【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 方程為由圖知： 圖1211用旋轉(zhuǎn)矢量法（見上頁圖）可知， （或 ） 例125：彈簧振子在光滑的水平面上做諧振動(dòng)，為振幅，時(shí)刻情況如圖所示。O 為原點(diǎn)。試求各種情況下初相。 圖1212167。124 諧振動(dòng)的能量對(duì)于彈簧振子，系統(tǒng)的能量=（物體動(dòng)能）+（彈簧勢(shì)能）已知： 物體位移 物體速度 （118）說明：（1）雖然、均隨時(shí)間變化，但總能量且為常數(shù)。原因是系統(tǒng)只有保守力作功，機(jī)械能要守恒。（2）與互相轉(zhuǎn)化。當(dāng)時(shí)。在處。例126：一物體連在彈簧一端在水平面上做諧振動(dòng)，振幅為。試求的位置。解：設(shè)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為，系統(tǒng)總能量為在時(shí)，有 ∴例127：如圖所示系統(tǒng)，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，物塊，物塊，與間最大靜摩擦系數(shù)為，與地面間是光滑的?，F(xiàn)將物塊拉離平衡位置，然后任其自由振動(dòng)，使在振動(dòng)中不致從上滑落，問系統(tǒng)所能具有的最大振動(dòng)能量是多少。解：系統(tǒng)的總能量為（此時(shí)）不致從上滑落時(shí)，須有 圖1213 極限情況 即 167。125 同方向同頻率兩諧振動(dòng)合成一個(gè)物體可以同時(shí)參與兩個(gè)或兩個(gè)以上的振動(dòng)。如：在有彈簧支撐的車廂中，人坐在車廂的彈簧墊子上，當(dāng)車廂振動(dòng)時(shí)，人便參與兩個(gè)振動(dòng)，一個(gè)為人對(duì)車廂的振動(dòng)，另一個(gè)為車廂對(duì)地的振動(dòng)。又如：兩個(gè)聲源發(fā)出的聲波同時(shí)傳播到空氣中某點(diǎn)時(shí)，由于每一聲波都在該點(diǎn)引起一個(gè)振動(dòng)，所以該質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)振動(dòng)。在此，我們考慮一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線的同頻率的振動(dòng)。取振動(dòng)所在直線為x軸，平衡位置為原點(diǎn)。振動(dòng)方程為、分別表示第一個(gè)振動(dòng)和第二個(gè)振動(dòng)的振幅；、分別表示第一個(gè)振動(dòng)和第二個(gè)振動(dòng)的初相。是兩振動(dòng)的角頻率。由于、表示同一直線上距同一平衡位置的位移，所以合成振動(dòng)的位移在同一直線上，而且等于上述兩分振動(dòng)位移的代數(shù)和，即為簡(jiǎn)單起見，用旋轉(zhuǎn)矢量法求分振動(dòng)。 圖1214 圖1215如圖所示，時(shí)，兩振動(dòng)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量為、合矢量為?！?、以相同角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，∴轉(zhuǎn)動(dòng)過程中與間夾角不變，可知大小不變，并且也以轉(zhuǎn)動(dòng)。任意時(shí)刻，矢端在x軸上的投影為：因此，合矢量即為合振動(dòng)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量，為合振動(dòng)振幅，為合振動(dòng)初相。合振動(dòng)方程為：（仍為諧振動(dòng)）由圖中三角形知： （129） 由圖中三角形知： （1210）討論：（1） 時(shí)（稱為位相相同） （2） 時(shí)（稱為位相相反） 例128：有兩個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，其合成振動(dòng)的振幅為，位相與第一振動(dòng)的位相差為，若第一振動(dòng)的振幅為，用振幅矢量法求第二振動(dòng)的振幅及第一、第二兩振動(dòng)位相差。解：（1） （2）∵ ∴ 圖1216例119：一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與三個(gè)同方向同頻率的諧振動(dòng)，他們的振動(dòng)方程分別為，，試用振幅矢量方法求合振動(dòng)方程。解：如左圖，（、構(gòu)成一等腰梯形） 圖1217第十三章 機(jī)械波167。131 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播一、常見機(jī)械波現(xiàn)象水面波。把一塊石頭投在靜止的水面上，可見到石頭落水處水發(fā)生振動(dòng)，此處振動(dòng)引起附近水的振動(dòng)，附近水的振動(dòng)又引起更遠(yuǎn)處水的振動(dòng)，這樣水的振動(dòng)就從石頭落點(diǎn)處向外傳播開了，形成了水面波。繩波。繩的一端固定，另一端用手拉緊并使之上下振動(dòng)，這端的振動(dòng)引起鄰近點(diǎn)振動(dòng)，鄰近點(diǎn)的振動(dòng)又引起更遠(yuǎn)點(diǎn)的振動(dòng)，這樣振動(dòng)就由繩的一端向另一端傳播，形成了繩波。聲波。當(dāng)音叉振動(dòng)時(shí)，它的振動(dòng)引起附近空氣的振動(dòng)，附近空氣的振動(dòng)又引起更遠(yuǎn)處空氣的振動(dòng)，這樣振動(dòng)就在空氣中傳播，形成了聲波。二、機(jī)械波產(chǎn)生的條件兩個(gè)條件 波源。如上述水面波波源是石頭落水處的水；繩波波源是手拉繩的振動(dòng)端；聲波波源是音叉。傳播介質(zhì)。如：水面波的傳播介質(zhì)是水；繩波的傳播介質(zhì)是繩；聲波的傳播介質(zhì)是空氣。說明：波動(dòng)不是物質(zhì)的傳播而是振動(dòng)狀態(tài)的傳播。三、橫波與縱波橫波：振動(dòng)方向與波動(dòng)傳播方向垂直。如 繩波?？v波：(1)氣體、液體內(nèi)只能傳播縱波，而固體內(nèi)既能傳播縱波又能傳播橫波。(2)水面波是一種復(fù)雜的波，使振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)回復(fù)到平衡位置的力不是一般彈性力，而是重力和表面張力。(3）一般復(fù)雜的波可以分解成橫波和縱波一起研究。四、關(guān)于波動(dòng)的幾個(gè)概念波線：沿波傳播方向帶箭頭的線。同相面（波面）：振動(dòng)位相相同點(diǎn)連成的曲面。同一時(shí)刻，同相面有任意多個(gè)。波陣面（或波前）：某一時(shí)刻，波源最初振動(dòng)狀態(tài)傳播到的各點(diǎn)連成的面稱為波陣面或波前，顯然它是同相面的一個(gè)特例，它是離波源最遠(yuǎn)的那個(gè)同相面，任一時(shí)刻只有一個(gè)波陣面。（或：傳播在最前面的那個(gè)同相面）平面波與球面波(1)平面波：波陣面為平面。(2)球面波：波陣面為球面。 圖131 *：在各向同性的介質(zhì)中波線與波陣面垂直。167。132 波長(zhǎng)、波的周期和頻率 波速波長(zhǎng)、波的周期、波的頻率、波速是波動(dòng)過程中的重要物理量，分述如下：一、波長(zhǎng)波長(zhǎng):同一波線上位相差為的二質(zhì)點(diǎn)間的距離（即一完整波的長(zhǎng)度）。在橫波情況下，波長(zhǎng)可用相鄰波峰或相鄰波谷之間的距離表示。如下圖。在縱波情況下，波長(zhǎng)可用相鄰的密集部分中心或相鄰的稀疏部分中心之間的距離表示。二、波的周期 圖132 波的周期: 波前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)距離所用的時(shí)間（或一個(gè)完整波形通過波線上某點(diǎn)所需要的時(shí)間）波動(dòng)頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離中包含的完整波形數(shù)目。可有 （131）說明：由波的形成過程可知，振源振動(dòng)時(shí)，經(jīng)過一個(gè)振動(dòng)周期，波沿波線傳出一個(gè)完整的波形，所以，波的傳播周期（或頻率）=波源的振動(dòng)周期（或頻率）。由此可知，波在不同的介質(zhì)中其傳播周期（或頻率）不變。三、波速波速：某一振動(dòng)狀態(tài)在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離（單位時(shí)間內(nèi)波傳播的距離）?？捎? （132）對(duì)彈性波而言，波的傳播速度決定于介質(zhì)的慣性和彈性，具體地說，就是決定于介質(zhì)的質(zhì)量密度和彈性模量，而與波源無關(guān)。橫波在固體中傳播速度為：縱波速度為：（液、氣、固體中）對(duì)大多數(shù)金屬，∴式中 ：固體切變彈性模量：介質(zhì)的體積彈性模量：楊氏彈性模量：介質(zhì)質(zhì)量密度說明：波動(dòng)速度與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度是不同的物理量。167。133 平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程一、簡(jiǎn)諧波及波動(dòng)方程 簡(jiǎn)諧波：當(dāng)波源作諧振動(dòng)時(shí)，介質(zhì)中各點(diǎn)也都作諧振動(dòng)，此時(shí)形成的波稱為簡(jiǎn)諧波。又叫余弦波或正弦波。一般地說，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)是很復(fù)雜的，所以由此產(chǎn)生的波動(dòng)也是很復(fù)雜的，但是可以證明，任何復(fù)雜的波都可以看作是由若干個(gè)簡(jiǎn)諧波迭加而成的。因此，討論簡(jiǎn)諧波就有著特別重要的意義。 簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程：設(shè)任一質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)刻位移為，則關(guān)系即為波動(dòng)方程。二、波動(dòng)方程建立如圖所示，諧振動(dòng)沿+x方向傳播，∵與x軸垂直的平面均為同相面，∴任一個(gè)同相面上質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)可用該平面與x軸交點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)來描述，因此整個(gè)介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)研究可簡(jiǎn)化成只研究x軸上質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)就行了，設(shè)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程為式中，為振幅，為角頻率，稱為初相。圖133設(shè)振動(dòng)傳播過程中振幅不變（即介質(zhì)是均勻無限大，無吸收的）為了找出波動(dòng)過程中任一質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位移，我們?cè)趏x軸上任取一點(diǎn)p，坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)振動(dòng)從o處傳播到p處時(shí)，p處質(zhì)點(diǎn)將重復(fù)o處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)。∵振動(dòng)從o傳播到p所用時(shí)間為，所以，p點(diǎn)在時(shí)刻的位移與o點(diǎn)在時(shí)刻的位移相等，由此時(shí)刻p處質(zhì)點(diǎn)位移為 （133）同理，當(dāng)波沿x方向傳播時(shí)，時(shí)刻p處質(zhì)點(diǎn)位移為 （134）利用 由式（133）、（134）有 （135）式（135）中，“”表示波沿+x方向傳播；“+”表示波沿x方向傳播。（為方便，下標(biāo)省略）。式（135）稱為平面簡(jiǎn)諧波方程。根據(jù)位相（或）關(guān)系，式（135）又可化為 （136）注意：（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)初相不一定為0；（2）波源不一定在原點(diǎn)，因?yàn)樽鴺?biāo)是任取的。三、波動(dòng)方程的物理意義均變化時(shí)，表示波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移。為波動(dòng)方程。時(shí)，表示處質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻位移。波動(dòng)方程變成了處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程。時(shí)，表示時(shí)刻波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)位移。波動(dòng)方程變成了時(shí)刻的波形方程。均一定，表示時(shí)刻坐標(biāo)為處質(zhì)點(diǎn)位移。例131：橫波在弦上傳播，波動(dòng)方程為 (SI)求：（1）（2）畫出時(shí)波形圖。解：（1） 此題波動(dòng)方程可化為由上比較知： 另外：求可從物理意義上求（a）=同一波線上位相差為的二質(zhì)點(diǎn)間距離設(shè)二質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為xx2（設(shè)x2 x1），有，得（b）=某一振動(dòng)狀態(tài)在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離。設(shè)時(shí)刻某振動(dòng)狀態(tài)在處，時(shí)刻該振動(dòng)狀態(tài)傳到處，有 ，得（2）一種方法由波形方程來作圖（描點(diǎn)法），這樣做麻煩。此題可這樣做：畫出時(shí)波形圖，根據(jù)波傳播的距離再得出相應(yīng)時(shí)刻的波形圖（波形平移）。平移距離圖134例132：一平面簡(jiǎn)諧波沿+x方向傳播，波速為，在傳播路徑的A點(diǎn)處，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程為 (SI)，試以A、B、C為原點(diǎn)，求波動(dòng)方程。圖135解：（1），以A為原點(diǎn)，波動(dòng)方程為 (SI)（2）以B為原點(diǎn) (SI)（B處質(zhì)點(diǎn)初相為）波動(dòng)方程為：即 (SI)（3）以C為原點(diǎn) (SI)（C處初相為）波動(dòng)方程為：即 (SI)強(qiáng)調(diào)：（1）建立波動(dòng)方程的程序（2）位相中加入的含義例133：一連續(xù)縱波沿+x方向傳播，頻率為，波線上相鄰密集部分中心之距離為24cm，某質(zhì)點(diǎn)最大位移為3cm。原點(diǎn)取在波源處，且時(shí)，波源位移=0，并向+y方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）波源振動(dòng)方程；（2）波動(dòng)方程；（3）時(shí)波形方程；（4）處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程；（5）與處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的位相差。解：（1）設(shè)波源波動(dòng)方程為可知： 由旋轉(zhuǎn)矢量知：∴ (SI)（2）波動(dòng)方程為： (SI)（3）時(shí)波形方程為： (SI)（4）處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程為 (SI)（5）所求位相差為：，x1處質(zhì)點(diǎn)位相超前。強(qiáng)調(diào)：（1）波源初相不一定=0（2）的含義例134：一平面余弦波在時(shí)波形圖如下，（1）畫出時(shí)波形圖；（2）求O點(diǎn)振動(dòng)方程；（3）求波動(dòng)方程。解：（1）時(shí)波形圖即把時(shí)波形自X方向平移個(gè)周期即可，見上圖中下面的結(jié)果。（2）設(shè)O處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程為可知： 時(shí)，O處質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向下振動(dòng)，由旋轉(zhuǎn)矢量圖知， 圖136 （3）波動(dòng)方程為：即 注意：由波形圖建立波動(dòng)方程的程序。167。134波的能量 能流密度波的傳播過程就是振動(dòng)的傳播過程。波到哪里，哪里的介質(zhì)就要發(fā)生振動(dòng)，因而具有動(dòng)能；同時(shí)由于介質(zhì)元的變形，因而具有勢(shì)能，因此波傳到哪里，哪里就有機(jī)械能。這些機(jī)械能來自于波源?？梢?，波的傳播過程即是振動(dòng)的傳播過程，又是能量傳遞過程。在不傳遞介質(zhì)的情況下而傳遞能量是波動(dòng)的基本性質(zhì)。一、波的能量下面以簡(jiǎn)諧縱波在一棒中沿棒長(zhǎng)方向傳播為例，推導(dǎo)出波的能量公式。如圖所示，取x軸沿棒長(zhǎng)方向，設(shè)波動(dòng)方程為在波動(dòng)過程中，棒中每一小段將不斷地壓縮和拉伸。 圖137在棒上任取一體積元BC，體積，棒在平衡位置時(shí)，B、C坐標(biāo)分別為，即BC長(zhǎng)為。設(shè)棒的橫截面積為，質(zhì)量密度為，體積元能量為動(dòng)能勢(shì)能設(shè)時(shí)刻，A、B端位移分別為、∴體積元伸長(zhǎng)量為。設(shè)在體積元端面上由于形變產(chǎn)生的彈性恢復(fù)力大小為，可知，協(xié)強(qiáng)為，協(xié)變?yōu)?，由楊氏彈性模量定義有：（為楊氏彈性模量）按胡克定律，在彈性限度內(nèi)彈性恢復(fù)力值為由上二式有： ∵ ∴∵∴應(yīng)寫成，可有 可得 （137）討論：（1）任一時(shí)刻體積元?jiǎng)幽芘c其勢(shì)能總是相等，（2）波動(dòng)中體積元的能量與單一諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量有著顯著的不同。在單一諧振動(dòng)的系統(tǒng)中，動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，動(dòng)能最大時(shí)，勢(shì)能最小，勢(shì)能最大時(shí)，動(dòng)能最小，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。在波動(dòng)情況下，任一時(shí)刻任一體積元的動(dòng)能與勢(shì)能總是隨時(shí)間變化的，變化是同步的，值也相等，這說明體積元總能