則稱為區(qū)間上的連續(xù)函數. 函數在區(qū)間上連續(xù)若對任給，任給，存在使得當且時，就有. 例使得可從不等式推出不等式可否對于已知的選出來，使它對于區(qū)間中的一切值都適用，換句話說，對于任意的值，若，則？ 解： （1）由于或，故有 （在此，我們已假設了，這一點是可以辦到的）.于是要，只要 即只要 .取，則當時，恒有 .我們取近似值， ①當 ②當時， ③當時，由表達式（1）可知，對于不論怎樣小的正數（固定），則當及時，無法選出一個公共的正數來. 函數在區(qū)間上一致連續(xù)若對任給，存在，使得當，且時，就有. 例圓柱形鞘筒之寬度為，長度為，將鞘筒套在曲線上且沿此曲線滑動，問應等于什么？設為任意小數. 解: 。對于，由于 即 或 對于任給的，要，只要或即可.取，則當時，恒有 當時，； 當時， 當時， 當為任意小數時， 函數在區(qū)間上絕對連續(xù)設為定義在閉區(qū)間上的實值函數，若對任給，存在，使得對任意，當，則稱函數在區(qū)間上絕對連續(xù). 例設是閉區(qū)間上的可積函數，則的不定積分 （其中C是任意常數）是閉區(qū)間 上的絕對連續(xù)函數. 證明： 由積分的絕對連續(xù)性,對任意的，存在，使得對中的任意可測集A，當時，,于是對閉區(qū)間上的任意有限個互不相交的開區(qū)間，當時，令，則,于是 因此F是上的絕對連續(xù)函數.二 相關概念的比較及例題分析： ，是用在區(qū)間上每點處都連續(xù)來定義的，因此，的選取只與的大小有關，與，的選取無關，這表明函數在區(qū)間的一致連續(xù)性不僅要求函數在這個區(qū)間的每一點都連續(xù)，而且要求函數在區(qū)間上的連續(xù)是“一致”的，這是對函數的“整體性”，就是當這個區(qū)間的任意兩個彼此靠近的點上的值的差，就絕對值來說，可以任意小，即任意的，函數的連續(xù)性以及一致連續(xù)性反映的是函數的自變量的變化與函數值變化之間的關系，函數在一點處的連續(xù)性是局部性質，. 但是函數在某些條件下是一致的，我們從定理中可以得到，如：?函數在上連續(xù)當且僅當函數在上一致連續(xù)。?、如果函數在上連續(xù)，如果在點的右極限、在點的左極限均存在，那么可將函數延拓為上的連續(xù)函數.?、若函數在上一致連續(xù)，則在點的右極限、在點的左極限均存在. 以上三條定理說明，有界區(qū)間上的一致連續(xù)函數均可看作有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數. 例證明：函數在區(qū)間上是連續(xù)的，但在此區(qū)間上并非一致連續(xù)的. 證明： 連續(xù)性是顯然的， ，則當時，不論取得多小，只要取得充分大，總可以使 但是， 因而，在上并非一致連續(xù). 例證明：若函數在域上有定義并且是連續(xù)的，而且存在，則在此域上是一致連續(xù)的.證明： 任給。由于存在，故必存在，使當時，恒有 。由于 在上連續(xù)，故一致連續(xù)，從而必有正數存在，使當，時恒有 。令現設為滿足的任何兩點。由于，故或同時屬于，或同時滿足，因此，恒有 ，.：一致連續(xù)與絕對連續(xù)的差別在于的選取，一致連續(xù)性對的要求是與有關，還要與數對的“個數”n有關，即；而絕對連續(xù)性不然，它只與有關，與數對的“個數”無關。絕對連續(xù)的函數一定是一致連續(xù)的，而反之不然。但要深入了解二者的內在特征，還需從其他方面做深入的剖析與對比. 例證明：設函數在上可積，若對任意的，存在，使當可測子集且時，就有，則稱函數在上的積分具有絕對連續(xù)性。 證明：事實上，只要函數在上可積，則其積分必具有絕對連續(xù)性.如果函數在上可積，則對任意的，存在