高考數學解題思想三：函數與方程思想(編輯修改稿)
2025-07-04 23:44 本頁面
【文章內容簡介】 －(2x－1),則 解得x∈（,）【注】 本題的關鍵是變換角度，以參數m作為自變量而構造函數式，不等式問題變成函數在閉區(qū)間上的值域問題。本題有別于關于x的不等式2x－1m(x－1)的解集是[2,2]時求m的值、關于x的不等式2x－1m(x－1)在[2,2]上恒成立時求m的范圍。一般地，在一個含有多個變量的數學問題中，確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，使問題更明朗化?；蛘吆袇档暮瘮抵?，將函數自變量作為參數，而參數作為函數，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關問題。例3. 設等差數列{a}的前n項的和為S，已知a＝12，S0，S0 。①.求公差d的取值范圍； ②.指出S、S、…、S中哪一個值最大，并說明理由。(92年全國高考)【分析】 ①問利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；②問利用S是n的二次函數，將S中哪一個值最大，變成求二次函數中n為何值時S取最大值的函數最值問題。【解】① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d0，S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d0。 解得：－d－3。② S＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d＝[n－(5－)]－[(5－)]因為d0，故[n－(5－)]最小時，S最大。由－d－3得6(5－)，故正整數n＝6時[n－(5－)]最小，所以S最大?！咀ⅰ?數列的通項公式及前n項和公式實質上是定義在自然數集上的函數，因此可利用函數思想來分析或用函數方法來解決數列問題。也可以利用方程的思想，設出未知的量，建立等式關系即方程，將問題進行算式化，從而簡潔明快。由次可見，利用函數與方程的思想來解決問題，要求靈活地運用、巧妙的結合，發(fā)展了學生思維品質的深刻性、獨創(chuàng)性。本題的另一種思路是尋求a0、a0 ，即：由d0知道aa…a，由S＝13a0得a0，由S＝6(a＋a)0得a0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。例4. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求異面直線PB和AC的距離。【分析】 異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值，從而設定變量，建立目標函數而求函數最小值。【解】 在PB上任取一點M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，設MH＝x，則MH⊥平面ABC，AC⊥HD ?！郙D＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ＝(sinθ＋1)[x－]＋即當x＝時，MD取最小值為兩異面直線的距離?！咀ⅰ?本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點之間距離的最小值”，并設立合適的變量將問題變成代數中的“函數問題”。一般地，對于求最大值、最小值的實際問題，先將文字說明轉化成數學語言后，再建立數學模型和函數關系式，然后利用函數性質、重要不等式和有關知識進行解答。比如再現性題組第8題就是典型的例子。例5. 已知△ABC三內角A、B、C的大小成等差數列，且tgAtgC＝2＋，又知頂點C的對邊c上的高等于4,求△ABC的三邊a、b、c及三內角。【分析】
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