【正文】 拼一個(gè)春夏秋冬！贏一個(gè)無悔人生！早安！—————獻(xiàn)給所有努力的人.學(xué)習(xí)參考。不奮斗就是每天都很容易，可一年一年越來越難。是狼就要練好牙，是羊就要練好腿。當(dāng)n=3k+1時(shí),1+ωn+ω2n=1+ω+ω2=0。令x=ω2,a0+a1ω2+a2ω4+…+a2000ω4000=0。|z+ni||zmi|m0|z+ni|0,選(B).2.(1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)若M={z|z=+i,t∈R,t≠1,t≠0},N={z|z=[cos(arcsint)+icos(arc 12 cost)],t∈R,|t|≤1},則M∩N中元素的個(gè)數(shù)為( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)43.(1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)z1的軌跡方程為|z1z0|=|z1|,z0為定點(diǎn),z0≠0,另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)z滿足z1z=1,求點(diǎn)z的軌跡,指出它在復(fù)平面上的形狀和位置.解:z1z=1z1=,代入|z1z0|=|z1|得:|+z0|=|||z0z+1|=1|z+|=,又因z≠0(z1z=1)點(diǎn)z的軌跡是以為圓心,為半徑的圓,除去原點(diǎn).4.①(2001年第十二屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高二)試題)已知復(fù)數(shù)z,w滿足:|z1i||z|=,|w+3i|=1,則|z–w|的最小值= .解:設(shè)A(1,1),O(0,0),B(0,3)|OA|=|z1i||z|=,即|PA||PO|=的點(diǎn)P的軌跡為射線y=x(x≤0),|w+3i|=1,即|QB|=1|z–w|,即|PQ|的最小值=1. ②(1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海初賽試題)x、=x++yi,z2=x+yi(i為虛數(shù)單位),|z1|+|z2|=12,令u=|5x?6y?30|,則u的最大值是_____,u的最小值是_____.解:5.(1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海初賽試題)已知滿足條件|z2|+|z2?1|=7的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的所對應(yīng)的點(diǎn)的集合是一條二次曲線,則該二次曲線的離心率e=_____.解:設(shè)|z|=r,w=z2,由|z2|+|z2?1|=7r2+|w1|=7 [例14]:(2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)若(1+x+x2)1000的展開式為a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000,則a0+a3+a6+a9+…+a1998的值為 .[解析]:在(1+x+x2)1000=a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000中,令x=1:a0+a1+a2+…+a2000=31000。②若4a1=0a1k2=2a3=21+k+k2++=,令k+=xx2+x1=0,該實(shí)系數(shù)二次方程的△=52S0,且f(2)=50,f(2)=10|x|2方程k+=x,即k2xk+1=0的△=x240k1,k2互為共軛復(fù)數(shù)|k1|2=|k2|2=k1k2=1|k|=1|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|=2. [例13]:(2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)A,B,C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai,Z1=+bi,Z2=1+ci(其中a,b,c都是實(shí)數(shù))對應(yīng)的不共線的三點(diǎn),證明:曲線Z＝Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t(t∈R)與ABC中平行于AC的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn),并求出此點(diǎn).[解析]:[類題]:1.(1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)m,n為非零復(fù)數(shù),i為虛數(shù)單位,z206。②當(dāng)π≤a2π時(shí),argz2=2a2π,故選(D).2.(1998年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南初賽試題)設(shè)z是復(fù)數(shù),z+2的幅角為,z2的幅角為,則z= .解:設(shè)z+2=R(+i),z2=r(+i)R2+Ri=2r+riR2=2r,且R=rR=2z=1+i.3.(1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)若z206。arg(z+3)=1350z+3在射線y=x(x≤0)上z在射線y=x3(x≤3)上z=4+i.4.(1999年第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽(高二)試題)在復(fù)平面內(nèi)由,(i1)3對應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的三角形的最大內(nèi)角等于 .5.(2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北初賽試題)如果復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,A(1,0),B(0,1)是復(fù)平面上兩點(diǎn),那么函數(shù)f(z)=|(z+1)(i)|取最大值時(shí),△ABZ的形狀是 .解:設(shè)z=cosθ+isinθf(z)=|(z+1)(i)|=|[(1+cosθ)+isinθ][cosθ(1+sinθ)i]|=|(1+cosθ)+isinθ||cosθ(1+sinθ)i|==2,為等腰三角形. [例10]:(2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=2,|z2|=3,若它們所對應(yīng)向量的夾角為600,則||= .[解析]:設(shè)z1,z2,z1+z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,則四邊形OACB是平行四邊形,且∠AOB=600|z1z2|=|AB|=。又因ω2,ω4,ω6,ω8,ω10是1的5個(gè)5次方根(xω2)(xω4)…(xω10)=x51。當(dāng)|z|=0時(shí),由z+|z|3=0z=0。λ=1x02x0+1=0無實(shí)根,綜上,λ=2。|m|≤7+|OA|=7+.[類題]:1.(1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海初賽試題)若虛數(shù)z使2z+為實(shí)數(shù),則2z+的取值范圍是_____.2.(1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)二次方程(1i)x2+(l+i)x+(1+il)0(i為虛數(shù)單位,l206。當(dāng)x=1時(shí),1+x+x2+x3+…+x2009+x2010=1。27=|z1z2|2=(z1z2)()=z1+z2(z2+z1)z1+z2=18z2=9|z2|=3|z2|=|z1|=9,z2+z1=9,設(shè)z1=9(cosθ+isinθ)z2=9(cosθisinθ)cosθ=sinθ=z1=9ω,或ω2log3|(z1)2000+(z2)2000|=log3|(9ω)2000+(9ω2)2000|= 5 log3|92000(ω+ω2)|=4000. [例5]:(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆初賽試題)復(fù)數(shù)z1和z2滿足:|z2|=4,4z122z1z2+z22=0,則|(z1+1)2(z12)|的最大值為 .[解析]: 由4z122z1z2+z22=03z12+(z1z2)2=0(z1z2)2=3z12z1z2=z1iz2=(1i)z1|z2|=2|z1||z1|=2,設(shè)z1=2(cosα+isinα)|(z1+1)2(z12)|=|(z1+1)2||(z12)|=[(2cosα+1)2+(2sinα)2]=≤3(cosα=).[類題]:1.(1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海初賽試題)||= .2.(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津初賽試題)復(fù)數(shù)z滿足|z|(3z+2i)=2(iz?6),則|z|等于 .解:設(shè)|z|=r(r0)z=r2=|z|2=||2==r4=16r=2.3.(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林初賽試題)設(shè){zn}是一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)列,定義zn=(1+i)(1+)…(1+),則= .解:|znzn+1|=1.4.(2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南初賽試題)已知復(fù)數(shù)z滿足zz=3,且arg(z1)=,則z= .解:zz=3(z1)(1)=4|z1|=2z1=2(cos+isin).5.(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅初賽試題)設(shè)z是復(fù)數(shù),且|z|=1,則u=|z2z+1|的最大值與最小值是 .解:u=|z2z+1|=|z2z+z|=|z(z+1)|=|z+1|.設(shè)z=x+yi,則|x|≤1u=|z+1|=|2x1|∈[0,3]. [例6]:(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽初賽試題)設(shè)n≥2007,且n為使得an=(+i)n取實(shí)數(shù)值的最小正整數(shù),則對應(yīng)此n的an= .[解析]:令tanθ=(0θ)tan2θ==3+2tanθ=+1tan2θ=12θ=θ=an=[r(cos+isin)]n=rn(cosn+isinn)取實(shí)數(shù)值,其中r=2sinn=0n=kπ3n=8kn=8m,滿足此條件且n≥2007的最小正整數(shù)n為2008,此時(shí)an=a2008=22008cos753π=22008.[類題]:1.(1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海初賽試題)計(jì)算:()1989= .2.①(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東初賽試題)已知z=(3i)n,若z為實(shí)數(shù),則最小的正整數(shù)n的值為 .解:令tanθ==θ=3i=2(cos+isin)z=(3i)n=[2(cos+isin)]n=(2)n[cos(n)+isin(n)]為實(shí)數(shù)sin(n)=0n=kπk=最小的正整數(shù)n的值為3. ②(1985年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海初賽試題)設(shè)n為使an=(+i)n取實(shí)數(shù)的最小自然數(shù),則對應(yīng)此n的 6 an= .3.①(2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽初賽試題)(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ成立,則這種n的總個(gè)數(shù)為 .解:(sinθ+icosθ)n=[i(cosθisinθ)]n=in[cos(θ)+isin(θ)]n=in[cos(nθ)+isin(nθ)]=in[cos(nθ)isin(nθ)]=in1(sinnθ+icosnθ)in1=1n1=4kn=4k+1(n≤2003)k≤500(k=0)這種n的總個(gè)數(shù)為501. ②(1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海初賽試題)設(shè)m、n是自然數(shù),且使(+i)m=(1+i)n成立(其中i是虛數(shù)單位),則乘積mn的最小值是 .4.(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東初賽試題)|z|=1,|+i|=1,則當(dāng)(z+i)n(n為正整數(shù))為實(shí)數(shù)時(shí),|z+i|n的最小值為 .解:由|z|=1z=1,|+i|=1(+i)(zi)=1(z)i=1z=iz=+iz+i=+i=(i)(z+i)n=()n(i)n,其中w=i是方程w2w+1=0的根w3=1n=3時(shí),|z+i|n的最小值為3.5.(1985年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海初賽試題)[()8+1]n當(dāng)n取1,2,…,100時(shí),可得 個(gè)不同的數(shù)值.解:[()8+1]n=[(i)8()8+1]n=[(iω)8+1]n=(ω2+1)n=(ω)n,可得6個(gè)不同的數(shù)值. [例7]:(1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)a,b,c均為非零復(fù)數(shù),且==,則的值為 .[解析]:設(shè)===xa=xb,b=xc,c=xaabc=x3abcx3=1x=1,x=ω,x=ω2(三次方程有三個(gè)根)=0==1,或ω,或ω2.[類題]:1.①(1980年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海初賽試題)設(shè)x1,x2是方程x2x+1=0的兩個(gè)根,則x11980+= .解:xi6=1x11980=1,=1x11980+=2。④( )(A)只有①和②是正確的 (B)只有①和③是正確的 (C)只有①和④是正確的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正確解:λz=wz=z(λz+w)=(1λ)z=w+z=.故選(A).3.(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅初賽試題)如果復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|,且z1z2=2i,則的值為 .解:設(shè)|z1|=|z2|=az1=z2=a2a2(2i)=z1z2z2z1=z1z2()=z1z2(2+i)===.4.(1996年湖南高中數(shù)學(xué)夏令營試題)z1,z2是已知的兩個(gè)任復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)z滿足z≠0,z+z2≠0,z1+z+z1=0,則arg= .解:z1+z+z1=0z1+(z+z1)=0z1z2+(z+z1)z2=0。②這個(gè)方程只有一個(gè)解。同理可得:當(dāng)sin=0時(shí),|az1+bz2+cz3|=。②設(shè)a,b,c都是復(fù)數(shù),如果a2+b2c20,則a2+b2( )(A)命題①正確,命題②也正確 (B)命題①正確,命題②錯(cuò)誤 (C)命題①錯(cuò)誤,命題②也錯(cuò)誤 (D)命題①錯(cuò)誤,命題②正確5.(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江初賽試題)設(shè)z是虛數(shù),w=z+,且1w2,則z的實(shí)部取值范圍為 .解:設(shè)z=a+biw=a+bi+=a++(b)w2w為實(shí)數(shù)b=0b=0,或a2+b2=1.當(dāng)b=0時(shí),a≠0,w=a+|w|≥2,不符合1w2。③三角形相似:若復(fù)數(shù)z1,z2,z3對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,Z2,Z3,復(fù)數(shù)w1,w2,w3對應(yīng)的點(diǎn)分別為W1,W2,W3,則△Z1Z2Z3∽△W1W2W3的充要條件是:=。②三角形形狀:若復(fù)數(shù)z1,z2,z3對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,Z2,Z3,則△Z1Z2Z3為正三角形的充要條件是:z12+z22+z32=z1z2+z2z3+z3z1。③平行條件:若復(fù)數(shù)z1,z2,z3,z4對應(yīng)的點(diǎn)分別為