【文章內容簡介】 個怎樣的三角形?能拼出一個等邊三角形嗎?在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關系，有哪些線段存在倍數關系，你能得到什么結論？說說你的理由．活動目的：讓學生經歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現結論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30176。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．活動注意事項與效果：學生一般可以得出下面兩種圖形：其中第1個圖形是等邊三角形，對于該圖學生也可以得出BD=AB，從而得出：在直角三角形中，如果一個銳角等于30176。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．注意，教學過程中，教師應注意引導學生說明為什么所得到的三角形是等邊三角形。具體的說明過程可以如下：方法1：因為△ABD≌ACD，所以AB=AC．又因為Rt△ABD中，∠BAD=60176。，所以∠ABD=60176。，有一個角是60176。的等腰三角形是等邊三角形．方法2：圖(1)中，∠B=∠C=60，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30176。+30176。=60176。，所以∠B=∠C=∠BAC=60176。，即△ABC是等邊三角形．如果學生不能很快得出30度所對直角邊是斜邊一半，教師可以在圖上標出各個字母，并要求學生思考其中哪些線段直接存在倍數關系，并在將三角板分開，思考從中可以得到什么結論。然后在學生得到該結論的基礎上，再證明該定理。定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30176。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90176。，∠BAC=30176。．求證：BC=AB．分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD．證明：在△ABC中，∠ACB=90176。，∠BAC=30176?！螧=60176。.延長BC至D，使CD=BC，連接AD(如圖所示)．∵∠ACB=90176?！唷螦CB=90176?！逜C=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的對應邊相等)．∴△ABD是等邊三角形(有一個角是60176。的等腰三角形是等邊三角形)．∴BC=BD=AB．第四環(huán)節(jié)：變式訓練 鞏固新知活動1：直接提請學生思考剛才命題的逆命題：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30176。嗎?如果是，請你證明它．在師生分析的基礎上，給出證明：已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90176。，BC=AB．求證：∠BAC=30176。證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD.∵∠ACB=90176。，∴∠ACD=90176。．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=BD．又∵BC=AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等邊三角形．∴∠B=60176。．在Rt△ABC中，∠BAC=30176。．注意事項：該命題的證明中輔助線較復雜，但恰有前面原命題探究活動過程的鋪墊，可以給學生一些啟示，因此，教學中，教師可以引導學生思考：從前面定理證明的輔助線的作法中能否得到啟示？活動2 ：呈現例題，在師生分析的基礎上，運用所學的新定理解答例題。[例題]等腰三角形的底角為15176。，腰長為2a，求腰上的高CD的長.分析：觀察圖形可以發(fā)現在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一個外角，而∠DAC=15176。=30176。，根據在直角三角形中，30176。角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出CD．解：∵∠ABC=∠ACB=15176?！唷螪AC=∠ABC+∠ACB=15176。+15176。=30176?！郈D=AC=2a= a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30176。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)．活動目的：在例題求解中鞏固新知。第五環(huán)節(jié)：暢談收獲 課時小結讓學生對課堂學習進行小結，注意總結具體的知識、結論，以及解決問題的方法和蘊含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè) 四、教學反思本節(jié)課，難點在于探究兩個定理：“在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30176?！焙汀爸苯侨切沃?，30176。所對的直角邊等于斜邊的一半”，由于設計了三角板操作的實踐活動，有效地突破了難點，因而，課堂學生思維非常靈活，方法多樣，取得較好的效果。 第一章 三角形的證明2．直角三角形（一）一、學情分析直角三角形全等的條件和勾股定理及其逆定理在前面已由學生通過一些直觀的方法進行了探索，所以學生對這些結論已經有所了解，對于它們，教科書努力將證明的思路展現出來．例如以前我們曾用割補法驗證過勾股定理，而此處對勾股定理的證明應以我們認定的幾條公理和由此推出的定理為依據進行，雖然證明的方法有多種，但對學生來說，這些都有難度，因此教科書將其兩種證明方法放在“讀一讀’’中，供有興趣的學生閱讀，不要求所有學生掌握，其逆定理的證明方法對學生來說也是有一定難度的．二、教學目標1．知識目標：（1）掌握直角三角形的性質定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能應用定理解決與直角三角形有關的問題。（2）結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立．2．能力目標： （1）進一步經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維．（2）進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力．3．教學重點、難點重點：①了解勾股定理及其逆定理的證明方法．②結合具體例子了解逆命題的概念，識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立．難點：勾股定理及其逆定理的證明方法．三、教學過程本節(jié)課設計了七個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：講述新課；第三環(huán)節(jié)：議一議；第四環(huán)節(jié)：想一想；第五環(huán)節(jié)：．隨堂練習；第六環(huán)節(jié)：課時小結；第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。1：創(chuàng)設情境，引入新課通過問題1，讓學生在解決問題的同時，回顧直角三角形的一般性質。[問題1]一個直角三角形房梁如圖所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30176。，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分別是BC1，那么BC的長是多少? B1C1呢?解：在Rt△ABC中，∠CAB=30176。，AB=10 cm，∴BC＝AB＝10＝5 cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90176。又∵∠A+∠B＝90176。∴∠BCB1 ＝∠A＝30176。在Rt△ACB1中，BB1＝BC＝5＝ cm＝2．5 cm．∴AB1＝AB＝BB1＝10—＝(cm)．∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30176?！郆1C1 ＝AB1＝ ＝(cm)．解決這個問題，主要利用了上節(jié)課已經證明的“30176。角的直角三角形的性質”．由此提問：“一般的直角三角形具有什么樣的性質呢?”從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數方格和割補圖形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推導出的定理，能夠證明勾股定理嗎?請同學們打開課本P18，閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理和推導出的定理，證明勾股定理的方法．2：講述新課閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法請有興趣的同學課后閱讀．（1）．勾股定理及其逆定理的證明．已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90176。，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求證：a2+b2＝c2．證明：延長CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，連接ED、AE(如圖)，則△ABC≌△BED．∴∠BDE＝90176。，ED＝a(全等三角形的對應角相等，對應邊相等)．∴四邊形ACDE是直角梯形．∴S梯形ACDE＝(a+b)(a+b) ＝ (a+b)2．∴∠ABE＝180176。－(∠ABC＋∠EBD)＝180176。－90176。＝90176。，AB＝BE．∴S△ABE＝c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴(a+b) 2＝ c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2＝c2 + ab,∴a2+b2＝c2教師用多媒體顯示勾股定理內容，用課件演示勾股定理的條件和結論，并強調．具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結論．你能證明此結論嗎?師生共同來完成．已知：如圖：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2求證：△ABC是直角三角形．分析：要從邊的關系，推出∠A＝90176。是不容易的，如果能借助于△ABC與一個直角三角形全等，而得到∠A與對應角(構造的三角形的直角)相等，可證．證明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90176。，A′B′＝AB，A′C′、AC(如圖)，則A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)．∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′∴BC2＝B′C′2∴BC＝B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）∴∠A＝∠A′＝90176。(全等三角形的對應角相等)．因此，△ABC是直角三角形．總結得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．（2）．互逆命題和互逆定理．觀察上面兩個命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系?在前面的學習中還有類似的命題嗎?通過觀察，學生會發(fā)現：上面兩個定理的條件和結論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理的結論，結論是第二個定理的條件．這樣的情況，在前面也曾遇到過．例如“兩直線平行，內錯角相等”，交換條件和結論，就得到“內錯角相等，兩直線平行”．又如“在直角三角形中，如果一個銳角等于30176。，那么它所對的直角邊就等于斜邊的一半”．交換此定理的條件和結論就可得“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30176?！?。3：議一議觀察下面三組命題：學生以分組討論形式進行，最后在教師的引導下得出命題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。讓學生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系，要能夠清晰地分別出一個命題的題設和結論，能夠將一個命題寫出“如果……；那么……”的形式，以及能夠寫出一個命題的逆命題?；顒又校處煈⒁饨o予適度的引導，學生若出現語言上不嚴謹時，要先讓這個疑問交給學生來剖析，然后再總結?；顒訒r可以先讓學生觀察下面三組命題： 如果兩個角是對頂角，那么它們相等．如果兩個角相等，那么它們是對頂角．如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒．如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎．三角形中相等的邊所對的角相等．三角形中相等的角所對的邊相等．上面每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系嗎?與同伴交流．不難發(fā)現，每組第二個命題的條件是第一個命題的結論，第二個命題的結論是第一個命題的條件．在兩個命題中，如果一個命題條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，相對于逆命題來說，另一個就為原命題．再來看“議一議”中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個命題為原命題，另一個則為逆命題．請同學們判斷每組原命題的真假．逆命題呢?在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題．在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題．在第三組中，原命題和逆命題都是真命題．由此我們可以發(fā)現：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題．4：想一想要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結論，然后把結論變換成條件，條件變換成結論，就得到了逆命題．請學生寫出命題“如果兩個有理數相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎？從而引導學生思考：原命題是真命題嗎?逆命題一定是真命題嗎? 并通過具體的實例說明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理． 能舉例說出我們已學過的互逆定理?如我們剛證過的勾股定理及其逆定理，“兩直線平行，內錯角相等”與“內錯角相等，兩直線平行”．“全等三角形對應邊相等”和“三邊對應相等的三角形全等”、“等邊對等角”和“等角對等邊”等．5：隨堂練習說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假。(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內旁內角互補；(3)如果ab＝0，那么a＝0， b＝0[分析]互逆命題和互逆定理的概念，學生接受起來應不會有什么困難，尤其是對以“如果……那么……”形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命題有一定困難．可先分析命題的條件和結論，然后寫出逆命題．解：(1)多邊形是四邊形．原命題是真命題，而逆命題是假命題．(2)同旁內角互補，兩直線平行．原命題與逆命題同為正．(3)如果a＝0，6＝0，那么ab＝0．原命題是假命題，而逆命題是真命題．6：課時小結這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結合數學和生活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進一步發(fā)展了演繹推理能力．7：課后作業(yè)習題1．5第4題四、教學反思學生對于命題和逆命題中題設和結論分析和把握不是太準，部分學生尤其是在語言表述方面仍然有些欠缺，作為教師要關注到學生的個體差異，對于學習本節(jié)知識有困難的學生要給予及時的幫助和指導。使每一個學生都能經歷證明的過程，為他們提供充分地尋找證明思路的時間、空間和方法，體會證明的必要性．另外學生對于命題成立的證明方法，鍛煉他們的演繹推理能力離目標還是有一定的差距。所以作為教師一定不能急躁，要本著以學生為本的目的，注意學生個體差異，對學習證明有困難的學生給予幫助和指導.第一章 三角形的證明2．直角三角形（二）一、學情分析學生在學習直角三角形全等判定定理“HL”之前，已經掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一階段的學習過程中接觸到了證明三角形全等的推論，在本節(jié)課要掌握這個定理的證明以及利用這個定理解決相關問題還是一個較高的要求。二、教學任務分析