利用壓縮變換解決競(jìng)賽與自主招生中的橢圓問(wèn)題(參考版)
2025-06-10 17:30本頁(yè)面
【正文】 6。解：（1）易得曲線的方程為；（2）把平面上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到平面，于是橢圓還原成圓，如圖7.圖7因?yàn)?，所以△的重心是原點(diǎn)，相應(yīng)的，△的重心是原點(diǎn)，由垂徑定理得△是正三角形，所以△得面積為，所以△的面積為。點(diǎn)是大圓半徑與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，記當(dāng)半徑繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)的軌跡為曲線。評(píng)注：把橢圓還原成圓后并可得到以半徑為腰的等腰三角形。三．在壓縮變換下，平面上封閉圖形的面積是原來(lái)平面對(duì)應(yīng)封閉圖形面積的倍，即．例6．（2013全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東省預(yù)賽）已知橢圓內(nèi)接平行四邊形的一組對(duì)邊分別過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，求該平行四邊形面積的最大值．解：把平面上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到平面，如圖6．于是橢圓還原成圓，先求平面上相應(yīng)平行四邊形面積的最大值。取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以平分弦，所以，?設(shè)的斜率為，所以，所以，得，所以；（3），設(shè)圓與軸的交點(diǎn)為，連結(jié)，直線交軸于，直線交軸于,所以,此
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