【文章內(nèi)容簡介】 周期，沿虛軸方向進行周期化。如果原模擬信號得頻帶不是限于之間，則會在得奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊，從而映射到ｚ平面上，在附近產(chǎn)生頻率混疊。脈沖相應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象如圖所示。這種會使設(shè)計出的濾波器在附近的頻率特性，程度不同地偏離模擬濾波在附近的頻率特性，嚴重時使濾波器不滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。因此，希望設(shè)計的濾波器使帶通濾波器，如果不是帶通的，例如高通濾波器，帶阻濾波器，需要在高通帶阻濾波器之前加保護濾波器，濾除高于折疊頻率以上的頻帶，以避免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。但這樣會增加系統(tǒng)的成本和復(fù)雜性，因此，高通與帶阻濾波器不適合用這種方法設(shè)計。假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足： (317)將關(guān)系式代入，得到： (318)說明用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響。上式中，的幅度特性與采樣間隔成反比，這樣當(dāng)T較小時，就會有太高的增益。為避免這一現(xiàn)象，令： (319)那么： (320)此時： (321)一般的極點是一個復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，在式中講一對復(fù)數(shù)共軛極點放在一起，形成一個二階基本節(jié)點。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)點的形式為： (322)極點為，可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)點(只有實數(shù)乘法)的形式為: (323)如果模擬濾波器二階基本節(jié)點的形式為: (324)極點為，則對應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的具體形式為: (325)利用以上這些變換關(guān)系，可以簡化設(shè)計。(2) 雙線性變換法這種變換方法，采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到177。π/T之間，再用轉(zhuǎn)換到z平面上。設(shè)Ha(s)，s=jΩ，經(jīng)過非線性頻率壓縮后用Ha(s1)，=jΩ1表示，這里用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮： (326)式中T仍是采樣間隔，當(dāng)Ω1從π/T經(jīng)過0變化到π/T時，Ω則由∞經(jīng)過0變化到+∞，實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到平面上虛軸的177。π/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有: (327)再通過 轉(zhuǎn)換到z平面上，得到： (328) (329)式(328)或式(329)稱為雙線性變換。從s平面映射到平面，再從平面映射到z平面。由于從s平面到平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。另外，從平面轉(zhuǎn)換到z平面仍然采用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換關(guān)系 ，平面的 177。π/T之間水平帶的左半部分映射z平面單位圓內(nèi)部，虛軸映射單位圓。這樣，Ha(s)因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換成的H(z)也是因果穩(wěn)定的。下面分析模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。令 ，并代入()式中，有： ()ImRez平面jΩσs平面jΩ1σ1s1平面π/Tπ/T 雙線性變換法的映射關(guān)系 上式說明，s平面上Ω與平面上的ω成非線性正切關(guān)系。在ω=0附近接近線性關(guān)系；當(dāng)ω增加是，Ω增加得愈來愈快；當(dāng)ω趨近π時，Ω趨近于∞。正是因為這種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。Ωππ0 雙線性變換法的頻率變換ω與Ω之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點，直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響。這種非線性影響的實質(zhì)問題是：如果Ω的刻度是均勻的，則影射到z平面ω的刻度不是均勻的，而是隨ω增加愈來愈密。000ΩΩωω000ΩΩωω 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射雙線性變換法可由簡單的代數(shù)公式()將Ha(s)直接轉(zhuǎn)換成H(z)，這是該變換法的優(yōu)點。但當(dāng)階數(shù)稍高時，將H(z)整理成需要的形式，也不是一件簡單的工作。 IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的經(jīng)典設(shè)計法只限于幾種標(biāo)準(zhǔn)的低通、高通、帶通、帶阻濾波器，而對于具有形狀或多頻帶濾波器的設(shè)計是無能為力的。如果所設(shè)計IIR濾波器幅頻特性比較復(fù)雜，可采用最小二乘法擬合給定的幅頻響應(yīng)，使設(shè)計的濾波器幅頻特性逼近期望的頻率特性，這種方法稱為IIR濾波器的直接設(shè)計法。MATLAB信號處理工具箱函數(shù)YULEWALK采用直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器。函數(shù)YULEWALK采取下面步驟計算分子多項式：(1) 計算與分子多項式相應(yīng)的幅值平方響應(yīng)的輔助式；(2) 由輔助分子式和分母多項式計算完全的頻率響應(yīng)；(3) 計算濾波器的脈沖響應(yīng)；(4) 采用最小二乘法擬合脈沖響應(yīng)最終求得濾波器的分子多項式系數(shù)。函數(shù)YULEWALK允許我們自由定義濾波器的頻率向量f和幅值向量m，因此該函數(shù)可設(shè)計具有任意形狀的幅頻響應(yīng)的濾波器，包括多頻帶濾器。4 IIR數(shù)字濾波器的MATLAB仿真 模擬低通濾波器的仿真第三章所討論的設(shè)計思想，在DSP對模擬濾波器進行仿真的過程中依然適用，其具體步驟總結(jié)如下：(1) 確定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率(對于低通和高通)或上、下邊界頻率,；波紋特性；帶阻衰減等。(2) 確定濾波器階數(shù)。(3) 計模擬低通濾波原型濾波器。MATLAB信號處理工具箱的濾波器原型函數(shù)buttap,cheb1ap。(4)按頻率變換設(shè)計模擬濾波器(低通、高通、帶通、帶阻)。DSP信號處理工具箱的頻率變換函數(shù)lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs。但是，按照這種設(shè)計思想的編程較為麻煩。MATLAB信號處理工具箱還提供模擬濾波器的完全設(shè)計函數(shù)：butter,cheby1等。用戶只需調(diào)用一次設(shè)計函數(shù)就可自動完成全部設(shè)計過程，編程十分簡單。下面將以模擬低通Butterworth濾波器的設(shè)計為例，解釋這種設(shè)計方法。設(shè)計指標(biāo)：通帶截止頻率=200π，阻帶截止頻率=300π，通帶衰減=1dB，阻帶衰減=16dB。ws=300*pi。wp=200*pi。Rp=1。Rs=16。[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,39。s39。) Fc=Wn/(2*pi) [b,a]=butter(N,Wn,39。s39。)。 w=linspace(1,3000,1000)*2*pi。 H=freqs(b,a,w)。 magH=abs(H)。 phaH=unwrap(angle(H))。 plot(w/(2*pi),20*log10(magH))。 xlabel(39。Frequency(Hz)39。)。 ylabel(39。Magnidute(dB)39。)。 grid on圖 模擬低通濾波器的設(shè)計 數(shù)字低通濾波器的仿真IIR數(shù)字濾波器經(jīng)典設(shè)計法的一般步驟是：(1) 根據(jù)給定的性能指標(biāo)和方法不同，首先對設(shè)計性能指標(biāo)中的頻率指標(biāo)進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的頻率指標(biāo)作為模擬濾波器原型設(shè)計性能指標(biāo)。(2) 估計模擬低通濾波器最小階數(shù)和邊界頻率，利用MATLAB工具函數(shù)buttord、cheb1ord等。(3) 設(shè)計模擬低通濾波器原型，利用MATLAB工具函數(shù)buttap、cheb1ap等。(4) 由模擬低通原型經(jīng)頻率變換獲得模擬濾波器(低通、高通、帶通、帶阻)，利用MATLAB工具函數(shù)lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。(5) 將模擬濾波器離散化獲得IIR數(shù)字濾波器，利用MATLAB工具函數(shù)bilinear。設(shè)計IIR濾波器時，給出的性能指標(biāo)通常分為數(shù)字指標(biāo)和模擬指標(biāo)兩種。數(shù)字性能指標(biāo)給出通帶截止頻率，阻帶截止頻率，通帶衰減，阻帶衰減等。數(shù)字頻率和的取值范圍為0～π，單位：弧度，而MATLAB工具函數(shù)常采用標(biāo)準(zhǔn)化頻率，和的取值范圍為0～1。模擬性能指標(biāo)給出通帶截止頻率，阻帶起始頻率，通帶衰減，阻帶衰減等。模擬頻率和的單位均為弧度/秒。下面是一個利用雙線性變換設(shè)計一個Butterworth低通濾波器的示例：技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率=2π，阻帶截止頻率，通帶衰減小于3dB，阻帶衰減大于15dB,采樣頻率。Wp= 2000*2*pi。 Ws=3000*2*pi。 Rp=3。 Rs=15。 Fs=10000。 Ts=1/Fs。 Nn=128。[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,39。s39。) [b,a]=butter(N,Wn,39。s39。)。 [z,p,k]=buttap(N)。 [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k)。 [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn)。 [bz,az]=bilinear(b,a,Fs) freqz(bz,az,Nn,Fs) IIR數(shù)字濾波器的仿真另外一種情況，使用漢明窗來設(shè)計濾波器，MATLAB的源代碼如下：c=95。 %定義濾波器階數(shù)96階fc1=70。fc2=84。fs=1000。w1=2*pi*fc1/fs。w2=2*pi*fc2/fs。 %參數(shù)轉(zhuǎn)換，將模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)window=hamming(c+1)。 %使用hamming窗函數(shù)h=fir1(c,[w1/pi w2/pi],window)。 %使用標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)的加窗設(shè)計函數(shù)fir1freqz(h,1,512)。 %數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)。 漢明窗濾波后的圖形 模擬帶通濾波器和數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計 模擬帶通濾波器的設(shè)計函數(shù)BUTTER用于Butterworth濾波器設(shè)計，調(diào)用格式： [b,a]=butter(n,’s’) [b,a]=butter(n, ,’ftype’,’s’) 其中，n為濾波器階數(shù)；為濾波器截止頻率，‘s’為模擬濾波器，確省時為數(shù)字濾波器。 ‘ftype’濾波器類型： ‘high’為高通濾波器，截止頻率； ‘stop’為帶阻濾波器，=()； ‘ftype’缺省時為低通或帶通濾波器。以下設(shè)計一個Butterworth模擬帶通濾波器，設(shè)計指標(biāo)為：逼近頻率1000—2000Hz,兩側(cè)過渡帶寬500Hz，通帶衰減1dB，阻帶衰減大于100dB。Wp=[1000 2000]*2*pi。 Ws=[500 2500]*2*pi。 Rp=1。 Rs=100。 [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,39。s39。) [b,a]=butter(N,Wn,39。s39。)。 w=linspace(1,3000,1000)*2*pi。 H=freqs(b,a,w)。 magH=abs(H)。 phaH=unwrap(angle(H))。 plot(w/(2*pi),20*log10(magH))。 xlabel(39。Frequency(Hz)39。)。 ylabel(39。Magnidute(dB)39。)。 grid on 模擬帶通濾波器的仿真 數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計設(shè)計一個帶通chebyshev I 型數(shù)字濾波器，通帶為100Hz—200Hz，過渡帶寬均為50Hz，通帶衰減小于1dB，阻帶衰減30Hz，采樣頻率1000Hz。Fs=1000。 ws=[100 200]*2/Fs。 wp=[50 250]*2/Fs。 Rp=1。 Rs=30。 Nn=128。 [N,Wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,39。s39。)[b,a]=cheby1(N,Rp,Wn)。 freqz(b,a,Nn,Fs)。 數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計 模擬帶阻濾波器和數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計 模擬帶阻濾波器的設(shè)計這里設(shè)計一個chebyshev I 型模擬帶阻濾波器，設(shè)計指標(biāo)為：阻帶頻率1000Hz—2000Hz，兩側(cè)過渡帶寬500Hz，通帶衰減1dB，阻帶衰減大于50dB。ws=[1000 2000]*2*pi。 wp=[500 2500]*2*pi。 Rp=1。 Rs=50。 [N,Wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,39。s39。) [b,a]=cheby1(N,Rp,Wn,39。stop39。,39。s39。)。 w=linspace(1,3000,1000)*2*pi。 H=freqs(b,a,w)。 magH=abs(H)。 phaH=unwrap(angle(H))。 plot(w/(2*pi),20*log10(magH))。 xlabel(39。Frequency(Hz)39。)。 ylabel(39。Magnidute(dB)39。)。 grid on 模擬帶阻濾波器的仿真 數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計設(shè)計一個Butterworth數(shù)字帶阻濾波器，設(shè)計指標(biāo)為：阻帶頻率為100Hz—200Hz,兩側(cè)過渡帶寬500Hz，通帶衰減1dB,阻帶衰減大于30dB。Fs=1000。 ws=[100 200]*2/Fs。 wp=[50 250]*2/Fs。 Rp=1。 Rs=30。 Nn=128。 [N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs) [b,a]=butter(N,Wn,39。stop39。)。 freqz(b,a,Nn,Fs)。 數(shù)字帶阻濾波器的仿真同樣的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個chebyshev I 型帶阻濾波器，.Fs=1000。ws=[100 200]*2/Fs。wp=[50 250]*2/Fs。Rp=1。Rs=30。N