【文章內(nèi)容簡介】 稱為第二代小波。這兒的關鍵問題是平移與伸縮并不是屬性P1P3所必須的，放棄平移和伸縮，隱含著傅里葉變換不能再用作構造工具。下面介紹利用提升方案構造第二代小波的方法。 考慮信號，把X分成二個不相交的集合：偶下標采樣和奇下標采樣，通常情況下這兩個集合是緊密相關的，因而從一個集合能很好地建立另一個集合的預測P ()知道了d和奇采樣值，可立即恢復信號 ()若P性能好，則d將是一個稀疏集，換言之，我們期望d的一階熵小于的。令 取 ()利用相鄰兩偶采樣對奇采樣進行預測，記下差值 ()若信號是相關的，則大多數(shù)小波系數(shù)將很小。在理論上，我們可以繼續(xù)通過對施加以上操作，然而，上述簡單的操作性能并不好，為此引入另一個條件，即希望系數(shù)的平均值在每一次分解時保持一致，或者說使，此前所進行的下采樣很顯然不具有這種特點，我們可通過借助于對進行提升來實現(xiàn)這點： () 現(xiàn)在，每一級小波變換由兩步構成：首先計算小波系數(shù)，其次提升下采樣系數(shù)。逆變換可立即得到：只需把式()中的加號換成減號，再把式()的等式中的項作一下移動即可。： (a) 小波系數(shù)的幾何含義… … 1/2 1/2 1/2 1/2 … … 1/4 1/4 1/4 1/4 … …(b) 分解過程 提升方案示意圖 ，在進行小波變換時，可進行同址運算，即不需要輔助存儲器，這對硬件實現(xiàn)十分有利。下面的定理給出提升方案的一般方法。 給定雙正交濾波器算子的初始集合，那么可通過如下方法獲得一個新的雙正交濾波器算子集式中是一個從到的算子。證明：利用矩陣形式表示提升方案因為 有 根據(jù)雙正交濾波器的定義有所以 ()另外 ()根據(jù)定義，滿足式()()兩式的即為雙正交濾波器。 證畢。 把小波變換分解成基本的提升步驟[6] 已經(jīng)證明所有FIR小波濾波器都有能分解成基本的提升步驟[6]。用矩陣表示時，一個提升步驟對應一個單元(elementary)矩陣。分解的基本理論依據(jù)是矩陣代數(shù)，根據(jù)矩陣代數(shù)，任何具有多項式元素項且行列式為1的矩陣都可以分解成一系列的單元矩陣。 首先把求自然數(shù)的最大公約數(shù)的Euclidean算法推廣到求兩個多項式的最大公因子。兩個多項式的公因子取決于因子,而且與自然數(shù)不同的是，在多項式的情形下，解并不是唯一的。 （多項式的Euclidean 算法）。設有兩個多項式和，而且。令，從i=0開始循環(huán)執(zhí)行以下步驟那么，如果n是使得的最小數(shù)。 定理中定義為：若，則。用矩陣形式表示為相應地式中。這樣，能整除、如果是一個單項式的話，那么是互素的。 為了把FIR小波濾波器(h, g)分解成基本的提升步驟，我們首先注意到必須是互素的[78]，而且，利用公約數(shù)的不唯一性，總是可以使公約數(shù)為常量K，即對于給定的濾波器h，通過如下操作，總可以找到一個互補濾波器，即令 ()在式()中 ()當i為奇時使用式()的第一個等式，當i為偶時使用第二個等式，有 ()通過一個提升步驟可獲得濾波器g，由以上分析可得如下定理 給定互補濾波器對(h, g)，那么總是存在多項式和，以及一個常量K，使得與對偶濾波器對相關的多相(polyphase)矩陣為在正交小波濾波器時有，這就對應著兩種不同的分解，也就是說，把FIR小波濾波器分解成基本的提升步驟時，分解是不唯一的。 ： 2 1 … 1/K LP z 1 2 … K HP(a)利用提升方案進行的小波分解示意圖 LP K + … + 1 2 + HP 1/K + … + 1 2 (b) 利用提升方案進行的小波重構示意圖 利用提升方案進行分解與重構 作為例子，下面給出對具有兩階消失矩的D4正交小波的分解：其中多相矩陣是因式分解是 ()使用式()作為P(z)的分解，則分析用的多相矩陣為由此可得小波分解算法由分解算法，通過反向進行操作，并改變相應的符號可得重構算法 利用提升方案進行小波變換具有可進行同址運算優(yōu)點，這樣在具體實現(xiàn)時可省去大量在存貯器開銷，在進行圖像處理時，這個優(yōu)點更為明顯。它的另一個優(yōu)點是可提高小波變換的速度。所以把現(xiàn)存的有限長小波濾波器分解成基本的提升步驟，可加快小波變換的進行，根據(jù)Daubechies的分析，隨濾波器長度的增加，運算速度趨于常規(guī)小波變換的2倍，換言之，在同等的硬件條件下，對一維小波變換而言，運算時間降低一半，對二維小波變換則降為原來的四分之一。這個優(yōu)點在實時性要求比較高的場合有很大的實用價值。 整數(shù)小波變換[13] 提升方案為擴展小波變換的應用領域提供了更多的靈活性。常規(guī)的小波變換都是采用浮點運算的，但利用提升方案所帶來的便利，可十分方便地構造整數(shù)到整數(shù)的小波變換。將整數(shù)小波變換用于圖像壓縮就可以用小波變換進行無失真的圖像壓縮。 最早的整數(shù)到整數(shù)小波變換是S變換，是哈爾（Haar）變換的整數(shù)形式： ()Said和Pearlman提出了S+P( tranSform + Prediction)，就是在S變換之后，利用低通濾波器的系數(shù)來產(chǎn)生一個新的高通濾波器系數(shù)，它的一般形式是： ()式中。 S和S+P變換的逆變換由式()、()把執(zhí)行順序變動一下，再改變一下相關項的符號就可以獲得。 通常小波濾波器的系數(shù)都是浮點數(shù)，只能把整數(shù)映射成浮點數(shù)，要進行無失真變換，必須構造把整數(shù)映射成整數(shù)的小波變換，提升方案（Lifting scheme）為此提供了一種有效的方法，所有正交或雙正交小波濾波器，用提升方案進行分解后，都可用與S+P類似的方式來構造變換的整數(shù)版本。 用提升方案構造小波變換有如下優(yōu)點： 1） 同址計算：即不需要輔助存儲器，原信號（圖像）可被小波變換的結果覆蓋。2） 更快的小波變換：傳統(tǒng)上，快速小波變換首先把信號分解成高通和低通成份，并進行下抽樣，然后對低通成份重復進行該過程直到所需要的變換級數(shù)。提升方案可把變換速度提高1倍。3） 不需借助傅氏分析便可獲得逆變換。實際上，只要簡單地調(diào)整一下正變換中的正負號即可。此優(yōu)點使得不需要很強的傅氏分析的背景便可理解小波的特性和小波變換。 S變換的逆變換非常容易得到： ()。 可逆整數(shù)小波變換NameWavelet Transform(4,4)(2+2,2)D4(9,7) 表中(4,4)表示分析小波和綜合小波的消失矩(Vanishing Moments)均為4。(2+2,2)表示通過一個額外的提升步驟使(2,2)變換的消失矩增加到4。D4是常見的4系數(shù)緊支撐Daubechies正交小波變換的整數(shù)變換形式。(9,7)是常用于圖像壓縮的7/9小波變換的整數(shù)形式，它的分析和綜合濾波器的消失矩也都為4。 小波變換圖像編碼的基本框架 當前所有常規(guī)小波編碼器都是變換編碼形式，主要由三部分構成：解相關變換過程、量化過程和熵編碼過程,下面分別進行描述。 解相關變換過程 首先要解決的問題是小波基的選擇。但是，對于圖像編碼，很難確定哪種小波基是最優(yōu)的，因為諸如光滑性、小波基支撐的尺寸以及頻率選擇性等指標都很重要，在不同的要求下會產(chǎn)生不同的結果。另外，現(xiàn)在幾乎所有的小波編碼器采用的都是可分離二維小波變換，這使得可把二維小波基的設計轉化為一維小波基本的設計，由于可分離性所具有的局限，有理由認為不可分離二維小波基將更為有效。 在最優(yōu)基的選擇方面，研究者們已經(jīng)做了大量的工作。Unser[14]的研究表明樣條小波對基于近似理論的編碼應用較為有效。Rioul[15]的實驗結果說明在壓縮應用中，正交基的光滑性比較重要。Antonini等人[16]的實驗表明光滑性和消失矩都很重要，而且光滑性顯得比消失矩要稍微重要一些。Vetterli和Herley[17]又指出“正則性對信號處理的重要性如何仍然是一個公開問題(An Open Question)”。實際中常使用的小波基介于一階和二階連續(xù)可微，更多的光滑性似乎并不能對編碼產(chǎn)生明顯的改善。 Billasenor等人系統(tǒng)地研究了所有長度不大于36的雙正交小波濾波器組的性能，結果表明7/9小波濾波器性能最好[18]。該濾波器正是在實際中應用最廣泛的一種。然而在應用雙正交小波基時要注意，與正交小波基不同，它在變換域的平方誤差與圖像域的平方誤差并不相等，也就是說在進行量化時，在變換域使平方誤差最小并不能保證在圖像域也是最小的。 另一個重要問題是邊界的處理。由于實際的圖像都是有限尺寸的，在把濾波器應用于邊界時，簡單的周期擴展或者加零都會由于引入了不連