【文章內(nèi)容簡介】 個怎樣的三角形?能拼出一個等邊三角形嗎?在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段存在倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？說說你的理由．活動目的：讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30176。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．活動注意事項與效果：學(xué)生一般可以得出下面兩種圖形：其中第1個圖形是等邊三角形，對于該圖學(xué)生也可以得出BD=AB，從而得出：在直角三角形中，如果一個銳角等于30176。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．注意，教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生說明為什么所得到的三角形是等邊三角形。具體的說明過程可以如下：方法1：因為△ABD≌ACD，所以AB=AC．又因為Rt△ABD中，∠BAD=60176。，所以∠ABD=60176。，有一個角是60176。的等腰三角形是等邊三角形．方法2：圖(1)中，∠B=∠C=60，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30176。+30176。=60176。，所以∠B=∠C=∠BAC=60176。，即△ABC是等邊三角形．如果學(xué)生不能很快得出30度所對直角邊是斜邊一半，教師可以在圖上標(biāo)出各個字母，并要求學(xué)生思考其中哪些線段直接存在倍數(shù)關(guān)系，并在將三角板分開，思考從中可以得到什么結(jié)論。然后在學(xué)生得到該結(jié)論的基礎(chǔ)上，再證明該定理。定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30176。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90176。，∠BAC=30176。．求證：BC=AB．分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD．證明：在△ABC中，∠ACB=90176。，∠BAC=30176。∠B=60176。.延長BC至D，使CD=BC，連接AD(如圖所示)．∵∠ACB=90176?！唷螦CB=90176。∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．∴△ABD是等邊三角形(有一個角是60176。的等腰三角形是等邊三角形)．∴BC=BD=AB．第四環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練 鞏固新知活動1：直接提請學(xué)生思考剛才命題的逆命題：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30176。嗎?如果是，請你證明它．在師生分析的基礎(chǔ)上，給出證明：已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90176。，BC=AB．求證：∠BAC=30176。證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD.∵∠ACB=90176。，∴∠ACD=90176。．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=BD．又∵BC=AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等邊三角形．∴∠B=60176。．在Rt△ABC中，∠BAC=30176。．注意事項：該命題的證明中輔助線較復(fù)雜，但恰有前面原命題探究活動過程的鋪墊，可以給學(xué)生一些啟示，因此，教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：從前面定理證明的輔助線的作法中能否得到啟示？活動2 ：呈現(xiàn)例題，在師生分析的基礎(chǔ)上，運(yùn)用所學(xué)的新定理解答例題。[例題]等腰三角形的底角為15176。，腰長為2a，求腰上的高CD的長.分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一個外角，而∠DAC=15176。=30176。，根據(jù)在直角三角形中，30176。角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出CD．解：∵∠ABC=∠ACB=15176?！唷螪AC=∠ABC+∠ACB=15176。+15176。=30176?！郈D=AC=2a= a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30176。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)．活動目的：在例題求解中鞏固新知。第五環(huán)節(jié)：暢談收獲 課時小結(jié)讓學(xué)生對課堂學(xué)習(xí)進(jìn)行小結(jié)，注意總結(jié)具體的知識、結(jié)論，以及解決問題的方法和蘊(yùn)含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè) 四、教學(xué)反思本節(jié)課，難點(diǎn)在于探究兩個定理：“在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30176?！焙汀爸苯侨切沃?，30176。所對的直角邊等于斜邊的一半”，由于設(shè)計了三角板操作的實踐活動，有效地突破了難點(diǎn)，因而，課堂學(xué)生思維非常靈活，方法多樣，取得較好的效果。 第一章 三角形的證明2．直角三角形（一）一、學(xué)情分析直角三角形全等的條件和勾股定理及其逆定理在前面已由學(xué)生通過一些直觀的方法進(jìn)行了探索，所以學(xué)生對這些結(jié)論已經(jīng)有所了解，對于它們，教科書努力將證明的思路展現(xiàn)出來．例如以前我們曾用割補(bǔ)法驗證過勾股定理，而此處對勾股定理的證明應(yīng)以我們認(rèn)定的幾條公理和由此推出的定理為依據(jù)進(jìn)行，雖然證明的方法有多種，但對學(xué)生來說，這些都有難度，因此教科書將其兩種證明方法放在“讀一讀’’中，供有興趣的學(xué)生閱讀，不要求所有學(xué)生掌握，其逆定理的證明方法對學(xué)生來說也是有一定難度的．二、教學(xué)目標(biāo)1．知識目標(biāo)：（1）掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題。（2）結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立．2．能力目標(biāo)： （1）進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維．（2）進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力．3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：①了解勾股定理及其逆定理的證明方法．②結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立．難點(diǎn)：勾股定理及其逆定理的證明方法．三、教學(xué)過程本節(jié)課設(shè)計了七個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：講述新課；第三環(huán)節(jié)：議一議；第四環(huán)節(jié)：想一想；第五環(huán)節(jié)：．隨堂練習(xí)；第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié)；第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。1：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課通過問題1，讓學(xué)生在解決問題的同時，回顧直角三角形的一般性質(zhì)。[問題1]一個直角三角形房梁如圖所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30176。，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分別是BC1，那么BC的長是多少? B1C1呢?解：在Rt△ABC中，∠CAB=30176。，AB=10 cm，∴BC＝AB＝10＝5 cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90176。又∵∠A+∠B＝90176?！唷螧CB1 ＝∠A＝30176。在Rt△ACB1中，BB1＝BC＝5＝ cm＝2．5 cm．∴AB1＝AB＝BB1＝10—＝(cm)．∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30176。∴B1C1 ＝AB1＝ ＝(cm)．解決這個問題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的“30176。角的直角三角形的性質(zhì)”．由此提問：“一般的直角三角形具有什么樣的性質(zhì)呢?”從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數(shù)方格和割補(bǔ)圖形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推導(dǎo)出的定理，能夠證明勾股定理嗎?請同學(xué)們打開課本P18，閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理和推導(dǎo)出的定理，證明勾股定理的方法．2：講述新課閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法請有興趣的同學(xué)課后閱讀．（1）．勾股定理及其逆定理的證明．已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90176。，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求證：a2+b2＝c2．證明：延長CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，連接ED、AE(如圖)，則△ABC≌△BED．∴∠BDE＝90176。，ED＝a(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等)．∴四邊形ACDE是直角梯形．∴S梯形ACDE＝(a+b)(a+b) ＝ (a+b)2．∴∠ABE＝180176。－(∠ABC＋∠EBD)＝180176。－90176。＝90176。，AB＝BE．∴S△ABE＝c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴(a+b) 2＝ c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2＝c2 + ab,∴a2+b2＝c2教師用多媒體顯示勾股定理內(nèi)容，用課件演示勾股定理的條件和結(jié)論，并強(qiáng)調(diào)．具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．反過來，如果在一個三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結(jié)論．你能證明此結(jié)論嗎?師生共同來完成．已知：如圖：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2求證：△ABC是直角三角形．分析：要從邊的關(guān)系，推出∠A＝90176。是不容易的，如果能借助于△ABC與一個直角三角形全等，而得到∠A與對應(yīng)角(構(gòu)造的三角形的直角)相等，可證．證明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90176。，A′B′＝AB，A′C′、AC(如圖)，則A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)．∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′∴BC2＝B′C′2∴BC＝B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）∴∠A＝∠A′＝90176。(全等三角形的對應(yīng)角相等)．因此，△ABC是直角三角形．總結(jié)得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．（2）．互逆命題和互逆定理．觀察上面兩個命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?在前面的學(xué)習(xí)中還有類似的命題嗎?通過觀察，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：上面兩個定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理的結(jié)論，結(jié)論是第二個定理的條件．這樣的情況，在前面也曾遇到過．例如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，交換條件和結(jié)論，就得到“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”．又如“在直角三角形中，如果一個銳角等于30176。，那么它所對的直角邊就等于斜邊的一半”．交換此定理的條件和結(jié)論就可得“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30176?！?。3：議一議觀察下面三組命題：學(xué)生以分組討論形式進(jìn)行，最后在教師的引導(dǎo)下得出命題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。讓學(xué)生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系，要能夠清晰地分別出一個命題的題設(shè)和結(jié)論，能夠?qū)⒁粋€命題寫出“如果……；那么……”的形式，以及能夠?qū)懗鲆粋€命題的逆命題?；顒又校處煈?yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，學(xué)生若出現(xiàn)語言上不嚴(yán)謹(jǐn)時，要先讓這個疑問交給學(xué)生來剖析，然后再總結(jié)?；顒訒r可以先讓學(xué)生觀察下面三組命題： 如果兩個角是對頂角，那么它們相等．如果兩個角相等，那么它們是對頂角．如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒．如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎．三角形中相等的邊所對的角相等．三角形中相等的角所對的邊相等．上面每組中兩個命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎?與同伴交流．不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個命題的條件是第一個命題的結(jié)論，第二個命題的結(jié)論是第一個命題的條件．在兩個命題中，如果一個命題條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，相對于逆命題來說，另一個就為原命題．再來看“議一議”中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個命題為原命題，另一個則為逆命題．請同學(xué)們判斷每組原命題的真假．逆命題呢?在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題．在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題．在第三組中，原命題和逆命題都是真命題．由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題．4：想一想要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結(jié)論，然后把結(jié)論變換成條件，條件變換成結(jié)論，就得到了逆命題．請學(xué)生寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎？從而引導(dǎo)學(xué)生思考：原命題是真命題嗎?逆命題一定是真命題嗎? 并通過具體的實例說明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理． 能舉例說出我們已學(xué)過的互逆定理?如我們剛證過的勾股定理及其逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”與“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”．“全等三角形對應(yīng)邊相等”和“三邊對應(yīng)相等的三角形全等”、“等邊對等角”和“等角對等邊”等．5：隨堂練習(xí)說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假。(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3)如果ab＝0，那么a＝0， b＝0[分析]互逆命題和互逆定理的概念，學(xué)生接受起來應(yīng)不會有什么困難，尤其是對以“如果……那么……”形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命題有一定困難．可先分析命題的條件和結(jié)論，然后寫出逆命題．解：(1)多邊形是四邊形．原命題是真命題，而逆命題是假命題．(2)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．原命題與逆命題同為正．(3)如果a＝0，6＝0，那么ab＝0．原命題是假命題，而逆命題是真命題．6：課時小結(jié)這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進(jìn)一步發(fā)展了演繹推理能力．7：課后作業(yè)習(xí)題1．5第4題四、教學(xué)反思學(xué)生對于命題和逆命題中題設(shè)和結(jié)論分析和把握不是太準(zhǔn)，部分學(xué)生尤其是在語言表述方面仍然有些欠缺，作為教師要關(guān)注到學(xué)生的個體差異，對于學(xué)習(xí)本節(jié)知識有困難的學(xué)生要給予及時的幫助和指導(dǎo)。使每一個學(xué)生都能經(jīng)歷證明的過程，為他們提供充分地尋找證明思路的時間、空間和方法，體會證明的必要性．另外學(xué)生對于命題成立的證明方法，鍛煉他們的演繹推理能力離目標(biāo)還是有一定的差距。所以作為教師一定不能急躁，要本著以學(xué)生為本的目的，注意學(xué)生個體差異，對學(xué)習(xí)證明有困難的學(xué)生給予幫助和指導(dǎo).第一章 三角形的證明2．直角三角形（二）一、學(xué)情分析學(xué)生在學(xué)習(xí)直角三角形全等判定定理“HL”之前，已經(jīng)掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一階段的學(xué)習(xí)過程中接觸到了證明三角形全等的推論，在本節(jié)課要掌握這個定理的證明以及利用這個定理解決相關(guān)問題還是一個較高的要求。二、教學(xué)任務(wù)分析