對多值解析函數(shù)研究(編輯修改稿)
2025-07-04 18:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 全由iargz決定，故與幅角函數(shù)完全一致。2 多值函數(shù)單值化的一般方法 關(guān)于多值函數(shù)的支點 (一) 支點的定義: ：當z繞這點一圈時，多值函數(shù)從一個分支變?yōu)榱硪环种?，我們把它稱為這個多值函數(shù)的支點。：在其任一鄰域中的任一條閉約當曲線上繞它作(一次)完全環(huán)繞，可將多值函數(shù)的一個分支變?yōu)檫@函數(shù)的另一分支。3. 如果存在點z0(可為∞)的一個鄰域，當點:沿該鄰域內(nèi)任一內(nèi)部含z0的閉Jordan曲線繞行一周時，多值函數(shù)了f(z) 從一個值變?yōu)榱硪粋€值，則稱z0為了 f(z) 的支點。例如：函數(shù)w=z1(z3)有且僅有兩個支點z=1，z=3。 (二) 判另支點的方法一般步驟：1. 求出“可能支點”: 使R(z)=0及R(z)= ∞的點 2. 根據(jù)定義判別“可能支點”是否是支點. 例如：求 w=Lnzα(zβ)zγ的支點，其中α、β、γ為互不相同的復常數(shù)。解：（1）令zα(zβ)zγ=0、∞，得z=α、β、γ、∞。故w的可能支點為α、β、γ、∞。 （2）w=Lnzαzβzγ=Lnzα+LnzβLnzγ =lnzα+lnzβlnzγ+iargzα+argzβargzγ+2kπ （k∈z） 對于z=α，取充分小鄰域N(α, ρ)使其內(nèi)不含β、γ。在N(α, ρ) 內(nèi)任作一條內(nèi)部含α的閉Jordan曲線C，在C上任取一點z1，分別取arg(z1α)=θarg(z1β)=θarg(z1γ)=θ3，井由此任意取定函數(shù)在z1的一個值，不妨令w0=lnz1α+lnz1βlnz1γ+iθ1+θ2+θ3. 當點z從z1出發(fā)沿C按逆時針方向繞行一周回到z1時，arg(z1α) 由θ1變到θ1+2π，而arg(z1β)、arg(z1γ) 仍為θθ3，此時函數(shù)值w0變?yōu)閣0+2πi。故z=α是支點。同理可以證明z=β、γ也是支點。 對于z=∞，取充分小鄰域zR（R充分大，使R≥max?(α、β、γ)），在此區(qū)域內(nèi)任取一條圍繞∞的Jordan閉曲線c，仿照之前方法同樣可證明z=∞是支點。 關(guān)于多值函數(shù)的單值分支(一)可分連續(xù)分支區(qū)域 多值函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)可分單值連續(xù)分支的充要條件是，對一于區(qū)
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