【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ,再沿著過△ BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開 ,使得展開后的平面圖形中有一個(gè)是 平行四邊形 .則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為 cm. 答案 40或 ? ? (只寫出一個(gè)正確答案得 3分 ) 8033解析 由已知可知△ ADB≌ △ EDB,又 ∠ A=90176。,∠ C=30176。,所以 ∠ ABD=∠ EBD=∠ C=30176。,則 CD= BD,設(shè) AD=DE=x cm,則 CD=(30x)cm,在直角三角形 ABD中 ,sin 30176。=? =? =? ,解得 x=10,所 以 BD=20 cm,AB=10? :① 取 BD的中點(diǎn) F,連接 EF, AF,沿 EF剪開所得四邊形 ADEF是平行四邊形 ,也是菱形 ,其邊長(zhǎng) DE為 10 cm,故其周長(zhǎng)為 40 cm。 ② 作 ∠ EDB的平分線 DM,沿 DM剪開所得四邊形是平行四邊形 ,也是菱形 ,其邊長(zhǎng) DM=? = ? =? cm,故其周長(zhǎng)為 4? =? ? ,所求周長(zhǎng)為 40 cm或 ? ? cm. ADBD 30x x? 123cos 30DE?10322 0 33 2 0 33 8033 8033思路分析 由軸對(duì)稱的性質(zhì)得△ ADB≌ △ EDB,由已知可求 AD,AB,BD,考慮到在三角形 BDE 中 ,∠ BED=90176。,∠ EBD=30176。,∠ BDE=60176。,故沿 BD上的中線或 ∠ EDB的平分線剪開可得平行四 邊形 ,且都為菱形 ,求出邊長(zhǎng)即可求得周長(zhǎng) . 5.(2022湖北武漢 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=2? ,∠ BAC=120176。,點(diǎn) D,E都在邊 BC上 , ∠ DAE=60176。.若 BD=2CE,則 DE的長(zhǎng)為 . 3答案 3? 3 3解析 如圖 ,將△ ABD沿 AD翻折得△ AFD,連接 EF, ∴ AB=AF=AC,BD=DF,∠ AFD=∠ B=30176。, ∵∠ BAC=120176。,∠ DAE=60176。,∴∠ BAD+∠ CAE=60176。, 又 ∠ BAD=∠ FAD,∴∠ FAD+∠ CAE=60176。,∴∠ CAE=∠ FAE, ∴ △ ACE≌ △ AFE(SAS),∴ CE=EF,∠ AFE=∠ C=30176。, ∴∠ DFE=60176。. 過點(diǎn) E作 EH⊥ DF,交 DF于點(diǎn) H,過點(diǎn) A作 AM⊥ BC,交 BC于點(diǎn) M. 設(shè) CE=2x, 則 BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=? x,DH=3x, 又 BC=2BM=2ABcos 30176。=6,∴ DE=66x, 在 Rt△ DEH中 ,DE2=DH2+EH2,即 (66x)2=(3x)2+(? x)2, 解得 x1=? ,x2=? (舍去 ). ∴ DE=66x=3? 3. 33332? 332?3一題多解 將△ ABD繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120176。得△ ACF,連接 EF,∴ CF=△ ADE≌ △ AFE, ∴ DE=EF. ∵∠ ACD=∠ B=30176。,∴∠ FCE=60176。. 過點(diǎn) E作 EH⊥ CF,交 CF于點(diǎn) H,設(shè) CE=2x, 則 BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH=? x. 過點(diǎn) A作 AM⊥ BC,交 BC于點(diǎn) M, 則 BC=2CM=2ACcos 30176。=22? ? =6, ∴ FE=DE=66x, 在 Rt△ EFH中 ,FE2=FH2+EH2,即 (66x)2=(3x)2+(? x)2, 解得 x1=? ,x2=? (舍去 ). ∴ DE=66x=3? 3. 33323332? 332?36.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。.點(diǎn) D為邊 AC上一點(diǎn) ,DE⊥ AB于點(diǎn) M為 BD的中點(diǎn) ,CM的延長(zhǎng)線交 AB于點(diǎn) F. (1)求證 :CM=EM。 (2)若 ∠ BAC=50176。,求 ∠ EMF的大小 。 (3)如圖 2,若△ DAE≌ △ CEM,點(diǎn) N為 CM的中點(diǎn) .求證 :AN∥ EM. 圖 1 圖 2 解析 (1)證明 :由已知 ,在 Rt△ BCD中 ,∠ BCD=90176。,M為斜邊 BD的中點(diǎn) , ∴ CM=? BD. 又 DE⊥ AB,同理 ,EM=? BD, ∴ CM=EM.? (4分 ) (2)由已知得 ,∠ CBA=90176。50176。=40176。. 又由 (1)知 CM=BM=EM, ∴∠ CME=∠ CMD+∠ DME=2(∠ CBM+∠ EBM)=2∠ CBA=240176。=80176。, ∴∠ EMF=180176。∠ CME=100176。.? (9分 ) (3)證明 :∵ △ DAE≌ △ CEM, ∴∠ CME=∠ DEA=90176。,DE=CM,AE=EM. 又 CM=DM=EM,∴ DM=DE=EM,∴ △ DEM是等邊三角形 , ∴∠ MEF=∠ DEF∠ DEM=30176。. 證法一 :在 Rt△ EMF中 ,∠ EMF=90176。,∠ MEF=30176。,∴ ? =? , 1212MFEF 12又 ∵ NM=? CM=? EM=? AE, ∴ FN=FM+NM=? EF+? AE=? (AE+EF)=? AF. ∴ ? =? =? . 又 ∵∠ AFN=∠ EFM,∴ △ AFN∽ △ EFM,∴∠ NAF=∠ MEF, ∴ AN∥ EM.? (14分 ) 證法二 :連接 AM,則 ∠ EAM=∠ EMA=? ∠ MEF=15176。, ? 12 12 1212 12 12 12MFEF FNAF 1212∴∠ AMC=∠ EMC∠ EMA=75176。,① 又 ∠ CMD=∠ EMC∠ EMD=30176。,且 MC=MD, ∴∠ ACM=? (180176。30176。)=75176。.② 由①②可知 AC=AM,又 N為 CM的中點(diǎn) , ∴ AN⊥ CM,又 ∵ EM⊥ CF,∴ AN∥ EM.? (14分 ) 12思路分析 (1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證 。(2)由直角三角形中兩銳角 互余求出 ∠ CBA,由等腰三角形的性質(zhì)可得 ∠ MEB=∠ MBE,∠ MCB=∠ MBC,從而可得 ∠ CME= ∠ DME+∠ CMD=2(∠ CBM+∠ EBM),最后由補(bǔ)角性質(zhì)求出 ∠ EMF。(3)由△ DAE≌ △ CEM可推 出△ DEM為等邊三角形 ,從而可得 ∠ MEF=30176。,下面證 AN∥ EM有兩個(gè)思路 :一是根據(jù)直角三角 形 30176。角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半可得 ? =? ,又點(diǎn) N是 CM的中點(diǎn) ,可推出 ? =? ,從而可證 △ AFN∽ △ EFM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM。二是連接 AM,計(jì)算可得 ∠ AMC=∠ ACM,而 N是 CM 的中點(diǎn) ,從而 AN⊥ CM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM. MFEF 12NFAF 121.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A=36176。,AB=AC,BD是△ ABC的角平分線 .若在邊 AB上截 取 BE=BC,連接 DE,則圖中等腰三角形共有 ? ( ) ? 考點(diǎn)一 等腰三角形 C組 教師專用題組 答案 D 依題意 ,可知題圖中的△ ABC,△ AED,△ BDC,△ BDE,△ ADB為等腰三角形 ,則共有 5 個(gè)等腰三角形 .故選 D. 2.(2022廣西南寧 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AD=DC,∠ B=70176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 A ∵ AB=AD,∴∠ ADB=∠ B=70176。,∵ AD=DC,∴∠ C=∠ DAC.∵∠ ADB是△ ADC的外角 , ∴∠ C=? ∠ ADB=35176。.故選 A. 123.(2022江蘇蘇州 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,D為 BC中點(diǎn) ,∠ BAD=35176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C ∵ AB=AC,D為 BC中點(diǎn) ,∴∠ CAD=∠ BAD=35176。,AD⊥ DC,∴ 在△ ADC中 ,∠ C=90176?！? DAC=55176。,故選 C. 4.(2022吉林長(zhǎng)春 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,過點(diǎn) A作 AD∥ ∠ 1=70176。,則 ∠ BAC的大小 為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C.∵ AD∥ BC,∴∠ 1=∠ C=70176。.∴∠ B=70176。.∴∠ BAC=40176。.故選 B. 5.(2022江蘇蘇州 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D在 BC上 ,AB=AD=DC,∠ B=80176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B 因?yàn)?AB=AD,所以 ∠ B=∠ ADB=80176。,因?yàn)?DC=AD,所以 ∠ C=∠ CAD,又因?yàn)?∠ ADB是 △ ACD的外角 ,所以 ∠ ADB=∠ C+∠ CAD=2∠ C,所以 ∠ C=40176。,故選 B. 6.(2022貴州貴陽 ,24,12分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=2,AD=? ,P是 BC邊上的一點(diǎn) ,且 BP=2CP. (1)用尺規(guī)在圖①中作出 CD邊上的中點(diǎn) E,連接 AE,BE(保留作圖痕跡 ,不寫作法 )。 (2)如圖② ,在 (1)的條件下 ,判斷 EB是否平分 ∠ AEC,并說明理由 。 (3)如圖③ ,在 (2)的條件下 ,連接 EP并延長(zhǎng)交 AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,連接 ,△ PFB能 否由都經(jīng)過 P點(diǎn)的兩次變換與△ PAE組成一個(gè)等腰三角形 ?如果能 ,說明理由 ,并寫出兩種方法 (指出對(duì)稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角或平移方向和平移距離 )。如果不能 ,也請(qǐng)說明理 由 . ? 3解析 (1)如圖所示 ,點(diǎn) E為所作的點(diǎn) ,EA,EB為所連的線段 . ? (2)EB平分 ∠ AEC,理由如下 : 如題圖② ,由 (1)及已知可知 DE=1. ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,AD=? , ∴ 在 Rt△ ADE中 ,tan∠ DEA=? =? ,AE=2, ∴∠ DEA=60176。, ∴∠ EAB=60176。,∠ AEC=180176。60176。=120176。. 由作圖可知 EA=EB,∴ △ EAB是等邊三角形 , ∴∠ AEB=60176。, ∴∠ CEB=120176。60176。=60176。, ∴∠ AEB=∠ CEB, 3ADDE 3∴ EB平分 ∠ AEC. (3)△ PFB能由都經(jīng)過 P點(diǎn)的兩次變換與△ PAE組成一個(gè)等腰三角形 ,理由如下 : 如題圖③ ,∵ BP=2CP,AD=BC=? ,∴ BP=? . 由題意可知 ,∠ C=∠ PBF=90176。,∠ EPC=∠ FPB, ∴ △ ECP∽ △ FBP, ∴ ? =? =? ,∴ FB=2EC=DC=2, ∴ B是 AF的中點(diǎn) , ∴ PB是線段 AF的垂直平分線 , ∴ △ PBF≌ △ PBA. 在 Rt△ PFB中 ,tan F=? =? , ∴∠ F=30176。, ∴∠ AEP=180176。∠ F∠ EAF=90176。. ∵ AE=AB,AP=AP,∠ AEP=∠ ABP=90176。, 3 233ECFB CPBP12PBFB 33∴ Rt△ PEA≌ Rt△ PBA, ∴ △ PBF≌ △ PBA≌ △ PEA, ∴ 可將△ PFB作如下變換后與△ PAE組成一個(gè)等腰三角形 . ①△ PFB關(guān)于 PF對(duì)稱 ,再以點(diǎn) P為旋轉(zhuǎn)中心 ,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120176。 ②△ PFB以點(diǎn) P為旋轉(zhuǎn)中心 ,順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120176。,再關(guān)于 PE對(duì)稱 . 7.(2022遼寧沈陽 ,24,12分 )已知 :△ ABC是等腰三角形 ,CA=CB,0176?！?ACB≤ 90176。,點(diǎn) M在邊 AC上 , 點(diǎn) N在邊 BC上 (點(diǎn) M、點(diǎn) N不與所在線段端點(diǎn)重合 ),BN=AM,連接 AN, AG∥ BC,延長(zhǎng) BM 交射線 AG于點(diǎn) D,點(diǎn) E在直線 AN上 ,且 AE=DE. (1)如圖 ,當(dāng) ∠ ACB=90176。時(shí) : ① 求證 :△ BCM≌ △ ACN。 ② 求 ∠ BDE的度數(shù) 。 (2)當(dāng) ∠ ACB=α,其他條件不變時(shí) ,∠ BDE的度數(shù)是 。(用含 α的代數(shù)式表示 ) (3)若△ ABC是等邊三角形 ,AB=3? ,點(diǎn) N是 BC邊上的三等分點(diǎn) ,直線 ED與直線 BC交于點(diǎn) F,請(qǐng) 直接 寫出線段 CF的長(zhǎng) . 3 備用圖 1 備用圖 2 解析 (1)① 證明 :∵ CA=CB,BN=AM, ∴ CBBN=CAAM, 即 CN=CM, ∵ BC=AC,∠ MCB=∠ ACN,CM=CN