小波分析基礎(chǔ)ppt課件(編輯修改稿)
2025-06-08 07:55 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )空間。q 在 V0子空間找一個(gè)函數(shù) g(t)， 其平移 {g(tk)}k ?Z構(gòu)成 V0子空間的Riesz基。q對(duì)函數(shù) g(t)進(jìn)行正交化，得到函數(shù)稱為正交尺度函數(shù) ?(t)。q由 ?(t)計(jì)算出小波函數(shù) ?(t)。多分辨分析、多分辨分析 (MRA)的概念的概念 [5]()CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversityRiesz基定義 令 H是 Hilbert空間， H中的一個(gè)序列 {gj}j?Z是 Riesz基，如果它滿足以下的條件：A和 B分別稱為 Riesz基的 上下界， Riesz基又 稱為穩(wěn)定基。()()CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity定義 1 空間 L2(R )中的多分辨分析是指 L2(R )中的滿足如下條件的一個(gè)子空間序列 CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity多 分辨空間的關(guān)系可用下圖來(lái)形象地說(shuō)明。CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity如果 {g(tk)}k?Z是 V0的 Riesz基，可通過(guò)正交化得到 V0空間的函數(shù) ?(t)?V0， 使得 {?(tk)}k?Z構(gòu)成 V0空間的規(guī)范正交基。由伸縮性和平移不變性可知， {?j,k(t)}j,k?Z構(gòu)成 Vj空間的一個(gè)規(guī)范正交基。于是()()CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity注意： ?(t)并不是 L2(R )空間的小波函數(shù)，而是與其緊密相關(guān)的尺度函數(shù)， {?j,k(t)}j,k?Z稱為尺度基，多分辨空間序列{Vj}j?Z稱為尺度空間，在 MRA意義下，可由尺度基導(dǎo)出小波基。由 MRA的單調(diào)性可以看出： Vj是 Vj+1的 嚴(yán)格子空間，設(shè) Wj是 Vj關(guān)于 Vj+1的 正交補(bǔ) (子空間 )，即()CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity對(duì)于一幅圖像，量化級(jí)數(shù)決定了圖像的分辨率，量化級(jí)數(shù)越高，圖像就越清晰，即圖像的分辨率高。對(duì)于任意一幅圖像，都可以用不同的量化空間來(lái)表示，細(xì)節(jié)比較豐富的部分用高分辨率來(lái)表示，細(xì)節(jié)比較單一的部分可用低分辨率來(lái)表示。我們可以將不同的量化級(jí)數(shù)構(gòu)成的空間看成不同的多分辨空間 Vj， 顯然這些量化空間是相互嵌套的，()CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity從圖像處理的角度，多分辨空間的分解可以理解為圖像的分解，假設(shè)有一幅 256級(jí)量化的圖像，不妨將它看成量化空間 Vj中的圖像，則 可理解為 Vj空間中的圖像有一部分保留在 Vj1空間中，還有一部分放在 Wj1空間， 如圖所示如圖所示 。與尺度函數(shù)的產(chǎn)生一樣，若存在 ?(t)?W0， 使得 {?(tk)}k?Z構(gòu)成空間 W0的一個(gè)規(guī)范正交基，則構(gòu)成 L2(R)空間的一個(gè)規(guī)范正交基。 稱為小波基， ?(t)稱為母小波。()SKIPCollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversityVjWj1 Vj1RETURNCollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversityMRA非常抽象，但是它給出了構(gòu)造小波的一般框架。在實(shí)踐中很難通過(guò)小波空間直接構(gòu)造小波，但通過(guò) MRA可推導(dǎo)出一個(gè)非常重要的關(guān)系：雙尺度方程，通過(guò)求解該方程，使我們有可能求出尺度函數(shù)和小波函數(shù)。雙尺度方程、雙尺度方程由前面的分析，我們知道：()()CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity方程 ()和 ()稱為雙尺度方程。由 ?(t)的正交性可得：對(duì) 雙尺度方程兩邊取傅立葉變換，可得頻域上的的雙尺度方程：()()()()CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity()()從 信號(hào)處理的角度， h是與 ?(t)對(duì)應(yīng)的低通濾波器， g是與 ?(t)對(duì)應(yīng)的高同濾波器， {h， g}既可以表示為時(shí)域上的離散序列形式{hk， gk}k?Z， 也可以表示為頻域上的 2?周期函數(shù) {h (?)， g(?)}。兩者本質(zhì)上是一樣的。CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity若 k0和 kN時(shí)， hk=0， 這樣的濾波器稱為有限脈沖響應(yīng)濾波器(FIR)， FIR濾波器具有好的局部化特性。此時(shí)， ?(t)只在有限區(qū)間 [0， N]上取值，所以 ?(t)是緊支的，其支集 supp=[0， N]， ()式變?yōu)椋?)此時(shí) ?(t)也是緊支的。所以只要濾波器的長(zhǎng)度是有限的，我們稱對(duì)應(yīng)的小波 ?(t)是緊支小波。 CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity由 ()式得：()()CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity結(jié)論：結(jié)論： 只要找到滿足雙尺度方程 ()的序列 {hk}k?Z， 通過(guò)公式()就可以計(jì)算出 2?周期函數(shù) h (?)， 再由 公式 ()就可以計(jì)算出 ，經(jīng)過(guò)傅立葉反變換，最終可得尺度函數(shù) ?(t)， 有了尺度函數(shù)就可以計(jì)算出小波函數(shù) ?(t)通過(guò)解雙尺度方程 ()，我們希望得到滿足 MRA的尺度函數(shù) ?(t) ， 并最終構(gòu)造出小波函數(shù) ?(t)， 但有兩個(gè)問(wèn)題必須解決：?jiǎn)栴}問(wèn)題 1：： 雙尺度方程 ()是否有解？解的唯一性如何？問(wèn)題問(wèn)題 2：： 雙尺度方程 ()的解是否滿足 MRA？關(guān)于問(wèn)題 1， I.Daubechies和 L
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