淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法(編輯修改稿)
2025-07-07 01:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 去這家餐廳吃飯，可小趙卻不同意，他說(shuō)：“這家飯菜肯定不好吃，如果好吃的話在這家餐廳吃飯的人肯定很多，而事實(shí)是這家餐廳沒(méi)人吃飯，所以這家飯菜肯定不好吃.”這個(gè)故事中小趙用了一種特殊的方法，法就是下面討論的反證法. 反證法的概念反證法是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法，屬于“間接證明”的一類(lèi)，即肯定寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文2題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾，推理而得.行正確推理,推出矛盾,從而得出原結(jié)論的反面不真,由此肯定原結(jié)論為真 【1】 .假設(shè)命題的否定成立，即在“已知條件”和“命題的否定”這個(gè)新條件下，通過(guò)邏輯推理，得出與公理﹑定理、題設(shè)、臨時(shí)假定相矛盾的結(jié)論或自相矛盾，從而斷定命題判斷的反面不成立，即證明了命題的結(jié)論一定是正確的，當(dāng)命題由已知不易直接證明時(shí),改證它的逆命題的證明方法叫反證法 【2】 .例 函數(shù) 在 上有意義，且 如果對(duì)于不同的)(xf]1,0[ ),1(0f?都有 求證： .]1,0[,21?x ||()| 2121fxf??2|()|12??xff證明： 假定至少存在一組不同的 使得],0[,21?x.（不妨設(shè) ）21|)(|2??xff 21?由已知條件得 |)(0|)1(|)1(0)(|)(| 121212 xffxffxffxff ????????? |)(||||| 12121212 ff??即 ， ，|)(|12?xff |)(|12??xff這與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，因此原命題成立. 反證法邏輯依據(jù)反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”.排中律是在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)矛盾的思想必有一個(gè)是真的.寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文3排中律常用公式 來(lái)表示，意即 真或 和 表示兩個(gè)互相矛盾的A?AA概念或判斷.排中律要求人們思維有明確性，進(jìn)一步指明正確的思維不僅要求確定，不互相矛盾而且應(yīng)該明確地表示肯定還是否定，不能模柃兩可，違反了排中律，同時(shí)也違反了矛盾律，：矛盾律指出兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假；排中律則指出兩個(gè)矛盾判斷，不能同假，必有一真.，根據(jù)排中律，要證明 不是有理數(shù)有困難時(shí)，2只要證明 反證法步驟（1） 反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立；（2） 歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，以通過(guò)正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件﹑已知的公理﹑定理﹑定義﹑反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；（3） 結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立 【3】 . 相關(guān)實(shí)例 由假設(shè)或已知所推出的結(jié)果與已知條件相矛盾例：已知 + ，求證： + .3pq2?pq2?分析：這是一個(gè)不等式問(wèn)題（1）反設(shè)：結(jié)論是“ + ”，則應(yīng)假設(shè)為 ，那么 將作為下一pq2?2??qp2??qp寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文4步“歸謬”的已知條件.（2）歸謬： 是一個(gè)已知條件，結(jié)合題設(shè)分析 、 均為三次方，故由2??qp pq,2??qp得，2pq??所以 ,6128)2( 333 qqp?????,2)(23 ??.3??qp這個(gè)結(jié)論與已知 + =2 矛盾，而推理正確，（3）肯定結(jié)論：肯定結(jié)論 + 正確，? 由假設(shè)或已知推出的結(jié)果與已學(xué)定理相矛盾例：已知:如圖 1，設(shè)點(diǎn) 、 、 在同一直線上，求證：過(guò) 、 、 分析：命題的結(jié)論是一個(gè)否定性結(jié)論.（1）反設(shè)：不能 能，假設(shè)過(guò) 、 、 三點(diǎn)能作圓，那么這個(gè)結(jié)論將作為下一?步“歸謬”的一個(gè)已知條件.（2）歸謬：由上述假設(shè)過(guò) 、 、 三點(diǎn)能作圓出發(fā)，設(shè)此圓圓心為 ，則 、ABCOA、 三點(diǎn)中連任意兩點(diǎn)的線段是圓 的弦，由垂徑定理： 既在 的中垂線 BCOB上，又在 的中垂線 上，從而過(guò)點(diǎn) 有兩條直線 與 均與 垂直，OMNMNC寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文5這個(gè)結(jié)論就與定理“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，故而假設(shè)錯(cuò)誤.（3）肯定結(jié)論：即過(guò)同一直線上三點(diǎn) 、 、 由假設(shè)或已知推出的結(jié)果與已學(xué)性質(zhì)相矛盾例：已知 ，求證： （ + ） 0,ab?21ab?分析：（1）反設(shè)：結(jié)論是“ ，則應(yīng)假設(shè) （ + ） ．12ab?（2）歸謬：∵ （ + ）12ab?∴ + 2∴ 2 + 0．a(chǎn)b?（與已知結(jié)合）又 ∵ ，,?∴（ ） 0．a(chǎn)b2?此結(jié)論與實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性質(zhì)矛盾，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤.（3）肯定結(jié)論：∴ （ + ）12ab.?a圖 24寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文6 由假設(shè)或已知所推出的結(jié)果與已學(xué)公理相矛盾.例：在同一平面內(nèi)，若 ， 是垂直于直線 的兩條不同的直線，則直線 ， 1l2分析：這是一個(gè)幾何問(wèn)題，涉及到直線的垂直問(wèn)題.（1）反設(shè)：假設(shè) ， 相交 1l2（2）歸謬：因?yàn)?， 相交，所以從直線 外一點(diǎn)（ ， 交點(diǎn)）引兩條直線 ，1l2l1l21l同它垂直，又由平面幾何知識(shí)可知，從直線 外一點(diǎn)不可能引兩條不同直線 ， 同l 2它垂直，這顯然與公理相矛盾，所以假設(shè)不成立.（3）肯定結(jié)論：命題成立，即若直線 與直線 同時(shí)垂直于直線 ，則 ， 不相1l2ll12l交. 由已知所推出的結(jié)果與假設(shè)相矛盾例：已知 +2，求證： 1a?a?分析：（1）反設(shè)：假設(shè) 1．?（2）歸謬：因?yàn)?1，所以 ＝ ， 又 所以2 2．故 aa2??a?a?1．這與假設(shè)相矛盾，所以假設(shè)不成立．（3）肯定結(jié)論：所以 ?總結(jié)：從假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，利用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)赝评?，常?？傻贸雠c已學(xué)性質(zhì)、定理、已知條件或假設(shè)矛盾.3 中學(xué)數(shù)學(xué)中宜用反證法的適用范圍反證法雖然是在平面幾何教材中出現(xiàn)的，但對(duì)數(shù)學(xué)的其它各部分內(nèi)容，如代數(shù)、三角、立體幾何、究竟什么樣的命題可以用反證法來(lái)證呢？寧夏師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文7當(dāng)然沒(méi)有絕對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)，但證題的實(shí)踐告訴我們：下面幾種命題一般用反證法來(lái)證比較方便 【4】 . 否定性命題即結(jié)論以“沒(méi)有……” “不是……” “不能……”等
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