【文章內容簡介】 . 12 22AB BC?28.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,5,2分 )如圖 ,CD是△ ABC的中線 ,點 E、 F分別是 AC、 DC的中點 ,EF=1,則 BD= . ? 答案 2 解析 ∵ 點 E、 F分別是 AC、 DC的中點 , ∴ EF是△ ACD的中位線 , ∴ AD=2EF=2, 又 ∵ CD是△ ABC的中線 , ∴ BD=AD=2. 9.(2022江蘇揚州 ,14,3分 )如圖 ,△ ABC的中位線 DE=5 cm,把△ ABC沿 DE折疊 ,使點 A落在邊 BC 上的點 F處 ,若 A、 F兩點間的距離是 8 cm,則△ ABC的面積為 cm2. ? 答案 40 解析 連接 AF,因為 DE是中位線 ,且 DE=5 cm,所以 DE∥ BC,且 BC=2DE=10 cm,因為 A、 F關于 DE對稱 ,所以 AF⊥ DE,所以 AF⊥ BC,所以△ ABC的面積為 ? 108=40 cm2. ? 1210.(2022湖南郴州 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,若 E是 AB的中點 ,F是 AC的中點 ,∠ B=50176。,則 ∠ AEF = . ? 答案 50176。 解析 因為 E、 F分別為 AB、 AC的中點 ,所以 EF∥ BC,所以 ∠ AEF=∠ B=50176。. 11.(2022江西 ,15,6分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB∥ CD,AB=2CD,E為 AB的中點 .請僅用 ? 分別按下列要求畫圖 (保留畫圖痕跡 ). (1)在圖 1中 ,畫出△ ABD的 BD邊上的中線 。 (2)在圖 2中 ,若 BA=BD,畫出△ ABD的 AD邊上的高 . ? ??????無 刻 度 的 直 尺解析 畫法如圖 . (1)AF即為所求 . ? (2)BF即為所求 . ? 思路分析 (1)(見答案第一個圖 )連接 EC,通過判斷四邊形 BEDC是平行四邊形得出 EC和 BD的 交點 F為線段 BD的中點 ,進而畫出所求 。 (2)(見答案第二個圖 )連接 EC,ED,連接點 A與 EC和 BD的交點 ,利用三角形重心的性質及等腰三 角形三線合一的知識畫出△ ABD的 AD邊上的高 . 解題關鍵 本題考查復雜作圖 ,解題的關鍵是靈活運用平行四邊形的性質和三角形的重心及 等腰三角形三線合一等知識解決問題 . 12.(2022福建 ,19,8分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,AD⊥ BC,垂足為 ∠ ABC的平分線 ,分別 交 AD,AC于 P,Q兩點 ,并證明 AP=AQ. (要求 :尺規(guī)作圖 ,保留作圖痕跡 ,不寫作法 ) ? 解析 如圖 ,BQ是所求作的 ∠ ABC的平分線 ,P,Q是所求作的點 . ? 證明如下 : ∵ AD⊥ BC,∴∠ ADB=90176。,∴∠ BPD+∠ PBD=90176。. ∵∠ BAC=90176。,∴∠ AQP+∠ ABQ=90176。. ∵∠ ABQ=∠ PBD,∴∠ BPD=∠ AQP. ∵∠ BPD=∠ APQ,∴∠ APQ=∠ AQP,∴ AP=AQ. 考點二 全等三角形的判定與性質 1.(2022云南昆明 ,15,6分 )如圖 ,在△ ABC和△ ADE中 ,AB=AD,∠ B=∠ D,∠ 1=∠ :BC=DE. ? 證明 ∵∠ 1=∠ 2, ∴∠ 1+∠ DAC=∠ 2+∠ DAC, 即 ∠ BAC=∠ DAE,? (1分 ) 在△ ABC和△ ADE中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ABC≌ △ ADE(ASA),? (5分 ) ∴ BC=DE.? (6分 ) (其他證法參照此標準給分 ) ,B A C D A EA B A DBD? ? ?????? ? ? ??2.(2022河北 ,23,9分 )如圖 ,∠ A=∠ B=50176。,P為 AB中點 ,點 M為射線 AC上 (不與點 A重合 )的任意一 點 ,連接 MP,并使 MP的延長線交射線 BD于點 N,設 ∠ BPN=α. (1)求證 :△ APM≌ △ BPN。 (2)當 MN=2BN時 ,求 α的度數(shù) 。 (3)若△ BPN的外心在該三角形的內部 ,直接 寫出 α的取值范圍 . ? 解析 (1)證明 :∵ P為 AB中點 ,∴ PA =PB. 又 ∵∠ A=∠ B,∠ MPA=∠ NPB, ∴ △ APM≌ △ BPN. (2)由 (1)得 PM=PN,∴ MN=2PN, ∵ MN=2BN,∴ PN=BN,∴ α=∠ B=50176。. (3)40176。α90176。. 詳解 :∵ △ BPN的外心在該三角形的內部 ,∴ △ BPN是銳角三角形 ,∴∠ BPN和 ∠ BNP都為銳角 , 又 ∵∠ B=50176。, ∴ 40176?！?BPN90176。,即 40176。α90176。. 思路分析 (1)根據 ASA可證明 :△ APM≌ △ BPN。 (2)根據△ APM≌ △ BPN得 MN=2PN,結合 MN=2BN得出 PN=BN,由等邊對等角可得結果 。 (3)只有銳角三角形的外心在三角形的內部 ,根據 ∠ BPN和 ∠ BNP都為銳角及 ∠ B=50176?？傻?α的 取值范圍 . 方法歸納 證明三角形全等的一般思路 : :(1)找夾角 ,利用 SAS求解 。(2)找直角 ,利用 HL或 SAS求解 。(3)找另一條邊 ,利用 SSS求解 . :(1)邊為角的對邊 ,則找任一角 ,利用 AAS求解 。(2)邊為角的一條邊 :①找角的 另一邊 ,利用 SAS求解 ,②找邊的另一角 ,利用 ASA求解 ,③找邊的對角 ,利用 AAS求解 . :(1)找夾邊 ,利用 ASA求解 。(2)找兩角中任意一角的對邊 ,利用 AAS求解 . 3.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,A,B分別在射線 OM,ON上 ,且 ∠ MON為鈍角 .現(xiàn)以線段 OA,OB為斜 邊向 ∠ MON的外側作等腰直角三角形 ,分別是△ OAP,△ OBQ,點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中 點 . (1)求證 :△ PCE≌ △ EDQ。 (2)延長 PC,QD交于點 R. ①如圖 2,若 ∠ MON=150176。,求證 :△ ABR為等邊三角形 。 ②如圖 3,若△ ARB∽ △ PEQ,求 ∠ MON的大小和 ? 的值 . ? ABPQ解析 (1)證明 :∵ 點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中點 , ∴ DE?? OC,CE OD.∴ 四邊形 ODEC為平行四邊形 . ∴∠ OCE=∠ ODE. 又 ∵ △ OAP,△ OBQ都是等腰直角三角形 ,∴∠ PCO=∠ QDO=90176。.∴∠ PCE=∠ PCO+∠ OCE= ∠ QDO+∠ ODE=∠ EDQ. 又 ∵ PC=? AO=CO=ED,CE=OD=? OB=DQ, ∴ △ PCE≌ △ EDQ.? (5分 ) (2)①證明 :如圖 ,連接 OR. 12 12∵ PR與 QR分別為線段 OA與 OB的中垂線 , ∴ AR=OR=BR,∠ ARC=∠ ORC,∠ ORD=∠ BRD. 在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。,∠ MON=150176。, ∴∠ CRD=30176。. ∴∠ ARB=∠ ARO+∠ BRO=2∠ CRO+2∠ ORD=2∠ CRD=60176。. ∴ △ ABR為等邊三角形 .? (9分 ) ②如圖 ,由 (1)知 EQ=PE,∠ DEQ=∠ CPE. ? 又 ∵ AO∥ ED,∴∠ CED=∠ ACE. ∴∠ PEQ=∠ CED∠ CEP∠ DEQ=∠ ACE∠ CEP∠ CPE=∠ ACE∠ RCE=∠ ACR=90176。, 即△ PEQ為等腰直角三角形 . 由于△ ARB∽ △ PEQ,所以 ∠ ARB=90176。. 于是在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。,∠ CRD=? ∠ ARB=45176。,∴∠ MON=135176。. 此時 P,O,B在一條直線上 ,△ PAB為直角三角形且 ∠ APB為直角 , 所以 AB=2PE=2? PQ=? PQ,則 ? =? .? (14分 ) 12222AB24.(2022河南 ,22,10分 ) (1)發(fā)現(xiàn) 如圖 1,點 A為線段 BC外一動點 ,且 BC=a,AB=b. 填空 :當點 A位于 時 ,線段 AC的長取得最大值 ,且最大值為 (用含 a,b的式子 表示 ). ? 圖 1 (2)應用 點 A為線段 BC外一動點 ,且 BC=3,AB= 2所示 ,分別以 AB,AC為邊 ,作等邊三角形 ABD和等 邊三角形 ACE,連接 CD,BE. ①請找出圖中與 BE相等的線段 ,并說明理由 。 ②直接寫出線段 BE長的最大值 . ? 圖 2 (3)拓展 如圖 3,在平面直角坐標系中 ,點 A的坐標為 (2,0),點 B的坐標為 (5,0),點 P為線段 AB外一動點 ,且 PA =2,PM=PB,∠ BPM=90176。.請直接寫出線段 AM長的最大值及此時點 P的坐標 . ? 解析 (1)CB延長線上 。a+b.? (2分 ) (2)① DC= : ∵ △ ABD和△ ACE為等邊三角形 , ∴ AD=AB,AC=AE,∠ BAD=∠ CAE=60176。. ∴∠ BAD+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC,即 ∠ CAD=∠ EAB.? (5分 ) ∴ △ CAD≌ △ EAB.∴ DC=BE.? (6分 ) ② BE長的最大值是 4.? (8分 ) (3)AM的最大值為 3+2? ,點 P的坐標為 (2? ,? ).? (10分 ) 【提示】如圖 a,構造△ BNP≌ △ MAP,則 NB= (1)知 ,當點 N在 BA的延長線上時 ,NB有最大 值 (如圖 b).易得 AN=2? ,∴ AM=NB=3+2? .過點 P作 PE⊥ x軸于 E,PE=AE=? ,∴ P(2? ,? ). 2 22 225.(2022福建福州 ,19,8分 )如圖 ,∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4,求證 :AC=AD. ? 證明 ∵∠ 3=∠ 4,∴∠ ABC=∠ ABD. 在△ ABC和△ ABD中 ,? ∴ △ ABC≌ △ ABD(ASA).∴ AC=AD. 1 2 ,A B A BA B C A B D? ? ?????? ? ? ??6.(2022北京 ,13,5分 )如圖 ,點 B在線段 AD上 ,BC∥ DE,AB=ED,BC= :∠ A=∠ E. ? 證明 ∵ BC∥ DE,∴∠ ABC=∠ D. 在△ ABC和△ EDB中 , ? ∴ △ ABC≌ △ EDB. ∴∠ A=∠ E. ,A B E DA B C DB C D B???? ? ?????7.(2022陜西 ,18,6分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ABC=90176。.點 D在邊 AB上 ,使 DB=BC,過點 D作 EF⊥ AC,分別交 AC于點 E、 CB的延長線于點 :AB=BF. ? 證明 ∵ EF⊥ AC,∴∠ F+∠ C=90176。.∵∠ A+∠ C=90176。, ∴∠ F=∠ A.? (3分 ) 又 ∵∠ FBD=∠ ABC,DB=BC,∴ △ FBD≌ △ ABC. ∴ AB=BF.? (6分 ) 8.(2022江蘇南京 ,27,11分 ) 【問題提出】 學習了三角形全等的判定方法 (即“ SAS”“ ASA”“ AAS”“ SSS” )和直角三角形全等的 判定方法 (即“ HL” )后 ,我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的 情形進行研究 . 【初步思考】 我們不妨將問題用符號語言表示為 :在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ ,對 ∠ B進行分類 ,可分為“ ∠ B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究 . 【深入探究】 第一種情況 :當 ∠ B是直角時 ,△ ABC≌ △ DEF. (1)如圖 ,在△ ABC和△ DEF中 ,AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E=90176。,根據 ,可以知道 Rt△ ABC ≌ Rt△ DEF. ? 第二種情況 :當 ∠ B是鈍角時 ,△ ABC≌ △ DEF. (2)