【正文】 變，板厚方向是壓縮應(yīng)變。但由于是軸對(duì)稱問(wèn)題且受力狀態(tài)簡(jiǎn)單（見(jiàn)后述），應(yīng)變主軸的方向與脹形輪廓的變化有明確的關(guān)系，即質(zhì)點(diǎn)所在位置脹形輪廓子午剖面的切線方向、法線方向及周向是三個(gè)應(yīng)變主方向。由此可見(jiàn)，求解薄板自由脹形的變形過(guò)程，最終就是要確定質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)坐標(biāo)與原始坐標(biāo)及脹形高度之間的關(guān)系，即， (375) 將上兩式聯(lián)立消去，便可得到表示脹形中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的方程 (376) 若是聯(lián)立消去，便可得到不同脹形高度時(shí)的脹形輪廓方程 (377) 由式（377）又可確定隨動(dòng)坐標(biāo)的空間方位 (378) 4）由上述分析可知，以隨動(dòng)坐標(biāo)表示的三個(gè)應(yīng)變主軸中，主軸的方向始終不變，和兩個(gè)主軸隨脹形輪廓的變化而在子午剖面內(nèi)改變方向。對(duì)于薄板問(wèn)題，厚度方向必定是應(yīng)變速率的另一個(gè)主方向。所以，薄板自由脹形過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變主軸和應(yīng)變速率主軸始終是重合的。塑性成形中的摩擦無(wú)論是理論研究還是實(shí)測(cè)方法均不完善。薄板問(wèn)題又可作為平面應(yīng)力考慮，所以，薄板自由脹形無(wú)疑是板面內(nèi)的雙向拉應(yīng)力狀態(tài)。至此可得結(jié)論：薄板自由脹形過(guò)程中，應(yīng)變主軸，應(yīng)變速率主軸及應(yīng)力主軸三者始終重合。盡管此處引入了表明質(zhì)點(diǎn)應(yīng)變、應(yīng)變速率及應(yīng)力主軸的隨動(dòng)坐標(biāo)、但為了統(tǒng)一，上述三個(gè)張量主分量的腳標(biāo)仍延用、和來(lái)表示。 變形前位于A處的質(zhì)點(diǎn)，變形后位于B點(diǎn)，如圖313所示，根據(jù)對(duì)數(shù)應(yīng)變的定義及幾何關(guān)系可得切向應(yīng)變 (379)由式(378)又有 (37939。它們分別為 (385) (386)（1）塑性流動(dòng)理論 對(duì)于軸對(duì)稱平面應(yīng)力問(wèn)題，根據(jù)R. Hill關(guān)于各向異性材料的經(jīng)典塑性理論，考慮面內(nèi)同性，厚向異性時(shí)應(yīng)有 (387)其中 R―板材的厚向異性系數(shù)。 經(jīng)典塑性理論認(rèn)為，塑性變形時(shí)應(yīng)力張量主軸總是與應(yīng)變?cè)隽繌埩浚ɑ驊?yīng)變速率張量）主軸重合的，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力張量主軸不一定與全量應(yīng)變張量的主軸重合。此時(shí)，等效應(yīng)力與等效應(yīng)變速率之間或等效應(yīng)力與等效應(yīng)變之間的關(guān)系滿足單向拉伸時(shí)的本構(gòu)方程。（3）常規(guī)塑性材料單向位伸時(shí)的本構(gòu)關(guān)系 常規(guī)塑性材料是應(yīng)變敏感的，常用Hollomon 公式來(lái)描述 (392)式中 KH—材料常數(shù)；—為應(yīng)變硬化指數(shù)。當(dāng)時(shí)，脹形輪廓為球殼。 另一方面，由式(282)及式(286)還可得 (398)將式(398)代入式(384)也可得到式(395)，而且推導(dǎo)更為簡(jiǎn)單。 薄板自由脹形的力學(xué)解析 因?yàn)椋?。無(wú)論是針對(duì)常規(guī)塑性材料還是針對(duì)超塑性材料，以往的解析解都是以球面脹形輪廓為前提條件獲得的。 由宏觀體積不變條件（）及圖314所示幾何關(guān)系 [] 可得 (3106)由于引入了球殼假設(shè)，則有，即，代入方程(395)得，所以由式(396)可知，再由式(3100)得。至此，由式(398)可求得應(yīng)力場(chǎng)，由式(281)和體積不變條件可得應(yīng)變場(chǎng)。（2）超性材料的解 對(duì)于超塑性材料，將式(3109)代入式(391)可得脹形高度與脹形時(shí)間之間的關(guān)系，再代入式(3107)和式(3108)可得用脹形高度表示的解析解如下 (3111)（3）討論 引入均勻球殼假設(shè)，相當(dāng)于把薄板自由脹形看成內(nèi)部存在壓力源的封閉球殼的變形過(guò)程，而薄板自由脹形是由平板成為空間殼體，兩種變形的質(zhì)點(diǎn)位移不相同，所以上述解不滿足約束方程式(3103)，因而也不滿足幾何方程式(379)和(380)。由式(3105)知，球殼的曲率半徑為。為此，令，則有 (3117) 在脹形極點(diǎn)，即對(duì)稱軸處，將此值及式(3117)代入式(388)～(390)得 (3118)（1）常規(guī)塑性材料的解 將式(3118)代入式(392)得脹形壓力，再代回(3117)得 (3119)（2）超塑性材料的解 將(3118)代入式(391)得脹形高度與脹形時(shí)間之間的關(guān)系，再代回式(3117)可得如下解析解 (3120)其中： （3）討論 不均勻球殼假設(shè)雖考慮了厚度的變化，比均勻球殼假設(shè)前進(jìn)了一步，但仍存在明顯的問(wèn)題：第一，無(wú)論是常規(guī)塑性材料還是超塑性材料，厚度分布相同；第二，僅在脹形極點(diǎn)處滿足本構(gòu)方程，其它變形質(zhì)點(diǎn)均不滿足。 圓錐形件拉深過(guò)程的能量法解析 軸對(duì)稱曲面件拉深過(guò)程的力學(xué)模型軸對(duì)稱拉深件就其成形的難易程度而言，平底筒形件的成形最為簡(jiǎn)單，球底錐形件的成形最為困難。圖317給出了平底錐形件變形前后的幾何關(guān)系。因?yàn)? (3123)所以，式（3122）給出了質(zhì)點(diǎn)的徑向位移和軸向位移，同時(shí)還是變形過(guò)程中工件的輪廓方程。圖317 錐形件拉深成形結(jié)構(gòu)示意圖HBOACx凸模壓邊圈DE凹模R 因此，以錐形件為對(duì)象建立力學(xué)模型，可描述上述四種典型軸對(duì)稱拉深件的成形過(guò)程。對(duì)于球底筒形件和球底錐形件，該區(qū)不存在； 2區(qū)，工件與凸模圓角的接觸部分，是已變形區(qū)，不產(chǎn)生新的塑性變形，但在B處存在彎曲； 3區(qū)， ，工件與凸、凹模以及壓邊圈均不接觸的懸空側(cè)壁部分，是塑性變形區(qū)； 4區(qū)， ,工件與凹模圓角的接觸部分，是塑性變形區(qū)，且D處有彎曲，C處有反向彎曲，整個(gè)區(qū)內(nèi)存在單面摩擦；5區(qū)，工件與凹模端面及壓邊圈相接觸的平法蘭部分，是塑性變形區(qū)，由壓邊圈傳遞的壓邊力作用在該區(qū)上，且該區(qū)內(nèi)存在雙面摩擦。迄今為止，與其他諸項(xiàng)影響因素相比較，摩擦應(yīng)力的分布及其對(duì)變形過(guò)程的影響是我們所知最少的。所以，法蘭外側(cè)單位弧長(zhǎng)上的單面摩擦力為。圖318 接觸摩擦的簡(jiǎn)化現(xiàn)在將工件與凹模在接觸面處分離開(kāi)來(lái)，可從工件所受的軸向外力平衡的角度來(lái)重新考慮4區(qū)和5區(qū)上表面摩擦的影響。設(shè)其分布為 (3125)其中是5區(qū)上表面均布的接觸正應(yīng)力，可根據(jù)分離后工件所受外力的軸向平衡關(guān)系來(lái)確定，即 (3126) (3127a)在上式分母中，令 。 ,。況且在式(3127a)中，兩者一正一負(fù)，相互抵銷，對(duì)的影響就更小，因此可近似地取，則有 (3127b) 拉深力－行程曲線的能量法解析 基本假設(shè) 實(shí)驗(yàn)觀察表明，錐形件拉深過(guò)程中，其3區(qū)懸空部分經(jīng)向剖面的輪廓線是一未知曲線。為便于解析分析，將該曲線近似為一直線，即認(rèn)為變形過(guò)程中任一時(shí)刻3區(qū)懸空側(cè)壁部分的母線均為一直線，并在B、C處與凸、凹模圓角相切，如圖317所示。為便于分析，設(shè)其平均厚度與變形前相同，則塑性變形的體積不變條件轉(zhuǎn)化為面積不變。此處參照直梁的塑性彎曲理論，假設(shè)彎曲面上的彎矩由中性層以內(nèi)使金屬產(chǎn)生塑性流動(dòng)的和中性層以外使金屬產(chǎn)生塑性流動(dòng)的構(gòu)成。 基本方程 對(duì)于軸對(duì)稱薄板成形問(wèn)題，當(dāng)變形前為平板毛坯，變形后成為軸對(duì)稱空間殼體時(shí)，板面內(nèi)的兩個(gè)主應(yīng)變決定于變形后殼體的輪廓形狀及質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)徑向坐標(biāo)與原始徑向坐標(biāo)之間的關(guān)系，即其幾何方程可表達(dá)為 , (3134) 忽略彈性變形，考慮板材面內(nèi)同性，厚向異性， (3135)式中 (3136) (3137)類似地 (3138)式中為板材的厚向異性系數(shù)，、和分別為質(zhì)點(diǎn)的等效應(yīng)力、等效應(yīng)變和等效應(yīng)變速率。 設(shè)剛塑性變形體的體積為，總表面積為，受表面力作用而處于塑性狀態(tài)，其應(yīng)力場(chǎng)為，位移速度場(chǎng)為，應(yīng)變速率場(chǎng)為，則其基本能量方程為 (3140)對(duì)于圖315所示的軸對(duì)稱曲面件拉深成形，式(3140)的左端應(yīng)包括外載荷單位時(shí)間內(nèi)所作的功及4區(qū)和5區(qū)接觸面摩擦力單位時(shí)間內(nèi)所消耗的功；式（3140）的右端應(yīng)包括5區(qū)單位時(shí)間內(nèi)的塑性變形功以及B、C、D處單位時(shí)間內(nèi)的彎曲變形功。設(shè)質(zhì)點(diǎn)絕對(duì)流動(dòng)速度方向與徑向位移速度之間的夾角為，則摩擦面上的質(zhì)點(diǎn)絕對(duì)流動(dòng)速度應(yīng)為 (3147)在第4變形區(qū)，在第5變形區(qū)。將此結(jié)論及式（3147）、（3148）代入基本能量方程式（3140），可得軸對(duì)稱曲面件拉深力的一般表達(dá)式 (3150)其中是沖頭的速度，是摩擦接觸面的面積，是質(zhì)點(diǎn)徑向位移速度，是彎曲面的彎曲角速度 (3151)將摩擦應(yīng)力分布式（3124）～（3127）、質(zhì)點(diǎn)徑向速度分布式（3146）以及彎曲面彎矩式（3133）、彎曲面彎曲角速度式（3151）代入式（3150）化簡(jiǎn)整理，可得到拉深力－行程曲線的解析公式 (3152a)其中 (3152b) 板材拉深起皺失穩(wěn)起皺與拉斷是板料成形過(guò)程順利進(jìn)行的兩種主要障礙，這兩種障礙實(shí)質(zhì)上都是板料塑性變形不能穩(wěn)定進(jìn)行的結(jié)果。本章將對(duì)近些年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者在板材成形失穩(wěn)方面的一些成果作一介紹。在臨界狀態(tài)下： (3153)下文分析中要用到塑性切線模數(shù)，其定義為硬化曲線的切線斜率，在此事先給出。圖319 壓延時(shí)突緣失穩(wěn)起皺（1） 假設(shè)為突緣變形區(qū)的平均半徑，為突緣寬度，失穩(wěn)起皺后，皺紋的高度為，波形為正弦曲線，波紋數(shù)為，半波的長(zhǎng)度為： (3159)如以坐標(biāo)表示任意點(diǎn)波紋的撓度，坐標(biāo)表示此點(diǎn)在半徑的圓周上的投影位置，于是半波的數(shù)學(xué)模型可以表示為： (3160)利用材料力學(xué)有關(guān)彈性彎曲的能量公式： (3161)用折減模量代替上式中的彈性模量。于是可以求得半波的彎曲功為： (3162)將式（3160）代入式（3162），積分后，可得： (3163)（2） 突緣失穩(wěn)起皺以后，周長(zhǎng)縮短，半波的縮短量為： (3164)式中和分別為半波微分段的弧長(zhǎng)及其在軸上的投影長(zhǎng)度。計(jì)算項(xiàng)時(shí)應(yīng)該考慮進(jìn)去，分析如下。如果取平均值，則上式可以寫作： (3169)式中，為一常數(shù)，所以載荷與撓度成正比。起皺時(shí)，波紋隆起。根據(jù)式(3153)，將、 之值帶代入，可得： (3172)將上式對(duì)波數(shù)微分，令，即可得臨界狀態(tài)下之波數(shù)為： (3173)將值代入式(3172)，即可求得凸緣起皺時(shí)的最小切向應(yīng)力為： (3174)而不需壓邊的極限條件可以表示為： (3175)如果材料的一般性實(shí)際應(yīng)力曲線為式(3154)，假定壓延時(shí)，整個(gè)突緣寬度上均為平均切向應(yīng)力