二次函數(shù)abc判定(編輯修改稿)
2025-06-12 01:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 c的頂點為D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數(shù)根．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ?。?A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點專題： 數(shù)形結(jié)合．分析： 由拋物線與x軸有兩個交點得到b2﹣4ac＞0；有拋物線頂點坐標(biāo)得到拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，則根據(jù)拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，所以當(dāng)x=1時，y＜0，則a+b+c＜0；由拋物線的頂點為D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1得b=2a，所以c﹣a=2；根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題，當(dāng)x=﹣1時，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x=1時，ax2+bx+c=2，所以說方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數(shù)根．解答： 解：∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，所以①錯誤；∵頂點為D（﹣1，2），∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，∵拋物線與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，∴拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，∴當(dāng)x=1時，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正確；∵拋物線的頂點為D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正確；∵當(dāng)x=﹣1時，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x=1時，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數(shù)根，所以④正確．故選C．點評： 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=﹣；拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b2﹣4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)b2﹣4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當(dāng)b2﹣4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．12.（2014?菏澤第8題3分）如圖，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的頂點D、F分別在AC、BC邊上，C、D兩點不重合，設(shè)CD的長度為x，△ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y，則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（ ） A． B． C． D． 考點： 動點問題的函數(shù)圖象．專題： 數(shù)形結(jié)合．分析： 分類討論：當(dāng)0＜x≤1時，根據(jù)正方形的面積公式得到y(tǒng)=x2；當(dāng)1＜x≤2時，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重疊的面積等于正方形的面積減去等腰直角三角形MNE的面積得到y(tǒng)=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y(tǒng)=﹣（x﹣2）2+2，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各選項進行判斷．解答： 解：當(dāng)0＜x≤1時，y=x2，當(dāng)1＜x≤2時，ED交AB于M，EF交AB于N，如圖，CD=x，則AD=2﹣x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM為等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，∴y=，故選A．15.（2014年山東泰安，第20題3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的x與y的部分對應(yīng)值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列結(jié)論：（1）ac＜0；（2）當(dāng)x＞1時，y的值隨x值的增大而減?。?）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一個根；（4）當(dāng)﹣1＜x＜3時，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正確的個數(shù)為（ ?。．4個 B． 3個 C． 2個 D． 1個分析：根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．解：由圖表中數(shù)據(jù)可得出：x=1時，y=5值最大，所以二次函數(shù)y=ax2+bx+c開口向下，a＜0；又x=0時，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正確；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c開口向下，且對稱軸為x==，∴當(dāng)x＞，y的值隨x值的增大而減小，故（2）錯誤；∵x=3時，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一個根，故（3）正確；∵x=﹣1時，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1時，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3時，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函數(shù)有最大值，∴當(dāng)﹣1＜x＜3時，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正確．故選B．點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與不等式，有一定難度．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 5. （2014?貴港，第12題3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，分析下列四個結(jié)論：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正確的結(jié)論有（ ?。〢． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．分析： ①由拋物線的開口方向，拋物線與y軸交點的位置、對稱軸即可確定a、b、c的符號，即得abc的符號；②由拋物線與x軸有兩個交點判斷即可；③f（﹣2）+2f（1）=6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因為a＜0，所以3a+c＜0．故錯誤；④將x=1代入拋物線解析式得到a+b+c＜0，再將x=﹣1代入拋物線解析式得到a﹣b+c＞0，兩個不等式相乘，根據(jù)兩數(shù)相乘異號得負的取符號法則及平方差公式變形后，得到（a+c）2＜b2，解答： 解：①由開口向下，可得a＜0，又由拋物線與y軸交于正半軸，可得c＞0，然后由對稱軸在y軸左側(cè)，得到b與a同號，則可得b＜0，abc＞0，故①錯誤；②由拋物線與x軸有兩個交點，可得b2﹣4ac＞0，故②正確；③當(dāng)x=﹣2時，y＜0，即4a﹣2b+c＜0 （1）當(dāng)x=1時，y＜0，即a+b+c＜0 （2）（1）+（2）2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③錯誤；④∵x=1時，y=a+b+c＜0，x=﹣1時，y=a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有2個．故選：B．點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定．11.（2014?廣東深圳，第11題3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象如圖，下列正確的個數(shù)為（ ?。賐c＞0；②2a﹣3c＜0；
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