【文章內(nèi)容簡介】 ? ∠ BAC,所以 ∠ BPC=∠ BAD,所以 tan∠ BPC =tan∠ BAD=? =? . 12BD437.(2022河南 ,11,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,按以下步驟作圖 :①分別以點 B、 C為圓心 ,以大于 ? BC的 長為半徑作弧 ,兩弧相交于 M、 N兩點 。②作直線 MN交 AB于點 D,連接 CD=AC,∠ B=25176。,則 ∠ ACB的度數(shù)為 . ? 12答案 105176。 解析 由題意知 MN垂直平分 BC,∴ CD=BD, 又 CD=AC,∴ AC=CD=BD,∴∠ DCB=∠ B=25176。, ∴∠ A=∠ CDA=50176。,∴∠ ACB=180176?！?A∠ B=105176。. 8.(2022湖北武漢 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=2? ,∠ BAC=120176。,點 D,E都在邊 BC上 , ∠ DAE=60176。.若 BD=2CE,則 DE的長為 . ? 3答案 3? 3 3解析 如圖 ,將△ ABD沿 AD翻折得△ AFD,連接 EF, ∴ AB=AF=AC,BD=DF,∠ AFD=∠ B=30176。, ∵∠ BAC=120176。,∠ DAE=60176。,∴∠ BAD+∠ CAE=60176。, 又 ∠ BAD=∠ FAD,∴∠ FAD+∠ CAE=60176。,∴∠ CAE=∠ FAE, ∴ △ ACE≌ △ AFE(SAS),∴ CE=EF,∠ AFE=∠ C=30176。, ∴∠ DFE=60176。. 過點 E作 EH⊥ DF,交 DF于點 H,過點 A作 AM⊥ BC,交 BC于點 M. 設(shè) CE=2x, 則 BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=? x,DH=3x, 又 BC=2BM=2ABcos 30176。=6,∴ DE=66x, 在 Rt△ DEH中 ,DE2=DH2+EH2,即 (66x)2=(3x)2+(? x)2, 解得 x1=? ,x2=? (舍去 ). ∴ DE=66x=3? 3. 33332? 2?3? 一題多解 將△ ABD繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn) 120176。得△ ACF,連接 EF,∴ CF=△ ADE≌ △ AFE, ∴ DE=EF. ∵∠ ACD=∠ B=30176。,∴∠ FCE=60176。. 過點 E作 EH⊥ CF,交 CF于點 H,設(shè) CE=2x, 則 BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH=? x. 過點 A作 AM⊥ BC,交 BC于點 M, 則 BC=2CM=2ACcos 30176。=22? ? =6, ∴ FE=DE=66x, 在 Rt△ EFH中 ,FE2=FH2+EH2,即 (66x)2=(3x)2+(? x)2, 解得 x1=? ,x2=? (舍去 ). ∴ DE=66x=3? 3. 33 323332? 2?39.(2022北京 ,28,7分 )在等腰直角△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,P是線段 BC上一動點 (與點 B,C不重合 ), 連接 AP,延長 BC至點 Q,使得 CQ=CP,過點 Q作 QH⊥ AP于點 H,延長交 AB于點 M. (1)若 ∠ PAC=α,求 ∠ AMQ的大小 (用含 α的式子表示 )。 (2)用等式表示線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系 ,并證明 . ? 解析 (1)∵ △ ACB是等腰直角三角形 , ∴∠ CAB=45176。,∴∠ PAB=45176。α. ∵ QH⊥ AP,∴∠ AMQ=90176?！?PAB=45176。+α. (2)線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系為 PQ=? MB. 證明 :連接 AQ,過點 M作 MN⊥ BQ于點 N,如圖 . ? 則△ MNB為等腰直角三角形 ,MB=? MN. ∵ AC⊥ BQ,CQ=CP,∴ AP=AQ,∠ QAC=∠ PAC. ∴∠ QAM=∠ BAC+∠ QAC=45176。+∠ QAC=45176。+∠ PAC=∠ AMQ, ∴ QA=QM. ∵∠ MQN+∠ APQ=∠ PAC+∠ APQ=90176。, 22∴∠ MQN=∠ PAC,∴∠ MQN=∠ QAC, ∴ Rt△ QAC≌ Rt△ MQN, ∴ QC=MN,∴ PQ=2QC=2MN=? MB. 2解題關(guān)鍵 解決本題第 (2)問的關(guān)鍵是要通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形 ,從而找出邊與邊之 間的數(shù)量關(guān)系 . 10.(2022北京 ,20,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,BE⊥ AC于點 E. 求證 :∠ CBE=∠ BAD. ? 證明 ∵ AB=AC,AD是 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD. ∵ BE⊥ AC,∴∠ BEC=∠ ADC=90176。. ∴∠ CBE=90176。∠ C,∠ CAD=90176。∠ C. ∴∠ CBE=∠ CAD. ∴∠ CBE=∠ BAD. 11.(2022福建龍巖 ,24,13分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AC=6,BC=8,點 D以每秒 1個單位長 度的速度由點 A向點 B勻速運動 ,到達 B點即停止運動 .M,N分別是 AD,CD的中點 ,連接 D 運動的時間為 t. (1)判斷 MN與 AC的位置關(guān)系 。 (2)求點 D由點 A向點 B勻速運動的過程中 ,線段 MN所掃過區(qū)域的面積 。 (3)若△ DMN是等腰三角形 ,求 t的值 . ? 解析 (1)在△ ADC中 ,M是 AD的中點 ,N是 DC的中點 , ∴ MN∥ AC.? (3分 ) (2)如圖 ,分別取△ ABC三邊中點 E,F,G,并連接 EG,FG. 根據(jù)題意可知線段 MN掃過區(qū)域的面積就是 ?AFGE的面積 . ∵ AC=6,BC=8,∴ AE=3,GC=4, ∵∠ ACB=90176。,∴ S?AFGE=AEGC=12, ∴ 線段 MN掃過區(qū)域的面積為 12.? (7分 ) (3)解法一 :依題意可知 ,MD=? AD,DN=? DC,MN=? AC=3. (i)當(dāng) MD=MN=3時 ,△ DMN為等腰三角形 ,此時 AD=AC=6,∴ t=6.? (9分 ) (ii)當(dāng) MD=DN時 ,AD=DC, 過 D作 DH⊥ AC交 AC于 H, 則 AH=? AC=3, ∵ cos A=? =? , ∴ AD=t=5.? (11分 ) 12 12 1212 AB? (iii)當(dāng) DN=MN=3時 ,AC= MC,則 CM⊥ AD. ∵ cos A=? =? ,即 ? =? , ∴ AM=? ,∴ AD=t=2AM=? . 綜上所述 ,當(dāng) t=5或 6或 ? 時 ,△ DMN為等腰三角形 .? (13分 ) 解法二 :依題意可知 ,MD=? AD,DN=? DC,MN=? AC=3. (i)當(dāng) MD=MN=3時 ,△ DMN為等腰三角形 ,此時 AD=AC=6, ∴ t=6.? (9分 ) (ii)當(dāng) MD=DN時 ,AD=DC,∴∠ DAC=∠ ACD, ∵∠ ACB=90176。,∴∠ BCD+∠ ACD=90176。,∠ B+∠ BAC=90176。, AMAB6610185 365512 12 12∴∠ B=∠ BCD,∴ BD=CD=AD, 在 Rt△ ABC中 ,AB=? =10, ∴ t=AD=? AB=5.? (11分 ) (iii)當(dāng) DN=MN=3時 ,AC=DC,連接 MC,則 CM⊥ AB. ? ∵ S△ ACB=? BCAC=? ABMC,∴ CM=? . 在 Rt△ AMC中 ,AM=? =? .∴ t=AD=2AM=? . 綜上所述 ,當(dāng) t=5或 6或 ? 時 ,△ DMN為等腰三角形 .(13分 ) 22AC BC?1212 12 245 AC CM?185 36536512.(2022重慶 ,25,12分 )如圖 1,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∠ BAC=60176。.點 E是 ∠ BAC角平分線上一 點 .過點 E作 AE的垂線 ,過點 A作 AB的垂線 ,兩垂線交于點 D,連接 DB,點 F是 BD的中點 .DH⊥ AC, 垂足為 H,連接 EF,HF. (1)如圖 1,若點 H是 AC的中點 ,AC=2? ,求 AB,BD的長 。 (2)如圖 1,求證 :HF=EF。 (3)如圖 2,連接 CF, :△ CEF是否是等邊三角形 .若是 ,請證明 。若不是 ,請說明理由 . ? 圖 1 3 ? 圖 2 解析 (1)∵ 點 H是 AC的中點 ,AC=2? , ∴ AH=? AC=? .? (1分 ) ∵∠ ACB=90176。,∠ BAC=60176。,∴∠ ABC=30176。,∴ AB=2AC=4? .? (2分 ) ∵ DA⊥ AB,DH⊥ AC,∴∠ DAB=∠ DHA=90176。. ∴∠ DAH=30176。,∴ AD=2.? (3分 ) 在 Rt△ ADB中 ,∵∠ DAB=90176。,∴ BD2=AD2+AB2. ∴ BD=? =2? .? (4分 ) (2)證明 :連接 AF,如圖 . ? 312 3 322(4 3)?13∵ F是 BD的中點 ,∠ DAB=90176。,∴ AF=DF,∴∠ FDA=∠ FAD.? (5分 ) ∵ DE⊥ AE,∴∠ DEA=90176。. ∵∠ DHA=90176。,∠ DAH=30176。,∴ DH=? AD. ∵ AE平分 ∠ BAC,∴∠ CAE=? ∠ BAC=30176。. ∴∠ DAE=60176。,∴∠ ADE=30176。. ∴ AE=? AD,∴ AE=DH.? (6分 ) ∵∠ FDA=∠ FAD,∠ HDA=∠ EAD=60176。, ∴∠ FDA∠ HDA=∠ FAD∠ EAD, ∴∠ FDH=∠ FAE.? (7分 ) ∴ △ FDH≌ △ FAE(SAS).∴ FH=FE.? (8分 ) (3)△ CEF是等邊三角形 .? (9分 ) 理由如下 :取 AB的中點 G,連接 FG, . 121212? ∵ F是 BD的中點 ,∴ FG∥ DA,FG=? DA. ∴∠ FGA=180176?！?DAG=90176。, 又 ∵ AE=? AD,∴ AE=FG. 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, 點 G為 AB的中點 ,∴ CG=AG. 又 ∵∠ CAB=60176。,∴ △ GAC為等邊三角形 .? (10分 ) ∴ AC=CG,∠ ACG=∠ AGC=60176。. 1212∴∠ FGC=30176。,∴∠ FGC=∠ EAC. ∴ △ FGC≌ △ EAC(SAS).? (11分 ) ∴ CF=CE,∠ ACE=∠ GCF. ∵∠ ECF=∠ ECG+∠ GCF=∠ ECG+∠ ACE=∠ ACG=60176。, ∴ △ CEF是等邊三角形 .? (12分 ) 13.(2022浙江溫州 ,20,10分 )如圖 ,在等邊三角形 ABC中 ,點 D,E分別在邊 BC,AC上 ,且 DE∥ AB,過 點 E作 EF⊥ DE,交 BC的延長線于點 F. (1)求 ∠ F的度數(shù) 。 (2)若 CD=2,求 DF的長 . ? 解析 (1)∵ △ ABC是等邊三角形 , ∴∠ B=60176。. ∵ DE∥ AB,∴∠ EDC=∠ B=60176。. ∵ EF⊥ DE,∴∠ DEF=90176。. ∴∠ F=90176?！?EDC=30176。. (2)∵∠ ACB=60176。,∠ EDC=60176。, ∴ △ EDC是等邊三角形 . ∴ ED=DC=2. ∵∠ DEF=90176。,∠ F=30176。, ∴ DF=2DE=4. 14.(2022黑龍江哈爾濱 ,28,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,對角線 AC、 BD相交于點 E,且 AC⊥ BD,∠ ADB=∠ CAD+∠ ABD,∠ BAD=3∠ CBD. (1)求證 :△ ABC為等腰三角形 。 (2)M是線段 BD上一點 ,BM∶ AB=3∶ 4,點 F在 BA的延長線上 ,連接 FM,∠ BFM的平分線 FN交 BD 于點 N,交 AD于點 G,點 H為 BF中點 ,連接 MH,當(dāng) GN=GD時 ,探究線段 CD、 FM、 MH之間的數(shù)量 關(guān)系 ,并證明你的結(jié)論 . ? 解析 (1)證明 :如圖 1,作 ∠ BAP=∠ DAE,AP交 BD于 P, ? 圖 1 設(shè) ∠ CBD=α,∠ CAD=β, ∵∠ ADB=∠ CAD+∠ ABD,∠ APE=∠ BAP+∠ ABD, ∴∠ APE=∠ ADB,∴ AP=AD,? (1分 ) ∵ AC⊥ BD,∴∠ PAE=∠ DAE=β,? (2分 ) ∴∠ PAD=2β,∠ BAD=3β, ∵∠ BAD=3∠ CBD, ∴ 3β=3α,∴ β=α,? (3分 ) ∵ AC⊥ BD,∴∠ ACB=90176。α=90176。β, ∵∠ ABC=180176?！?BAC∠ ACB=90176。β, ∴∠ ACB=∠ ABC,? (4分 ) ∴ AB=AC, ∴ △ ABC為等腰三角形 .? (5分 ) (2)2MH=FM+? CD.? (6分 ) 證明 :如圖 2,由 (1)知 ,AP=AD,AB=AC,∠ BAP=∠ CAD=β, ∴ △ ABP≌ △ ACD,∴∠ ABE=∠ ACD,? (7分 ) ∵ AC⊥ BD,∴∠ GDN=90176。β, ∵ GN=GD, ∴∠ GND=∠ GDN=90176。β,∴∠ AGF=∠ NGD=2β