【文章內容簡介】 8。；（2）232。（3）[解] （1）limn174。165。22(1+x)(1+x2)(1+x)?(1+x) nn+12n(1x)(1+x)(1+x2)L(1+x2)1x21lim=lim=.n174。165。n174。165。1x1x1x=230。31xx21246。230。3lim231。247。=lim231。x174。11x31x248。x174。1231。1x3232。232。（2）246。230。1x+1x2247。231。3247。=limx174。1231。248。232。1x246。247。247。248。 2+x230。(1x)(2+x)246。lim231。=lim=1.247。32x174。1x174。11x1+x+x248。=232。limx21x+x=lim(x21)(x++x)(x+x)(3x++x) （3）limx174。1x174。1(x1)(x+1)(3x++x)(x+1)(3x++x)=limx174。1x174。12(1x)2==22.2．連續(xù)性的討論。例3 設f(x)在(∞,+∞)當x∈[0,1)時，有f(x)=x(1x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t1，當x∈[1,2)時，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t1)，因為t1∈[0,1),再由f(x)=x(1x)2得f(t1)=(t1)(2t)2,從而t∈[1,2)時,有f(t)=2(t1)?(2t)2；同理，當x∈[1,2)時，令x+1=t，則當t∈[2,3)時，有f(t)=2f(t1)=4(t2)(3t)2236。239。2(x1)(2x),x206。[1,2)。237。239。4(x2)(3x)2,x206。[2,3).238。f(x)=所以所以x174。2limf(x)=lim2(x1)(2x)2=0,limf(x)=lim4(x2)(3x)2=0x174。2x174。2+x174。2+，所以x174。2lilimmx174。f(x)=2+f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。3．利用導數的幾何意義求曲線的切線方程。y0=1x0，切線的斜率為[解] 因為點(2,0)不在曲線上，設切點坐標為(x0,y0)，則x’|x=01111y=(xx0)(xx)0222x0x0x0，所以切線方程為yy0=x0，即。又因為此切線11過點（2,0），所以x+y2=0.4．導數的計算。 11=2(2x0)x0x0，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=(x2)，即5x2+3xxy=x例5 求下列函數的導數：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）y=ln(x+x21)；（5）y=(12x)x(xamp。gt。0且x12)。[解] （1）y’=cos(3x+1)(3x+1)’=3cos(3x+1). (5x2+3xx)’x(5x2+3xx)(x)’y’=x2(2)230。1246。2231。10x+3247。x5x+3x+x231。247。2x248。=232。x2=5+12x3.cos2xcos2xy’=e(cos2x)’=ecos2x(sin2x)(2x)’=2esin2x. （3）y’=1x+x21(x+x21)’=（4）=12230。246。x247。231。+1231。2247。2x+x1232。x1248。 1x1 .xxln(12x)xln(12x)y’=[(12x)]’=[e]’=e(xln(12x))’ （5）2x249。233。=(12x)x234。ln(12x)5．用導數討論函數的單調性。例6 設aamp。gt。0，求函數f(x)=xln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調區(qū)間。f’(x)=12x1(x0)x+a，因為xamp。gt。0,aamp。gt。0，所以f’(x)0219。x2+(2a4)x+a2amp。gt。0；[解]f’(x)0219。x2+(2a4)x+a+amp。lt。0.（1）當aamp。gt。1時，對所有xamp。gt。0，有x2+(2a4)x+a2amp。gt。0，即f’(x)amp。gt。0,f(x)在(0,+∞)上單調遞12增；（2）當a=1時，對x≠1,有x2+(2a4)x+a2amp。gt。0，即f’(x)0，所以f(x)在（0，1）設x206。(0,)f’(x)2時，[證明] 設f(x)=sinx+tanx2x，則=cosx+sec2x2，當coxs+112coxs=co2sxco2sx2coxs2pp（因為0amp。lt。cosxamp。lt。1），所以230。p246。230。p246。10,231。247。231。0,247。20f’(x)=cosx+sec2x2=cosx+cos2x2248。上連續(xù)，所以f(x)(x)在232。230。p246。231。0,247。單調遞增，所以當x∈232。2248。時，f(x)amp。gt。f(0)=0，即sinx+tanxamp。gt。2x.。例8 設f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。[解] 因為f(x)在(0,+∞)上連續(xù)，可導，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以2236。a=,239。236。a+2b+1=0,239。3239。237。237。aa239。b=1.+4b+1=0,f’(x)=239。239。f’(1)=f’(2)=0，又6 x+2bx+1，所以238。2解得238。2121(x1)(2x)f(x)=lnxx2+x,f’(x)=x+1=363x33x所以.所以當x∈(0,1)時，f’(x)0，所以f(x)在(0,1]上遞減；當x∈(1,2)時，f’(x)0，所以f(x)在[1，2]上遞增；當x∈(2,+∞)時，f’(x)0，所以f(x)在[2，+∞）上遞減。綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。13例9 設x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數f(x,y)=(2y1)sinx+(1y)sin(1y)x的最小值。[解] 首先，當x∈[0,π],y∈[0,1]時， 233。sin(1y)x2y1sinx249。+234。2(1y)xx(1y)235。f(x,y)=(2y1)sinx+(1y)sin(1y)x=(1y)2x=(1y)2x233。sin(1y)xsinxy2sinx249。sinx+234。2xx(1y)235。(1y)x，令g(x)=x,cosx(xtanx)pg’(x)=(x185。),2 x2230。p246。x206。231。0,247。232。2248。時，因為cosxamp。gt。0,tanxamp。gt。x，所以g’(x)0； 當230。p246。x206。231。,p247。232。2248。時，因為cosxamp。lt。0,tanxamp。lt。0,xtanxamp。gt。0，所以g’(x)0； 當又因為g(x)在(0,π)上連續(xù)，所以g(x)在(0,π)上單調遞減。sin(1y)xsinx0x又因為0amp。lt。(1y)xamp。lt。xamp。lt。π，所以g[(1y)x]amp。gt。g(x)，即(1y)x， y2sinx02x又因為(1y)，所以當x∈(0,π),y∈(0,1)時，f(x,y)amp。gt。0.其次，當x=0時，f(x,y)=0；當x=π時，f(x,y)=(1y)sin(1y)π?0.當y=1時，f(x,y)=sinx+sinx=0；當y=1時，f(x,y)=sinx?0.綜上，當且僅當x=0或y=0或x=π且y=1時，f(x,y)取最小值0。 三、趨近高考【必懂】 這些高考題取自20092010年各個熱門省市，同學一定重視，在此基礎上，我會對這些高考題作以刪減，以便同學在最短時間 ) B. 2 答案 BP(x0,y0)解:設切點，則y0=x0+1,y0=ln(x0+a),又Qy’|x=x0=1=1x0+a\x0+a=1\y0=0,x0=1\a= 選B2f(x)=2f(2x)x+8x8，則曲線 f(x)2.（2009安徽卷理）已知函數在R上滿足y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是 ( )=2x1 =x =3x2 =2x+314答案 A22f(x)=2f(2x)x+8x8f(2x)=2f(x)(2x)+8(2x)8， 解析 由得幾何2/22f(x)f(2x)=x+4x4ff(x)=x即，∴∴(x)=2x，∴切線方程y1=2(x1)，即2xy1=0選A3y=x(1,0)3.（2009江西卷文）若存在過點的直線與曲線和y=ax2+15x94都相切，則a等于 ( )25217257A．1或64 B．1或4 C．4或64 D．4或7答案 A解析 設過(1,0)的直線與y=x3相切于點(x0,x30)，所以切線方程為yx30=3x20(xx0)即y=3x20x2x30，又(1,0)在切線上，則x0=0或x0=32，15當xy=ax2+0=0時，由y=0與4x9相切可得a=2564， 當x0=32時，由y=274x274與y=ax2+154x9相切可得a=1，所以選A.4.（2009遼寧卷理）若x1滿足2x+2x=5, x2滿足2x+2log2(x－1)=5, x1+x2＝ ( ) 57 答案 C解析 由題意2x+2x11=5 ①2x2+2log2(x21)=5 ②所以2x1=52x1,x1=log2(52x1)即2x1=2log2(52x1)令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)∴5－2t＝2log2(t－1)與②式比較得t＝x2于是2x1＝7－2x2151f(x)=xlnx(x0),35.（2009天津卷理）設函數