【文章內(nèi)容簡介】 ? r∶ ? r=? ∶ 1. 22 12221223.(2022河北 ,19,6分 )如圖 1,作 ∠ BPC平分線的反向延長線 PA ,現(xiàn)要分別以 ∠ APB,∠ APC,∠ BPC 為內(nèi)角作正多邊形 ,且邊長均為 1,將作出的三個正多邊形填充不同花紋后成為一個圖案 . 例如 :若以 ∠ BPC為內(nèi)角 ,可作出一個邊長為 1的正方形 ,此時 ∠ BPC=90176。,而 ? =45176。是 360176。(多 邊形外角和 )的 ? ,這樣就恰好可作出兩個邊長均為 1的正八邊形 ,填充花紋后得到一個符合要 求的圖案 ,如圖 2所示 . 圖 2中的圖案外輪廓周長是 。 在所有符合要求的圖案中選一個外輪廓周長最大的定為會標(biāo) ,則會標(biāo)的外輪廓周長是 . ? 圖 1 902 ?18 ? 圖 2 答案 14。21 解析 題圖 2中的圖案由兩個邊長均為 1的正八邊形和 1個邊長為 1的正方形組成 ,且三個正多 邊形三邊相連 ,題圖 2中的圖案外輪廓周長是 6+6+2= 1,顯然 以 ∠ APB,∠ APC為內(nèi)角的兩個正多邊形的邊數(shù)越多 (即以 ∠ BPC為內(nèi)角的正多邊形的邊數(shù)越 少 ),會標(biāo)的外輪廓周長越大 .當(dāng)以 ∠ BPC為內(nèi)角的正多邊形為等邊三角形時 ,會標(biāo)的外輪廓周 長最大 .此時 ∠ APB=150176。,以 ∠ APB,∠ APC為內(nèi)角的兩個正多邊形均為正十二邊形 ,會標(biāo)的外 輪廓周長為 10+10+1=21. 4.(2022四川宜賓 ,15,3分 )如圖 ,☉ O的內(nèi)接正五邊形 ABCDE的對角線 AD與 BE相交于點 G,AE=2, 則 EG的長是 . ? 答案 ? 1 5解析 ∵ 五邊形 ABCDE是內(nèi)接正五邊形 ,∴ 正五邊形的每個內(nèi)角都是 108176。,即 ∠ AED=108176。.∵ AE=DE,∴∠ EAD=∠ EDA=36176。.同理可得 ∠ ABE=∠ AEB=36176。,∴∠ DEB=72176。,∴∠ DGE=72176。,∴ DG=DE=AE=2.∵∠ EAD=∠ AEB=36176。,∴ AG=EG,∴ △ EAG∽ △ DAE,∴ ? =? ,即 ? = ? ,解得 EG=1177。? ,負值舍去 ,EG=? 1. EGEDAEAD22EG?5 5C組 教師專用題組 考點一 弧長、扇形的面積 1.(2022遼寧沈陽 ,10,2分 )如圖 ,正方形 ABCD內(nèi)接于☉ O,AB=2? ,則 ? 的長是 ? ( ) ? B.? π D.? π 2AB︵32 12答案 A 連接 AC、 BD交于點 O39。,∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ BAD=∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=90176。, ∴ AC、 BD是直徑 ,∴ 點 O39。與點 O重合 , ∴∠ AOB=90176。,AO=BO,∵ AB=2? ,∴ AO=2, ∴ ? 的長為 ? =π. 2︵ 90 2180? ?思路分析 由正方形的性質(zhì)可得 ,∠ AOB=90176。,又 AO=BO,由勾股定理可得圓的半徑 ,將所得到 的結(jié)果代入弧長公式即可 . 方法總結(jié) 求弧長一般需要兩個條件 ,一個是圓心角度數(shù) ,一個是圓半徑 .常用連接半徑的方 法 ,構(gòu)造等腰三角形 ,或加上弦心距 ,構(gòu)造直角三角形求解 . 2.(2022四川成都 ,9,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,∠ B=60176。,☉ C的半徑為 3,則圖中陰影部分的面積是 ? ( ) ? 答案 C 在 ?ABCD中 ,∠ B=60176。,∴∠ C=120176。. ∵ ☉ C的半徑為 3, ∴ S陰影 =? = C. 220 3360???3.(2022湖北咸寧 ,7,3分 )如圖 ,☉ O的半徑為 3,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,連接 OB,OD,若 ∠ BOD= ∠ BCD,則 ? 的長為 ? ( ) ? B.? π BD︵32答案 C ∵ 四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,∴∠ BAD+∠ BCD=180176。, ∵∠ BOD=∠ BCD,∴∠ BAD+∠ BOD=180176。, ∵∠ BAD=? ∠ BOD,∴ ? ∠ BOD+∠ BOD=180176。,∴∠ BOD=120176。,∵ ☉ O的半徑為 3,∴ ? 的長為 ? =2π. 12 12 BD︵120 3180? ?4.(2022四川涼山州 ,12,4分 )如圖 ,一個半徑為 1的☉ O1經(jīng)過一個半徑為 ? 的☉ O的圓心 ,則圖中 陰影部分的面積為 ? ( ) ? B.? C.? D.? 212 2 22答案 A 如圖 ,設(shè)☉ O1與☉ O相交于 A,B兩點 ,連接 OO1,OA,OB,AB. ? ∵ ☉ O的半徑為 ? ,☉ O1的半徑為 1,點 O在☉ O1上 ,∴ OA=? ,O1A=O1O=1,則有 (? )2=12+12,∴ OA2=O1A2+O1O2,∴ △ OO1A為直角三角形 ,∴∠ AOO1=45176。,同理可得 ∠ BOO1=45176。,∴∠ AOB=90176。, ∴ AB為☉ O1的直徑 ,∴ S陰影部分 =S半圓 ABS弓形 AB=S半圓 AB(S扇形 OABS△ OAB)=S半圓 ABS扇形 OAB+S△ OAB=? π12 ? +? ? ? = A. 2 212290 ( 2 )360? ?12 225.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,9,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ ABC=45176。,以 AB為直徑的☉ O交 BC于 點 BC=4? ,則圖中陰影部分的面積為 ? ( ) ? +1 +2 +2 +1 2答案 B 連接 AD,OD,∵ AB是直徑 ,AB=AC,∴ AD⊥ BC,BD=CD,∴ OD是△ ABC的中位線 ,易知 ∠ CAB=90176。,由 BC=4? 可得 AB=AC=4,∴ OB=2.∴ S陰影 =S△ OBD+S扇形 OAD=? 22+? π22=2+π. 12 90360思路分析 先將陰影部分分割成一個三角形和一個扇形 ,再分別計算這兩個圖形的面積并求 和 . 6.(2022浙江衢州 ,10,3分 )運用圖形變化的方法研究下列問題 :如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,CD、 EF是 ☉ O的弦 ,且 AB∥ CD∥ EF,AB=10,CD=6,EF= ? ( ) ? A.? π +4π +5π 252答案 A 如圖 ,作直徑 CG,連接 OD、 OE、 OF、 DG. ∵ CG是☉ O的直徑 , ∴∠ CDG=90176。,∴ DG=? =? =8, 又 ∵ EF=8, ∴ DG=EF, ∴ ?= ? , ∴ S扇形 ODG=S扇形 OEF, ∵ AB∥ CD∥ EF, ∴ S△ OCD=S△ ACD,S△ OEF=S△ AEF, ∴ S陰影 =S扇形 OCD+S扇形 OEF=S扇形 OCD+S扇形 ODG=S半圓 =? π52=? π. ? 22CG CD?10 6?︵ ︵12 2527.(2022濰坊 ,11,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=30176。,BC=2? ,以直角邊 AC為直徑作☉ O交 AB于點 D,則圖中陰影部分的面積是 ? ( ) ? A.? ? π B.? ? π C.? ? D.? ? 31 5 34321 5 32327346? 26?答案 A ∵∠ ACB=90176。,∠ A=30176。,BC=2? , ∴ tan 30176。=? =? ,即 AC=? BC=6, ∴ S△ ABC=? ACBC=? 62? =6? , 連接 OD,CD,∵ AC為☉ O的直徑 , ? ∴∠ ADC=90176。, ∴ CD=? AC=3,AD=? AC=3? , ∴ S△ ACD=? ADCD=? 3? 3=? . ∴ S△ AOD=? S△ ACD=? , 333312 1 3312 32312 12 393212 4∵∠ COD=2∠ A=60176。,OC=? AC=3, ∴ S扇形 COD=? =? π, ∴ S陰影 =6? ? ? π=? ? π,故選 A. 12260 3360???323934321 5 3432易錯警示 此類問題容易出錯的地方是不能正確表示陰影部分的面積 ,求不規(guī)則圖形的面積 需要根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差來進行計算 . 8.(2022河南 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AC=BC=2,將△ ABC繞 AC的中點 D逆時針旋 轉(zhuǎn) 90176。得到△ A39。B39。C39。,其中點 B的運動路徑為 ?, 則圖中陰影部分的面積為 . ? 39。BB︵答案 ? ? 54?32解析 如圖 ,連接 B39。D,BD,作 DE⊥ A39。B39。于點 E. ? 在 Rt△ BCD中 ,BC=2,CD=? AC=1, ∴ BD=? =? . 由旋轉(zhuǎn)得 A39。B39?！?AB,∠ B39。DB=90176。,DE=? AA39。=? AB=? ,B39。C=? , ∴ S陰影 =S扇形 B39。DBS△ B39。CDS△ BCD=? ? ? ? ? 21=? ? . 12 22B CD?5121422290 5360? ?12 221254?32思路分析 首先確定 ? 所在圓的圓心為點 D,根據(jù)題意求出半徑 DB和圓心角 ∠ B39。DB的度數(shù) , 然后通過 S扇形 B39。DBS△ B39。CDS△ BCD可求得陰影部分的面積 . 39。BB︵9.(2022遼寧遼陽 ,13,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,以 AB為直徑的☉ O與 BC相交于點 D,過點 D作☉ O的 切線交 AC于點 E,若☉ O的半徑為 5,∠ CDE=20176。,則弧 BD的長為 . ? 答案 ? π 109解析 如圖 ,連接 OD,∵ 過點 D作☉ O的切線交 AC于點 E,∴∠ ODE=90176。, ? ∵∠ CDE=20176。,∴∠ 1=180176?！?CDE∠ ODE=180176。20176。90176。=70176。. ∵∠ 1=∠ 2=70176。,∴∠ 3=40176。, ∴ 弧 BD的長為 5π? =? . 40180109?10.(2022遼寧營口 ,15,3分 )如圖 ,將矩形 ABCD繞點 C沿順時針方向旋轉(zhuǎn) 90176。到矩形 A39。B39。CD39。的位 置 ,AB=2,AD=4,則陰影部分的面積為 . 答案 ? π2? 83 3解析 ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD=BC=4,CD=AB=2,∠ BCD=∠ ADC=90176。,∴ CE=BC=4,∴ CE =2CD,∴∠ DEC=30176。,∴∠ DCE=60176。,由勾股定理得 DE=2? ,∴ 陰影部分的面積是 S扇形 CEB39。S△ CDE= ? ? 22? =? π2? . 3260 4360? ?12 383 311.(2022青海 ,8,2分 )如圖 ,AC是汽車擋風(fēng)玻璃前的雨刷器 .如果 AO=45 cm,CO=5 cm,當(dāng) AC繞點 O順時針旋轉(zhuǎn) 90176。時 ,雨刷器 AC掃過的面積為 cm2(結(jié)果保留 π). ? 答案 500π 解析 S陰影 =S扇形 AOA39。+S△ A39。OC39。S△ AOCS扇形 COC39。=S扇形 AOA39。S扇形 COC39。=? π452? π52=500π cm2. 14 1412.(2022德州 ,16,4分 )將半徑為 1的半圓形紙片按如圖方式折疊 ,使對折后半圓弧的中點 M與圓 心 O重合 ,則圖中陰影部分的面積是 . ? 答案 ? ? 326?解析 如圖 ,連接 OM交 AB于點 C,連接 OA、 OB, ? 由題意知 OM⊥ AB,且 OC=MC=? , 在 Rt△ AOC中 ,∵ OA=1,OC=? , ∴ cos∠ AOC=? =? ,AC=? =? , ∴∠ AOC=60176。,AB=2AC=? , ∴∠ AOB=2∠ AOC=120176。, 則 S弓形 ABM=S扇形 AOBS△ AOB=? ? ? ? =? ? , ∴ S陰影 =S半圓 2S弓形 ABM=? π122? =? ? . 121212 22OA OC?323220 1360? ?12 3123? 341 334????????326?13.(2022威海 ,18,3分 )如圖 ,☉ A與☉ B外切于☉ O的圓心 O,☉ O的半徑為 1,則陰影部分的面積是 . ? 答案 ? ? 33