【文章內(nèi)容簡介】 nm ??? ????),( * qpnmNqpnmaaaa qpnm ???????① ),2(1 為常數(shù)dndaa nn ??? ? ② 2 11 ?? ?? nnn aaa ( 2?n ) ③ bknan ?? ( kn, 為常數(shù) ). ? 看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法： ① )0,2(1 ??? ? 且為常數(shù)qnqaa nn ② 112 ?? ?? nnn aaa ( 2?n ， 011 ??? nnn aaa )① 注 ① ： i. acb? ，是 a、 b、 c 成等比的雙非條件，即 acb? a、 b、 c 等比數(shù)列 . ii. acb? (ac＞ 0)→ 為 a、 b、 c 等比數(shù)列的充分不必要 . iii. acb ?? → 為 a、 b、 c 等比數(shù)列的必要不充分 . iv. acb ?? 且 0?ac → 為 a、 b、 c 等比數(shù)列的充要 . 注意：任意兩數(shù) a、 c 不一定有等比中項，除非有 ac＞ 0，則等比中項一定有兩個 . ③ nn cqa ? ( qc, 為非零常數(shù) ). ④ 正數(shù)列 { na }成等比的充要條件是數(shù)列 { nxalog }( 1?x )成等比數(shù)列 . ? 數(shù)列 { na }的前 n 項和 nS 與通項 na 的關系：??? ?? ???? )2()1(111 nss nasannn [注 ]： ① ? ? ? ?danddnaa n ?????? 11 1 (d 可為零也可不為零 → 為等差數(shù)列充要條件 (即常數(shù)列也是等差數(shù)列 )→ 若 d 不為 0，則是等差數(shù)列充分條件 ). ② 等差 { na }前 n 項和 ndandBnAnSn ?????? ??????????? 22 122 → 2d 可以為零也可不為 零 → 為等差的充要條件 → 若 d 為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若 d 不為零，則是等差數(shù)列的充分條件 . ③ 非零 ． ． 常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列 .(不是非零，即不可能有等比數(shù)列 ) 2. ① 等差數(shù)列依次每 k 項的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的 k2 倍..., 232 kkkkk SSSSS ?? ； ② 若等差數(shù)列的項數(shù)為 2 ? ???Nnn ，則 ，奇偶 ndSS ??1?? nnaaSS偶奇 ； ③ 若等差數(shù)列的項數(shù)為 ? ???? Nnn 12 ，則 ? ? nn anS 1212 ??? ，且 naSS ?? 偶奇 ，1??nnSS偶奇 得到所求項數(shù)到代入 12 ?? nn . 3. 常用公式： ① 1+2+3 …+ n = ? ?21?nn ② ? ?? ?6 121321 2222 ?????? nnnn? ③ ? ? 22 1321 3333 ?????? ???? nnn? [注 ]：熟悉常用通項： 9， 99， 999， … 110 ??? nna ； 5， 55， 555， … ? ?11095 ??? nna. 4. 等比數(shù)列的前 n 項 和公式的常見應用題： ? 生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題 . 例如，第一年產(chǎn)量為 a ，年增長率為 r ，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為 r?1 . 其中第 n 年產(chǎn)量為 1)1( ?? nra ，且過 n 年后總產(chǎn)量為： .)1(1 ])1([)1(...)1()1( 12 rraarararaa nn ?? ?????????? ? ? 銀行部門中按復利計算問題 . 例如：一年中每月初到銀行存 a 元，利息為 r ，每月利息按復利計算，則每月的 a 元過 n 個月后便成為 nra )1(? 元 . 因此，第二年年初可存款： )1(. . .)1()1()1( 101112 rararara ???????? = )1(1 ])1(1)[1( 12r rra ?? ??? . ? 分期付款應用題： a 為分期付款方式貸款為 a 元； m 為 m 個月將款全部付清； r 為年利率 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 11 11111......111 21 ?? ???????????????? ?? m mmmmmm r rarxrrxraxrxrxrxra 5. 數(shù)列常見的幾種形式： ? nnn qapaa ?? ?? 12 (p、 q 為二階常數(shù) )? 用特證根方法求解 . 具體步驟： ① 寫出特征方程 qPxx ??2 ( 2x 對應 2?na ， x 對應 1?na )，并設二根 21,xx ② 若 21 xx?可設 nnn xcxca 2211. ?? ，若 21 xx? 可設 nn xncca 121 )( ?? ； ③ 由初始值 21,aa 確定 21,cc . ? rPaa nn ?? ?1 (P、 r 為常數(shù) )? 用 ① 轉化等差，等比數(shù)列； ② 逐項選代； ③ 消去常數(shù) n 轉化為 nnn qaPaa ?? ?? 12 的形式，再用特征根方法求 na ； ④ 121 ??? nn Pcca (公式法 )， 21,cc 由 21,aa確定 . ① 轉化等差，等比： 1)(11 ?????????? ?? P rxxPxPaaxaPxa nnnn. ② 選代法： ?????? ?? rrPaPrPaa nnn )( 21 xPxaP rPP raa nnn ????????? ?? 1111 )(1)1(? rrPaP nn ?????? ?? Pr211 ?. ③ 用特征方程求解： ?????? ?? ?? 相減，rPaa rPaa nn nn 11 1?na 111 1 ??? ??????? nnnnnn PaaPaPaPaa ）（. ④ 由選代法推導結果： PrPP racPcaP racPrc nnn ???????????? ?? 1111 11112121 ）（，. 6. 幾種常見的數(shù)列的思想方法： ? 等差數(shù)列的前 n 項和為 nS ，在 0?d 時，有最大值 . 如何確定使 nS 取最大值時的 n 值，有兩種方法： 一是求使 0,0 1 ??? nn aa ，成立的 n 值；二是由 ndandSn )2(2 12 ???利用二次函數(shù)的性質(zhì)求 n的值 . ? 如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應項乘積，求此數(shù)列前 n 項和可依照等比數(shù)列前 n 項和的推倒導方法：錯位相減求和 . 例如： ,...21)12,...(413,211 nn ?? ? 兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差 21 dd， 的最小公倍數(shù) . 2. 判斷和證明數(shù)列是等差 (等比 )數(shù)列常有三種方法： (1)定義法 :對于 n≥2 的任意自然數(shù) ,驗證)( 11 ??? nnnn aaaa 為同一常數(shù)。 (2) 通項公式法。 (3) 中 項 公 式 法 : 驗證212 ?? ?? nnn aaa Nnaaa nnn ?? ?? )( 221 都成立。 3. 在等差數(shù)列｛ na ｝中 ,有關 Sn 的最值問題： (1)當 1a 0,d0 時 ，滿足??? ??? 001mmaa 的項數(shù) m使得 ms 取最大值 . (2)當 1a 0,d0 時，滿足??? ??? 001mmaa 的項數(shù) m 使得 ms 取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時 ,注意轉化思想的應用。 (三 )、數(shù)列求和的常用方法 1. 公式法 :適用于等差、等比數(shù)列或可轉化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。 :適用于???????1nnaac 其中 { na }是各項不為 0 的等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。 :適用于 ? ?nnba 其中 { na }是等差數(shù)列， ??nb 是各項不為 0 的等比數(shù)列。 : 類似于等差數(shù)列前 n 項和公式的推導方法 . 結論 1): 1+2+3+...+n = 2 )1( ?nn 2) 1+3+5+...+(2n1) = 2n 3) 2333 )1(2121 ?????? ????? nnn? 4) )12)(1(61321 2222 ??????? nnnn? 5) 111)1( 1 ???? nnnn )211(21)2( 1 ???? nnnn 6) )()11(11 qpqppqpq ???? 高中數(shù)學第四章 三角函數(shù) 考試內(nèi)容： 角的概念的推廣．弧度制． 任意角的三角函數(shù)．單位圓中的三角函數(shù)線．同角三角函數(shù)的基本關系式 .正弦、余弦的誘導公式． 兩角和與差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切． 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)．周期函數(shù)．函數(shù) y=Asin(ωx+φ)的圖像．正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)．已知三角函數(shù)值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 考試要求： (1)理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算． (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義 ；掌握同角三角函數(shù)的基本關系式；掌握正弦、余弦的誘導公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義． (3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． (4)能正確運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明． (5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用 ―五點法 ‖畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù) y=Asin(ωx+φ)的簡圖，理解 、 φ 的物理意義． (6)會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號 arcsinx\arccosx\arctanx 表示． (7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形． (8)―同角三角函數(shù)基本關系式： sin2α+cos2α=1， sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1‖． 167。04. 三三 角角 函函 數(shù)數(shù) 知知 識識 要要 點點 1. ① 與 ? (0176?！?? ＜ 360176。) 終 邊 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 與角 ? 的終邊重合 ) ：? ?Zkk ???? ,360| ??? ? ② 終邊在 x 軸上的角的集合： ? ?Zkk ??? ,1 80| ??? ③ 終邊在 y 軸上的角的集合： ? ?Zkk ???? ,901 8 0| ???? ④ 終邊在坐標軸上的角的集合： ? ?Zkk ??? ,90| ??? ⑤ 終邊在 y=x 軸上的角的集合： ? ?Zkk ???? ,451 8 0| ???? ⑥ 終邊在 xy ?? 軸上的角的集合： ? ?Zkk ???? ,451 8 0| ???? ⑦ 若角 ? 與角 ? 的終邊關于 x 軸對稱，則角 ? 與角 ? 的關系： ?? ?? k?360 yx▲S IN \ COS 三角函數(shù)值大小關系圖sin xc osx1 、 2 、 3 、 4 表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域123412 34sin xsin x sin xc osxc osxc osx⑧ 若角 ? 與角 ? 的終邊關于 y 軸對稱，則角 ? 與角 ? 的關系： ?? ??? ?? 180360 k ⑨ 若角 ? 與角 ? 的終邊在一條直線上，則角 ? 與角 ? 的關系： ?? ?? k?180 ⑩ 角 ? 與角 ? 的終邊互相垂直，則角 ? 與角 ? 的關系： ?? 90360 ??? ?? k 2. 角度與弧度的互換關系： 360176。=2? 180176。=? 1176。= 1=176。=57176。18′ 注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零 . 、弧度與角度互換公式： 1rad＝?180176。≈176。=57176。18ˊ． 1176。＝180?≈(rad) 弧長公式： rl ?? ||? . 扇形面積公式： 211||22s lr r?? ? ?扇 形 三角函數(shù)：設 ? 是一個任意角，在 ? 的終邊上任取 (異于原點的 )一點 P(x,y)P 與原點的距離為 r，則 ry??sin； rx??cos； xy??tan； yx??cot； xr??sec； . yr??csc. 三角函數(shù)在各象限的符號： (一全二正弦，三切四余弦 ) 正切 、 余切余弦 、 正割 ++++++正弦 、 余割o ooxyxyxy 三角函數(shù)線 正弦線： MP。 余弦 線： OM。 正切線： AT. 7. 三角函數(shù)的定義域： 三角函數(shù) 定義域 ?)(xf sinx ? ?Rxx ?| ?)(xf cosx ? ?Rxx ?| ?)(xf tanx ?????? ???? ZkkxRxx ,21| ??且 ?)(xf cotx ? ?ZkkxRxx ??? ,| ?且 ?)(xf secx ?????? ???? Zk