【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 其中 為微元體所受的體力分量。 （i=1,2,3） 凡是物體幾何約束所允許的位移就成為可能位移，取其任意微小的變化量就是虛位移，也就是幾何上可能位移的變分，根據(jù)能量守恒定律，外力在虛位移上所做的功（虛功）必等于物體內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功，這就是虛功原理。（）的前提出發(fā)，假定應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽砍杀壤?，得出了加工硬化材料與屈服準(zhǔn)則（加載函數(shù)）相關(guān)聯(lián)的一般性流動(dòng)規(guī)律 板材失穩(wěn)理論拉斷和起皺是板料成形的兩個(gè)缺陷，分別稱為拉伸失穩(wěn)和壓縮失穩(wěn)。 單向拉伸失穩(wěn)理論 載荷失穩(wěn) 設(shè)一理想均勻板條，其原始長(zhǎng)度為、原始寬度為、原始厚度為，在拉力作用下產(chǎn)生塑性變形，變形后板條的尺寸為。設(shè)材料面內(nèi)同性，厚向異性，厚向異性系數(shù)為，從試件的承載能力看，當(dāng)后，材料已經(jīng)作出了最大的貢獻(xiàn)，外載荷不可能再有所增加，通常把這種現(xiàn)象稱為載荷失穩(wěn)，如圖310所示，此時(shí)有 (345)其中。載荷失穩(wěn)條件如下 （346)載荷失穩(wěn)時(shí)的應(yīng)變 (347)實(shí)際試樣理想試樣理想試樣實(shí)際試樣圖310 單向拉伸曲線 變形失穩(wěn)加載失穩(wěn)以前，理想均勻板條和實(shí)際板條的變形行為基本一致。但從板條形狀變化的角度看，理想均勻板條遵循宏觀塑性力學(xué)的規(guī)律，理應(yīng)保持均勻變形：沿著板條，軸向伸長(zhǎng)與剖面收縮完全一致。而實(shí)際板條則不能保持均勻伸長(zhǎng)，呈現(xiàn)頸縮，變形局限在頸縮區(qū)內(nèi)發(fā)展，曲線段較短。從變形的角度看這也是一種失穩(wěn)現(xiàn)象。（1）分散性失穩(wěn)Diffuse necking 加載失穩(wěn)以后，頸縮在板條的較大一個(gè)區(qū)間內(nèi)擴(kuò)展，稱為分散性失穩(wěn)。根據(jù)試驗(yàn)觀察，板條單向拉伸時(shí)，外載荷的加載失穩(wěn)點(diǎn)和變形的分散性失穩(wěn)點(diǎn)基本上同時(shí)發(fā)生。所以，單向拉伸的分散性失穩(wěn)條件也是式(346)，或?qū)懗上率剑⊿wift 失穩(wěn)理論） (348)式(348)的涵義可解釋如下：因?yàn)?，所以材料的?qiáng)化率恰好等于斷面的減縮率。故分散性失穩(wěn)又可稱為寬向失穩(wěn)。 （2）集中性失穩(wěn)Localized necking 分散性失穩(wěn)的頸縮擴(kuò)散發(fā)展到一定程度以后，變形集中在某一狹窄條帶內(nèi)（與板厚為同一數(shù)量級(jí)），發(fā)展成為溝槽，稱為集中性失穩(wěn)。集中性失穩(wěn)開(kāi)始以后，溝槽加深，外載急劇下降，板條最后分離為二。集中性失穩(wěn)產(chǎn)生的條件是：材料的強(qiáng)化率與其厚度的減縮率恰好相等。這就是R. Hill 的集中性失穩(wěn)理論 (349)故集中性失穩(wěn)也可稱為厚向失穩(wěn)。 因?yàn)?，所以可求得單向拉伸集中頸縮開(kāi)始發(fā)生時(shí)的應(yīng)變?yōu)? (350)(3)集中頸縮的方位 分散性失穩(wěn)發(fā)展到一定階段，實(shí)際板條的最薄弱環(huán)節(jié)開(kāi)始集中在某一狹窄條帶內(nèi)，發(fā)展成為溝槽。溝槽的發(fā)生、發(fā)展主要是依靠板料的局部變薄，而沿溝槽沒(méi)有長(zhǎng)度的變化，即，如圖311所示，所以有單向拉伸時(shí)，因?yàn)?，所以有，故此可? (351)2y12圖311 集中頸縮示意圖 對(duì)于各向同性材料。材料的單向拉伸試驗(yàn)已證實(shí)了該結(jié)論。 單向拉伸失穩(wěn)理論是討論板材在雙向受力而以拉為主的變形方式下變形失穩(wěn)問(wèn)題的基礎(chǔ)。但是還有許多問(wèn)題有待深入研究。由于幾何尺寸與材料性質(zhì)不均，實(shí)際板條加載失穩(wěn)時(shí)產(chǎn)生分散性頸縮，其起始部位具有隨機(jī)性。頸縮區(qū)內(nèi)因應(yīng)變速率與應(yīng)變比的變化產(chǎn)生的強(qiáng)化效應(yīng)，可獲得頸縮區(qū)內(nèi)亞穩(wěn)定流動(dòng)條件，決定了分散頸縮的范圍大小與集中頸縮的出現(xiàn)時(shí)刻。 雙向拉伸失穩(wěn)理論 基本方程 的各向異性塑性理論，僅考慮厚向異性時(shí)有 (352)其中 (353) (354) ， (355) 則 (356) (357a) (357b) (357c)由式(353)可得 利用式(357a、b)除以上式，再用式(356)除以上式，注意到，則有 (358)另一方面，設(shè)材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系符合冪次式 (359) 則很顯然有下述關(guān)系 (360)上述各式即為推導(dǎo)失穩(wěn)應(yīng)變的基本關(guān)系式。 平板雙拉的載荷失穩(wěn)平板受雙向拉伸如圖312所示。P2P2P1P1abt圖312平板雙拉示意圖由應(yīng)力、應(yīng)變的定義可知 (361) (362) 準(zhǔn)則 由式(361)可推得 (363)將式(363)待入式(358)和式(360)，注意到，且在簡(jiǎn)單加載時(shí)，化簡(jiǎn)則有 (364) 準(zhǔn)則 由式(361)和(362)可將此準(zhǔn)則表達(dá)為 (365) 將式(365)代入式(358)和式(360)化簡(jiǎn)可得 (366)此乃Swift理論給出的產(chǎn)生分散性失穩(wěn)時(shí)的等效應(yīng)變。 平板雙拉的集中性失穩(wěn)雙向拉應(yīng)力狀態(tài)下的板料，其應(yīng)變狀態(tài)也有兩種可能，如圖313所示拉－壓狀態(tài)：拉－拉狀態(tài)：o圖313 雙向拉應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)變范圍在拉拉應(yīng)變區(qū)不存在應(yīng)變零線，失去了產(chǎn)生集中性失穩(wěn)的前提，Hill的集中性失穩(wěn)理論失效。1967年，波蘭學(xué)者馬辛尼克（Z. Morciniak）、庫(kù)祖斯基（K. Kuczyski）為了解決準(zhǔn)則與實(shí)際之間的分歧，提出了一種凹槽假說(shuō)，文獻(xiàn)中稱為M－K理論，但此理論尚不完善。在拉壓應(yīng)變區(qū)，集中性失穩(wěn)產(chǎn)生的條件是：板面內(nèi)必須存在一條應(yīng)變零線，在這種條件下，板料厚度的減薄率（軟化因素）恰好可由板料的強(qiáng)化率得到補(bǔ)償，溝槽乃得以產(chǎn)生、發(fā)展。設(shè)溝槽的方位是y，類似于式(351)的推導(dǎo)則有 (367)由式(357)可得 (368) 顯然，平面應(yīng)變狀態(tài)時(shí)（，或），槽與1軸垂直。如果或，即超過(guò)平面應(yīng)變的雙拉狀態(tài)，式(367)無(wú)解。 當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)在單向拉伸和平面應(yīng)變之間時(shí)（，），板面內(nèi)有應(yīng)變零線存在。當(dāng)板料達(dá)到某一變形程度時(shí)，材料的強(qiáng)化率與厚度的減薄率恰好相等，溝槽――集中性失穩(wěn)開(kāi)始發(fā)生（Hill理論），此時(shí) (369)將式(357c)和式(360)代入式(369)，即可得到產(chǎn)生集中性失穩(wěn)時(shí)的等效應(yīng)變 (370) 理論成形極限圖簡(jiǎn)單加載條件下，，式(357)變?yōu)? (371a) (371b) (371c) 在拉－拉應(yīng)變區(qū)，采用Swift理論導(dǎo)出的結(jié)果。將式(366)代入式(371a,b)得 (372) 在拉－壓應(yīng)變區(qū)，采用Hill 理論導(dǎo)出的結(jié)果。將式(370)代入式(371a,b)得 (373)在上兩式中消去則有 (374)這是一個(gè)直線方程。理論成形極限圖如圖314所示。0圖314 理論成形極限圖 軸對(duì)稱薄板自由脹形解析 軸對(duì)稱薄板自由脹形的幾何和力學(xué)特點(diǎn)圖315 軸對(duì)稱薄板自由脹形示意圖縱觀塑性理論的研究歷史，試驗(yàn)研究或?qū)嶒?yàn)驗(yàn)證的方法除單向拉伸、單向壓縮外，多是采用薄壁管拉扭復(fù)合加載和薄板自由脹形，而對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的塑性理論問(wèn)題，必須采用后兩種試驗(yàn)方法。如圖315所示，軸對(duì)稱薄板自由脹形具有下列明顯的特點(diǎn)： 1）由于是軸對(duì)稱問(wèn)題，脹形前毛坯又是平板，所以僅用一個(gè)徑向坐標(biāo)就可完整地描述質(zhì)點(diǎn)的幾何位置。 2）脹形開(kāi)始后，平板毛坯變?yōu)榭臻g殼體，但由于是軸對(duì)稱問(wèn)題，脹形輪廓和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡均可表示在一個(gè)子午剖面內(nèi)，如圖313所示。質(zhì)點(diǎn)的位置可用瞬時(shí)坐標(biāo)和表示，也可用和表示，還可用和表示。后兩種均為間接表示。脹形極點(diǎn)高度是時(shí)間的單值函數(shù)，因此可作為脹形時(shí)間的間接度量參數(shù)。 3）薄板脹形時(shí)表面積的增加靠板厚的不均勻變薄來(lái)補(bǔ)償，變形區(qū)是確定的。即為直徑為的原始毛坯。板面內(nèi)是雙向伸長(zhǎng)應(yīng)變，板厚方向是壓縮應(yīng)變。應(yīng)變主軸的方向是隨脹形過(guò)程的進(jìn)行而不斷變化的。但由于是軸對(duì)稱問(wèn)題且受力狀態(tài)簡(jiǎn)單（見(jiàn)后述），應(yīng)變主軸的方向與脹形輪廓的變化有明確的關(guān)系，即質(zhì)點(diǎn)所在位置脹形輪廓子午剖面的切線方向、法線方向及周向是三個(gè)應(yīng)變主方向。如圖313所示，可以三個(gè)主軸建立隨動(dòng)坐標(biāo)，其位置由確定，其空間方位由確定。由此可見(jiàn)，求解薄板自由脹形的變形過(guò)程，最終就是要確定質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)坐標(biāo)與原始坐標(biāo)及脹形高度之間的關(guān)系，即， (375) 將上兩式聯(lián)立消去，便可得到表示脹形中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的方程 (376) 若是聯(lián)立消去，便可得到不同脹形高度時(shí)的脹形輪廓方程 (377) 由式（377）又可確定隨動(dòng)坐標(biāo)的空間方位 (378) 4）由上述分析可知，以隨動(dòng)坐標(biāo)表示的三個(gè)應(yīng)變主軸中，主軸的方向始終不變，和兩個(gè)主軸隨脹形輪廓的變化而在子午剖面內(nèi)改變方向。應(yīng)變速率的概念是應(yīng)變分量對(duì)時(shí)間的變化率，由于是軸對(duì)稱問(wèn)題，方向必定也是應(yīng)變速率的一個(gè)主方向，且該主方向始終不變。對(duì)于薄板問(wèn)題，厚度方向必定是應(yīng)變速率的另一個(gè)主方向。根據(jù)張量的性質(zhì)，第三個(gè)應(yīng)變速率主方向則必定是脹形輪廓子午剖面的切線方向。所以，薄板自由脹形過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變主軸和應(yīng)變速率主軸始終是重合的。 5）薄板自由脹形的受力狀態(tài)簡(jiǎn)單，唯一的外載荷是均布的脹形壓力，不存在摩擦因素。塑性成形中的摩擦無(wú)論是理論研究還是實(shí)測(cè)方法均不完善。自由脹形避免了摩擦影響，質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)僅決定于材料本身的性質(zhì)和脹形壓力。薄板問(wèn)題又可作為平面應(yīng)力考慮，所以，薄板自由脹形無(wú)疑是板面內(nèi)的雙向拉應(yīng)力狀態(tài)?？紤]到問(wèn)題的軸對(duì)稱性，圖313中的隨動(dòng)坐標(biāo)同時(shí)也是質(zhì)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的主軸坐標(biāo)。至此可得結(jié)論：薄板自由脹形過(guò)程中，應(yīng)變主軸，應(yīng)變速率主軸及應(yīng)力主軸三者始終重合。 軸對(duì)稱薄板自由脹形解析的理論基礎(chǔ) 如圖313所示，為了與作者以往的研究盡量保持一致，變形質(zhì)點(diǎn)的原始坐標(biāo)、瞬時(shí)坐標(biāo)及其它有關(guān)參數(shù)均按原來(lái)的符號(hào)給出。盡管此處引入了表明質(zhì)點(diǎn)應(yīng)變、應(yīng)變速率及應(yīng)力