【文章內(nèi)容簡介】 (), () 這與的最優(yōu)性矛盾,所以,市場無套利.(ii) ,有 () 從而,類似于() ,我們有 , () 因此,是, () ()和(),我們還知存在使得 () 因此,對由()定義的分別關(guān)于和求偏導(dǎo)并置為0,可得 ()即 () 從而,由()定義的Q滿足, () 再由的嚴(yán)格單調(diào)性,可知Q為上的一個(gè)概率測度,， , () . ()故,Q是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度.▲下面,我們舉一個(gè)例子(回憶第5 ) 假定.效用函數(shù)(形如(),并取).(1), (2)求()所定義的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度.解: (1) 此時(shí),市場的風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度全體為, () 于是,對于任何, () 為求其最大值,我們置 ()記，則上述方程組變?yōu)椋? ()上述第一個(gè)方程乘以10,然后減去第二個(gè)方程,可得, ()從而,將,其代入()的第一個(gè)方程,我們可得, ()因此，, ()于是,最優(yōu)解由下述給出：, (), ()從而,相應(yīng)的最優(yōu)消費(fèi)為:, () ()(2) 由()知,▲ ()我們注意到,為了說明此點(diǎn),讓我(),我們有:, ()因此,定時(shí),()無關(guān),因此,理應(yīng)得到相同的Q.167。 均值方差理論在前面兩節(jié),我們討論了給定初始財(cái)富v的情況下,我們?？紤]給定期望收益,如何極小化風(fēng)險(xiǎn)的問題.一、預(yù)備知識(shí) 在個(gè)單時(shí)段市場中,對于任何的交易策略,回憶其相應(yīng)的相對回報(bào):(), ( ) 則, () , () , (), ()對任何的,我們定義(比較()中定義的), (), ()盡管上述兩個(gè)集合是對任何定義的,對任何的,. 假定,且存在使得,(i) .(ii) 如果,則對任何,有.(iii) , () . () 證明: (i) 對,有 , (), () , () . () 知,()中第一式總有解,故由() —() 知,. (ii) 當(dāng)時(shí),對任何,有,故, .(iii) 對,則,從而,由()知,所以.反之,假如,則由()知, ()因此,若記,那么,得證(). ,得證().▲二、均值方差問題及相關(guān)問題 現(xiàn)在，我們引人下面幾個(gè)問題： 對給定的,尋找使得. () 對給定的尋找使得. () 對給定的尋找使得. () 稱為“均值方差問題”,它的意義是: 在給定的平均回報(bào)水平上, ,所以,它們可以被視為均值方差問題的輔助問題。我們將,上面的三個(gè)問題分別可以表述為下述形式:( ()) ()( ()) ()(()) ()現(xiàn)在,則對任何的初始資產(chǎn)額,我們, () 且因?yàn)槭谴_定性的,因此,采用是無風(fēng)險(xiǎn)的,(當(dāng)時(shí),至少不差),所以,在此種情形下,. 對于給定的,反之,.證明: ,則對,定義, ()故,又,則,由()的最優(yōu)性,可得, ( ) .反之,記,則,故,那么,對任何有 ().▲ ,于是存在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度Q,對于,定義, () . 尋找 使得. () 現(xiàn)在,定義,其中, ( ) 于是,假如是一個(gè)最優(yōu)解,則有下式成立:, () 從而, () 由于,由()可得, ()這里,應(yīng)滿足, () 為了下面的需要,我們來證明一個(gè)引理. 假定Q是上的一個(gè)概率測度,使得, () 則, ()證明: 我們有 .▲ () 基于上面的討論,我們可以得到個(gè)更深刻的結(jié)果如下: 假定市場完備且無套利,設(shè)為一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度,定義, () ， (). ()證明: ① .1) ,其中,.由第5 , () 所以,.另一方面,由于市場是完備的,對任何,存在使得, () 且進(jìn)一步有, () , , () ,其中, ()2) 證明滿足()、()由(), ()我們有, ()因此,由1)及(), , ()于是, ()從而, ()將()代入()導(dǎo)致, () 這就證明了(),從而,