有限差分法求解偏微分方程(編輯修改稿)
2025-07-16 04:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 可得到任意階的差分公式：（15）n n階向前差分：fi(n)=fi+1(n1)fi(n1)h（16）n n階向后差分：fi(n)=fi(n1)fi1(n1)h（17）n n階中心差分：fi(n)=fi+1(n1)fi1(n1)2h說明，上述公式中各節(jié)點(diǎn)處前一階導(dǎo)數(shù)的代入可能存在不一致，可能是向前差分、向后差分或者中心差分，從而使最終的公式在系數(shù)上存在差別。當(dāng)然，也可以對(duì)各相鄰節(jié)點(diǎn)進(jìn)行需要階數(shù)的泰勒展開，從而建立方程組直接求各階導(dǎo)數(shù)。 微分方程轉(zhuǎn)化為線性方程ym（18）由于三種類型的微分方程解法類似，故這里僅以橢圓型微分方程為例，將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，對(duì)于雙曲型和拋物型方程依次類推即可。不妨記：?2u=uxx+uyy（?2稱為拉普拉斯算子），fx,y和g(x,y)是求解域上的連續(xù)函數(shù)。假設(shè)求解區(qū)域?yàn)椋篟={x,y:0≤x≤a,0≤y≤b,ba=m/n}，將求解區(qū)域劃分成(n1)(m1)個(gè)網(wǎng)格，其中：a=nh,b=mh，如圖1所示。記fi,j=f(xi,yj)，則根據(jù)式（14）可得到：?2u=uxx+uyy=ui+1,j2ui,j+ui1,jh2+ui,j+12ui,j+ui,j1h2 =ui+1,j+ui1,j+ui,j+1+ui,j14ui,jh2+O(h2)yj+1yjyj1y1 x1 xi1 xi xi+1 xn圖1 五點(diǎn)差分公式式（18）也稱為五點(diǎn)差分公式，同理根據(jù)式（12）和式（13）可分別得到向前差分公式（19）和向后差分公式（20），如圖（2所示）。（19）n 向前差分?2u=uxx+uyy=ui+2,j2ui+1,j+ui,jh2+ui,j+22ui,j+1+ui,jh2 =ui+2,j+ui,j+2+2ui,j2ui+1,j2ui,j+1h2+O(h2)ymym（20）n 向后差分?2u=uxx+uyy=ui,j2ui1,j+ui2,jh2+ui,j2ui,j1+ui,j2h2 =ui2,j+ui,j2+2ui,j2ui1,j2ui,j1h2+Oh2x1xi2xi1xixi+1xi+2xixnxnx1y1yj2yj1yjyjy1yj+1yj+2 ui2,j2ui,jui,j+2ui,j+1圖2 向前差分（左）和向后差分（右）2ui1,j2ui,j1ui,j22ui,j+12ui,j2ui+1,jui+2,j4ui,jui,j1ui+1,jui1,j 圖3 中心差分、向前差分和向后差分的拉普拉斯算子表示（21）利用中心差分公式（18），由于式（18）在點(diǎn)x,y=(xi,yi)處具有二階精度（Oh2），所以式（18）可近似改寫成下式：?2ui,j≈ui+1,j+ui1,j+ui,j+1+ui,j14ui,jh2根據(jù)橢圓方程的具體形式可以將其分為以下三種形式：n 拉普拉斯（Laplace）方程：?2u=0n 泊松（Poison）方程：?2u=g(x,y)n 赫耳墨次（Helmholtz）方程：?2u+fx,yu=g(x,y)根據(jù)式（21），可建立三種不同形式橢圓方程的代數(shù)方程如下：n 拉普拉斯方程：?2u=00=?2ui,j≈ui+1,j+ui1,j+ui,j+1+ui,j14ui,jh2化簡(jiǎn)后得到拉普拉斯方程的計(jì)算公式：（22）ui+1,j+ui1,j+ui,j+1+ui,j14ui,j=0（2
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