【文章內(nèi)容簡介】 乙 小球落到斜面上時有 v y =gt , 解得 t=3 ??04 ?? O 到 A 的豎直位移 h=12gt2 得 h=12g (3 ??04 ??)2=9 ??0232 ?? O 到 A 的水平位移 s=v 0 t=3 ??024 ?? 小球在斜面上做勻加速直線運動 , 由牛頓第二定律得加速度 a=g sin 37 176。 =3 ??5 設斜面長為 l , 由勻變速直線運動規(guī)律 ( 2 54v 0 )2 (54v 0 )2= 2 al , 解得 l=125 ??0232 ?? 當有電場存在時 , 小球做類平拋運動 , 其等效重力加速度為 g39。=g+?? ????=3 ??2 O 到水平地面的高度 H=h+l sin 37 176。 =218??02?? 所以小球落到斜面底端的時間 t39。= 2 ???? 39。, 代入數(shù)值得t39。= 14 ??02 ?? O 到 C 的水平位移 x=s+l cos 37 176。 =31 ?? 028 ?? 故有電場時小球水平拋出的速度 v39。=???? 39。, 代入數(shù)值得v39。=31 14 ?? 056。 【答案 】31 14 ?? 056 【點評】求解這類平拋運動問題 , 要注意如下幾點 : 第二步 : 找解題突破口 ( 1 ) 已知平拋運動的豎直位移 h , 利用公式 v2= 2 gh 可求出豎直速度。由合速度沿斜面方向 , 利用幾何關系 , 可求出水平速度。 ( 2 ) 利用公式 h=12gt2可求出 t , 再利用 x=v 0 t 可求出水平位 移。 ( 3 ) 小球在斜面上做勻變速直線運動 , 利用勻變速直線運動規(guī)律可求出到達斜面底端的時間。 第三步 : 有條理作答。 四、豎直平面內(nèi)圓周運動的繩、桿模型 在豎直平面內(nèi)做圓周運動的物體 , 按運動至軌道最高點時的受力情況可分為兩類 : 一是無支撐的 ( 如球與繩連接 , 沿內(nèi)軌道的“過山車” , 等等 ), 這類稱為“繩 ( 環(huán) ) 約束模型” 。二是有支撐的 ( 如球與桿連接 , 球在彎管內(nèi)的運動 , 等等 ), 這類稱為“桿 ( 管道 ) 約束模型”。兩種模型分析比較如下 : 如圖所示 , 在光滑水平面上豎直固定一半徑為 R的光滑半圓槽軌道 , 其底端恰與水平面相切。質(zhì)量為 m 的小球以大小為 v 0 的初速度經(jīng)半圓槽軌道最 低點 B 滾上半圓槽 ,小球恰能通過最高點 C 后落回到水平面上的 A 點。 ( 不計空氣阻力 , 重力加速度為 g ) 求 : ( 1 ) 小球通過 B 點時對半圓槽的壓力大小。 ( 2 ) A 、 B 兩點間的距離。 ( 3 ) 小球落到 A 點時的速度方向。 【解析】 ( 1 ) 在 B 點小球做圓周運動 , 由牛頓第二定律得F N mg=m??02?? 所以 F N =mg+m??02??。 ( 2 ) 在 C 點小球恰能通過 , 故小球到達最高點時軌道的彈力剛好等于零 , 只有重力提供向心力 , 由牛頓第二定律得mg=m????2?? 過 C 點小 球做平拋運動 : x AB =v C t , h=12gt2, h= 2 R 聯(lián)立以上各式可得 x AB = 2 R 。 ( 3 ) 設小球落到 A 點時 , 速度方向與水平面的夾角為 θ ,則 tan θ =??⊥????, v ⊥ =gt , 2 R=12gt2 解得 : tan θ = 2 小球落到 A 點時 , 速度方向與水平面成 θ 角向左下方 ,且 tan θ = 2 。 【答案】 ( 1 ) mg+ ?? ?? 02?? ( 2 ) 2 R ( 3 ) 見解析 【點評】解題時先分清是繩端球模型還是桿端球模型 ,抓住繩端球模型中最高點 v ≥ ?? ?? 及桿端球模型中最高點 v≥ 0 這兩個條件 , 然后利用牛頓第二定律求解。復習時要注意培養(yǎng)自己的審題能力 , 要學會在讀題時抓住關鍵詞語 , 特別是對“剛好”“恰好”“最大”“最小”“無壓力”“輕繩”“輕桿”等 , 要真正理解其含意。本題是線球模型 , 要注意分析小球在最高點的彈力方向 , 正確求出在最高點所受合外力的大小 , 再根據(jù)向心力公式求出速度的大小。 五、水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題 此類問題要注意四個方面的分析 : 一是幾何關系的分析 ,目的是確定圓周運動的圓心、半徑等 。 二是運動分析 , 目的是列出物體做圓周運動所需要的向心力公式 ( 用運動學量來表示 )。 三是受力 分析 , 目的是利用力的合成與分解的知識 , 表示出物體做圓周運動時外界所提供的向心力 。 四是臨界條件的分析。其中臨界狀態(tài)是一個“分水嶺” , “嶺”的兩邊連接著物理過程的不同階段 , 各階段物體的運動形式以及遵循的物理規(guī)律往往不同 , 只有把握住臨界條件 , 才能順利求解。 如圖甲所示 , 裝置 BO39。O 可繞豎直軸 O39。O 轉(zhuǎn)動 , 可視為質(zhì)點的小球 A 與兩細線連接后分別系于 B 、 C 兩點 , 裝置靜止時細線 AB 水平 , 細線 AC 與豎直方向的夾角 θ= 37 176。 , AB 細線上的拉力為零時 , 繩 AC 與豎直方向的最大夾角為 53 176。已知小球的質(zhì)量為 m , 細線 AC 長為 l , B 點距 C點的水平距離和豎直距離相等。 甲 ( 1 ) 若 AB 細線水平且拉力等于重力的一半 , 求此時裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度 ω 1 的大小。 ( 2 ) 若使 AB 細線上的拉力為零 , 求裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度 ω 的取值范圍。 乙 【解析】 ( 1 ) 受力分析如圖乙所示 , 由牛頓第二定律 T AC cos θ =mg T AC sin θ T AB =m ( l sin θ ) ??12 解得 ω 1 = 5 ??12 ??。 ( 2 ) 由題意 , 當 ω 最小時繩 AC 與豎直方向夾角 θ 1 = 37 176。 ,受力分析如圖丙 丙 mg tan θ 1 =m ( l sin θ 1 ) ??min2 得 ω min = 5 ??4 ?? 當 ω 最大時繩 AC 與豎直方向夾角 θ 2 = 53 176。 mg tan θ 2 =m ( l sin θ 2 ) ??ma x2 得 ω max = 5 ??3 ?? 所以 ω 取值范圍為 5 ??4 ??≤ ω ≤ 5 ??3 ??。 【答案】 ( 1 ) 5 ??12 ?? ( 2 ) 5 ??4 ??≤ ω ≤ 5 ??3 ?? 【點評】圓周運動中常見的臨界問題有 :( 1 ) 存在靜摩擦力作用的圓周運動 , 靜摩擦力等于最大靜摩擦力是分析求解這類問題的重要臨界條件。 ( 2 ) 存在輕繩彈力作用的圓周運動 , 輕繩的拉力為零是求解這類問題的重要臨界條件。當有多根輕繩作用時可以用極限分析法找到多個臨界值。然后分情況討論。 ( 3 ) 存在接觸面支持力作用的圓周運動 , 支持力為零是求解這類問題的重要臨界條件。 【審題范例】 【例題】 ( 2022 年海南卷 ) 如圖 , 位于豎直水平面內(nèi)的光滑軌道由四分之一圓弧 ab 和拋物線 bc 組成 , 圓弧半徑Oa 水平 , b 點為拋物線頂點。 已知 h= 2 m , s= 2 m 。取重力加速度大小 g= 10 m/s2。 ( 1 ) 一小環(huán)套在軌道上從 a 點由靜止滑下 , 當其在 bc段軌道運動時 , 與軌道之間無相互作用力 , 求圓弧軌道的半徑。 ( 2 ) 若環(huán)從 b 點由靜止因微小擾動而開始滑下 , 求環(huán)到達 c 點時速度的水平分量的大小。 【規(guī)范答題】 ( 1 ) 小環(huán)套從 ab 滑落過程中 , 根據(jù)動能定理有 mgR=12m ????2 0 當小環(huán)套在 bc 段軌道運動時 , 與軌道之間無相互作用力 , 則說明下落到 b 點時的速度 , 使得小環(huán)套做平拋運動的軌跡與軌道 bc 重合 , 故有 s=v b t , h=12gt2 聯(lián)立解得 R=??24 ?= 0 . 25 m 。 ( 2 ) 小環(huán)套沿 bc 段軌道下滑過程 , 根據(jù)動能定理有mgh=12m ????2 0 設小環(huán)套滑到 c 點時速度方向與豎直方向的夾角為 θ ,θ 等于 ( 1 ) 問中做平拋運動過程中經(jīng)過 c 點時速度與豎直方向的夾角 , 根據(jù)平拋運動規(guī)律可知 sin θ =???? ????2+ 2 gh= ???? + ?=13 根據(jù)運動的合成與分解可知 sin θ =??水平?? ?? 聯(lián)立解得 v 水平 = ?? 2 gh?? 2 + 4 h= 2 m/s 。 【答案】 ( 1 ) 0 . 25 m ( 2 ) 2 m /s 第二講 萬有引力定律及其應用 【高效整合】 一、開普勒行星運動定律 開普勒三個定律的內(nèi)容如下表所示 : 三、衛(wèi)星運行規(guī)律 1 . 地球同步衛(wèi)星的特點 2 . 極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星 ( 1 ) 極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極 , 由于地球自轉(zhuǎn) , 極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋。 ( 2 ) 近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星 , 其運行的軌道半徑可近似認為等于 ④ 地球的半徑 ,其運行線速度約為 7 . 9 km/s 。 ( 3 ) 兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的 ⑤ 球心 。 四、萬有引力問題的“一種模型、兩條思路、三個物體、四個關系” 1 . 一種模型 無論自然天體 ( 如地球、月亮 ) 還是人造天體 ( 如宇宙飛船、人造衛(wèi)星 ) 都可以看 作質(zhì)點 , 它們都圍繞中心天體 ( 視為靜止 ) 做勻速圓周運動。 2 . 兩條思路 ( 1 ) 萬有引力提供向心力 , 即 G?? ????2=m??2??=m ω2r=m4 π2??2r=ma 。 ( 2 ) 天體對其表面的物體的萬有引力近似等于重力 , 即?? ?? ????2=mg 或 gR2=GM ( R 、 g 分別是天體的半徑、表面重力加速度 ), 公式 gR2=GM 應用廣泛 , 被稱為“黃金代換”。 3 . 三個物體 求解衛(wèi)星運行問題時 , 一定要認清三個物體 ( 赤道上的物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星 ) 之間的關系。 4 . 四個關系 “四個關系”是指人造衛(wèi)星的加速度、線速度、角速度、周期與軌道半徑的關系。 ?? ?? ????2= 越高越慢 【解題精要】 一、萬有引力定律的應用 1 . 天體重力加速度、質(zhì)量和密度的估算 ( 1 ) 天體表面附近表面附近重力加速度 忽略地球自轉(zhuǎn)時 , 天體表面附近重力加速度 g=G????2, 高 h處重力加速度 g39。= (???? + ?)2g 。 ( 2 ) 利用天體表面的重力加速度 g 、天體半徑 R 和引力常量 已知天體表面重力加速度、天體半徑和引力常量 , 由mg=G?? ????2得 M=??2g??, 天體密度 ρ =????=??43π ??3=3 ??4 π ?? ??。 ( 3 ) 通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期 T 和軌道半徑 r ① 由萬有引力等于向心力 , 若已知衛(wèi)星的軌道半徑 r和衛(wèi)星的運行周期 T 、角速度 ω 或線速度 v , 可求得中心天體的質(zhì)量為 M=?? ??2??=4 π2??3?? ??2=??2??3??。 ② 若已知天體的半徑 R , 則天體的平均密度 ρ=????=??43π ??3=3 π ??3?? ??2??3。 ③ 若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動 , 可認為其軌道半徑 r 等于天 體半徑 R , 則天體密度 ρ =3 π?? ??2, 可見 , 只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期 T , 就可估測出中心天體的密度。 隨著我國探月三步走計劃的實現(xiàn) , 中華兒女到月球上去旅游不再是夢想 , 將來有一天你會成功登上月球。若月球質(zhì)量是地球質(zhì)量的181, 月球半徑約是地球半徑的14, 地球表面的重力加速度是 g , 地球的半徑為 R , 你在地面上能向上豎直跳起的最大高度是 h , 忽略自