【正文】 猜想出了一般結(jié)論．請同學(xué)們把一般結(jié)論的證明過程完整地書寫出來．(教師可巡視指導(dǎo))下面我們來討論第(2)問，請小組代表發(fā)言．[生]在△ABC中，AB=AC，如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE；如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE．由此我們得到了一個(gè)更一般的結(jié)論：在△ABC中，AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE．證明如下：∵AB=AC．又∵AD=AC，AE=AB，∴AD=AE．在△ADB和△AEC中，AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ADB≌△AEC(SAS)．∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．[生]一般結(jié)論也可更簡潔地?cái)⑹鰹椋涸凇鰽BC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE．[師]這里的兩個(gè)問題都是由特殊結(jié)論得出更一般的結(jié)論，這是我們研究數(shù)學(xué)問題常用的一種思想方法，它會使我們得到意想不到的效果．例如通過對這兩個(gè)問題的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形中，相等的線段有無數(shù)組．這和等腰三角形是軸對稱圖形這個(gè)性質(zhì)是密不可分的．第四環(huán)節(jié)：拓展延伸，探索等邊三角形性質(zhì)活動(dòng)內(nèi)容：提請學(xué)生在上面等要三角形性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，思考等邊三角形的特殊性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60176。.已知：如圖，ΔABC中，AB=BC=AC．求證：∠A=∠B=∠C=60176。.證明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對等角)． 同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代換）． 又∵∠A+∠B+∠C＝180176。（三角形內(nèi)角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60176。．活動(dòng)效果：學(xué)生一般都能得到這些定理的證明，能規(guī)范地寫出對于“等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60176?！钡淖C明過程： 第五環(huán)節(jié)： 隨堂練習(xí) 及時(shí)鞏固 活動(dòng)內(nèi)容：在探索得到了等邊三角形的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獨(dú)立完成以下練習(xí)。1. 如圖,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD 活動(dòng)意圖：在鞏固等邊三角形的性質(zhì)的同時(shí)，進(jìn)一步掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規(guī)范證明的書寫格式。 第六環(huán)節(jié)：探討收獲 課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們通過觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論，四、教學(xué)反思本節(jié)課關(guān)注了問題的變式與拓廣，實(shí)際上引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了提出問題、解決問題的過程，因而較好地提高了學(xué)生的研究能力、自主學(xué)習(xí)能力，但也應(yīng)注意根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行適度的調(diào)整，因?yàn)閷W(xué)生先前這樣的經(jīng)驗(yàn)較少，因而對一些班級學(xué)生而言，完成全部這些教學(xué)任務(wù)，可能時(shí)間偏緊，為此，教學(xué)中可以適當(dāng)減少一些內(nèi)容，將部分內(nèi)容延伸到課外，當(dāng)然，也可以設(shè)計(jì)為兩個(gè)課時(shí)，將研究過程進(jìn)一步展開。 第一章 三角形的證明1. 等腰三角形（三） 學(xué)生知識狀況分析 本節(jié)課是等腰三角形的第三課時(shí)，通過前面兩課時(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，并知道了用綜合法證明命題的基本要求和步驟。為學(xué)習(xí)等腰三角形的判定定理奠定了知識和方法的基礎(chǔ)。 教學(xué)任務(wù)分析 本節(jié)課的主要任務(wù)是探索等腰三角形的判定定理，在復(fù)習(xí)性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生反過來思考猜想新的命題，并進(jìn)行證明。這樣可以發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力，同時(shí)引入反證法的基本證明思路，學(xué)習(xí)與運(yùn)用反證法也成為本課時(shí)的教學(xué)任務(wù)之一。因此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為： 1．探索等腰三角形判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并會運(yùn)用其進(jìn)行簡單的證明．，并能簡單應(yīng)用。 教學(xué)過程分析 本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計(jì)了以下六個(gè)環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)引入逆向思考，定理證明鞏固練習(xí)適時(shí)提問 導(dǎo)出反證法拓展延伸課堂小結(jié)。第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)引入 活動(dòng)過程：通過問題串回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路，要求學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)交流。 ？這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？ ？ ？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等？ 活動(dòng)意圖：設(shè)計(jì)是問題串是為引出等腰三角形的判定定理埋下伏筆。學(xué)生獨(dú)立思考是對上節(jié)課內(nèi)容有效地檢測手段。第二環(huán)節(jié)：逆向思考，定理證明活動(dòng)過程與效果預(yù)設(shè)：教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結(jié)論，這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過來”思考問題，這也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條途徑．例如“等邊對等角”，反過來成立嗎?也就是：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎?[生]如圖，在△ABC中，∠B=∠C，要想證明AB=AC，只要構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，使AB與AC成為對應(yīng)邊就可以了．[師]你是如何想到的? [生]由前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作BC的中線，或作A的平分線，或作BC上的高，都可以把△ABC分成兩個(gè)全等的三角形．[師]很好．同學(xué)們可在練習(xí)本上嘗試一下是否如此，然后分組討論．[生]我們組發(fā)現(xiàn)，如果作BC的中線，雖然把△ABC分成了兩個(gè)三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們?nèi)龋驗(yàn)槲覀兊玫降臈l件是兩個(gè)三角形對應(yīng)兩邊及其一邊的對角分別相等，是不能夠判斷兩個(gè)三角形全等的．后兩種方法是可行的．[師]那么就請同學(xué)們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過程書寫出來．(教師可讓兩個(gè)同學(xué)在黑板上演示，并對推理證明過程講評)(證明略)[師]我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個(gè)非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．這一定理可以簡單敘述為：等角對等邊．我們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對稱美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的對稱美．第三環(huán)節(jié)：鞏固練習(xí)活動(dòng)過程與效果：將書中的隨堂練習(xí)提前到此，是為了及時(shí)鞏固判定定理。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析。已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B(兩直線平行，同位角相等)，∠2=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)． 又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴AB=AC(等角對等邊)．第四環(huán)節(jié)：適時(shí)提問 導(dǎo)出反證法活動(dòng)過程與效果：我們類比歸納獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，“反過來”思考問題也獲得了一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論．如果否定命題的條件，是否也可獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論嗎?我們一起來“想一想”：小明說，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也不相等．你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?有學(xué)生提出：“我認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的．因?yàn)槲耶嬃藥讉€(gè)三角形，觀察并測量發(fā)現(xiàn)，如果兩個(gè)角不相等，它們所對的邊也不相等．但要像證明“等角對等邊”那樣卻很難證明，因?yàn)樗臈l件和結(jié)論都是否定的．”的確如此．像這種從正面人手很難證明的結(jié)論，我們有沒有別的證明思路和方法呢?我們來看一位同學(xué)的想法：如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時(shí)AB與Ac要么相等，要么不相等．假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C=∠B，但已知條件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC你能理解他的推理過程嗎?再例如，我們要證明△ABC中不可能有兩個(gè)直角，也可以采用這位同學(xué)的證法，假設(shè)有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A=90176。，∠B=90176。，可得∠A+∠B=180176。，但△AB∠A+∠B+∠C=180176。, “∠A+∠B=180176。”與“∠A+∠B+∠C=180176。”相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個(gè)直角．引導(dǎo)學(xué)生思考：上一道面的證法有什么共同的特點(diǎn)呢?引出反證法。都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立．這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法．接著用“反過來”思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理“等角對等邊”，最后結(jié)合實(shí)例了解了反證法的含義．第五環(huán)節(jié)：拓展延伸 活動(dòng)過程與效果：在一節(jié)課結(jié)束之際，為培養(yǎng)學(xué)生思維的綜合性、靈活性特安排了2個(gè)練習(xí)。一個(gè)是通過平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過線段的轉(zhuǎn)換求圖形的周長。另一個(gè)是一個(gè)開放性的問題，考察學(xué)生多角度多維度思考問題的能力。學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上再小組交流。，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，設(shè)AB=12，AC=18，求△AMN的周長. .NMCBAD,如果能從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時(shí)的等腰三角形的頂角的度數(shù)? 第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？ （3）結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系．（4）舉例談?wù)動(dòng)梅醋C法說理的基本思路 第一章 三角形的證明1. 等腰三角形（四）一、學(xué)生知識狀況分析在前兩節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了獨(dú)立探索發(fā)現(xiàn)定理的過程，并能基本規(guī)范地證明相關(guān)命題，這些都為本節(jié)課進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)相關(guān)定理提供了較好的知識基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課，學(xué)生將探究等邊三角形判定定理和含30176。角的直角三角形的性質(zhì)定理，應(yīng)該說，這兩個(gè)定理的證明和探索相對而言，并不復(fù)雜，更多的是前面定理的直接運(yùn)用，因此，本節(jié)課可以更多地讓學(xué)生自主探索。但第一個(gè)定理證明中，需要分類討論，因此注意揭示其中的分類思想；第2個(gè)定理結(jié)論比較特殊，直接從定理?xiàng)l件出發(fā)，學(xué)生一般難能得到這個(gè)結(jié)論，因此，教科書中設(shè)計(jì)了一個(gè)學(xué)生活動(dòng)，在活動(dòng)的基礎(chǔ)上“無意”中發(fā)現(xiàn)了其特殊的結(jié)論，這實(shí)際上也是一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，因此也應(yīng)注意讓學(xué)生體會。為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：1．知識目標(biāo)理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30186。角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個(gè)定理解決一些簡單的問題。2．能力目標(biāo)①經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維．②經(jīng)歷實(shí)際操作，探索含有30186。角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力；③在具體問題的證明過程中，有意識地滲透分類討論、逆向思維的思想，提高學(xué)生的能力。3．情感與價(jià)值觀要求①積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲．②在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.教學(xué)重點(diǎn)①等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.②含30176。角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明.4．教學(xué)難點(diǎn)①含30176。角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明.②引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問題.三、教學(xué)過程分析學(xué)具準(zhǔn)備：兩個(gè)帶30度角的三角板。本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第二環(huán)節(jié)：自主探索；第三環(huán)節(jié)：實(shí)際操作 提出問題；第四環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練 鞏固新知；第五環(huán)節(jié)：暢談收獲 課時(shí)小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：提問問題，引入新課活動(dòng)內(nèi)容：教師回顧前面等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，直接提出問題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個(gè)三角形是等腰三角形呢？從而引入新課?；顒?dòng)目的：開門見山，引入新課，同時(shí)回顧，也為后續(xù)探索提供了鋪墊。活動(dòng)效果：在老師的引導(dǎo)下，一般學(xué)生都能得出等邊三角形的性質(zhì)；對于等邊三角形的判別，學(xué)生可能會出現(xiàn)多種情況，如直接從等邊三角形性質(zhì)出發(fā)，當(dāng)然也可能有學(xué)生考慮分步進(jìn)行，現(xiàn)確定它是等腰三角形，再增補(bǔ)條件，確定它是等邊三角形。這是教師可以適時(shí)提出問題：如果已知一個(gè)三角形是等邊三角形的基礎(chǔ)上，如何確定它是等邊三角形呢？下面是活動(dòng)預(yù)設(shè)：[生]等腰三角形已經(jīng)有兩邊分別相等，所以我認(rèn)為只要腰和底相等，等腰三角形就成了等邊三角形．[生]等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且分別都等于60176。．我認(rèn)為等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60176。，等腰三角形就是等邊三角形了．(此時(shí)，部分同學(xué)同意此生的看法，部分同學(xué)不同意此生的看法，引起激烈地爭論．教師可讓同學(xué)代表充分發(fā)表自己的看法．)[生]我不同意這位同學(xué)的看法．因?yàn)槿魏我粋€(gè)三角形滿足這個(gè)條件都是等邊三角形．根據(jù)等角對等邊，三個(gè)內(nèi)角都是60176。，所以它們所對的邊一定相等．但這一問題中“已知是等腰三角形，滿足什么條件時(shí)便是等邊三角形”，我覺得他給的條件太多，浪費(fèi)![師]給三個(gè)角都是60176。，這個(gè)條件的確有點(diǎn)浪費(fèi)，那么給什么條件不浪費(fèi)呢?下面同學(xué)們可在小組內(nèi)交流自己的看法．(2)你認(rèn)為有一個(gè)角等于60176。的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?把你的證明思路與同伴交流．(教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時(shí)間)第二環(huán)節(jié)：自主探索活動(dòng)內(nèi)容：學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報(bào)各自的結(jié)論，教師適時(shí)要求學(xué)生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出下表：性質(zhì)判定的條件等腰三角形（含等邊三角形）等邊對等角等角對等邊“三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60176。等邊三角形三個(gè)角都相等，且每個(gè)角都是60176。三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形活動(dòng)目的：經(jīng)歷定理的探究過程，即明確有關(guān)定理，同時(shí)提高學(xué)生的自主探究能力?；顒?dòng)注意事項(xiàng)與效果：由于有了第1環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生多能探究出：頂角是60176。的等腰三角形是等邊三角形；底角是60176。的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；三條邊都相等的三角形是等邊三角形。對于前兩個(gè)定理的形式相近，教師可以進(jìn)一步提出要求：能否用更簡捷的語言描述這個(gè)結(jié)論嗎?從而引導(dǎo)學(xué)生得出：有一個(gè)角是60176。的等腰三角形是等邊三角形。在學(xué)生得出這些結(jié)論的基礎(chǔ)上，教師注意引導(dǎo)學(xué)生說明道理，給出證明的思路，選擇部分命題，給與嚴(yán)格的證明，由于“有一個(gè)角是60176。的等腰三角形是等邊三角形”的證明需要分類討論，因此，可以以此問題作為對學(xué)生證明的要求，并與同伴交流證明思路．并要求學(xué)生思考證明中的注意事項(xiàng)，從而點(diǎn)明其中的分類思想，提請學(xué)生注意：思考問題要全面、周到．第三環(huán)節(jié)：實(shí)際操作 提出問題 活動(dòng)內(nèi)容：教師直接提出問題：我們還學(xué)習(xí)過直角三角形，今天我們研究一個(gè)特殊的直角三角形：含30176。角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30176。角的兩個(gè)三角尺，你能拼成一