利用壓縮變換解決競(jìng)賽與自主招生中的橢圓問(wèn)題(編輯修改稿)
2025-07-04 17:30 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 明：△的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上；（2）若，求△的面積． 解：作軸交橢圓于另一點(diǎn)，連結(jié)．圖32把平面上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，得到平面，如圖32．于是橢圓還原成圓。（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以，所以，由垂徑定理知點(diǎn)平分弧，所以平分，因?yàn)檩S，所以與斜率互為相反數(shù)． 所以平面上直線與的斜率也互為相反數(shù)，即平分，所以△的內(nèi)切圓的圓心在定直線上．（2）易得△的面積為圖41評(píng)注：把橢圓還原成圓后可利用垂徑定理。例4．（2013全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽）如圖41，設(shè)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過(guò)點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于和，若。（1）證明：直線的斜率為定值；（2）過(guò)點(diǎn)作的平行線，與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)平分線段。證明：把平面上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到平面，如圖42．于是橢圓還原成圓。(1)連結(jié) ，因?yàn)?，所以，所?即為等腰梯形所以,又,所以直線垂直平分弦，圖42因?yàn)?，所以，所以，所以。?）直線垂
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