【正文】 理論和實際都證明M12=M21=M （108）式中：M定義為互感系數(shù)，或互感。在SI單位制中，M單位為H。②由（109）知：在數(shù)值上等于其中一個線圈中電流變化率為一個單位時在另一個線圈中產(chǎn)生互感電動勢的大小。管內(nèi)介質(zhì)的磁導率為，求此二線圈互感解：設長螺線管導線中電流為，它在中部產(chǎn)生的大小為產(chǎn)生的磁場通過第二個線圈磁通鏈數(shù)為：依互感定義：有 例1011：如圖所示，兩圓形線圈共面，半徑依次為，匝數(shù)分別為。解：設大線圈通有電流 ，在其中心處產(chǎn)生磁場大小為∵ ，∴小線圈可視為處于均勻磁場，為O處值記為，通過小線圈的磁通鏈數(shù)為 由有, （用 困難。105 磁場能量如圖所示，R為電阻，L為自感線圈，為電源電動勢。K剛關閉（設此時t=0）后，由閉合回路的歐姆定律R （ ）上式兩邊同時乘以 ，并對時間積分，有在0t時間內(nèi) ∴電源作功—反抗自感電動勢作功=電路R上焦耳熱即電源作功一部分用來產(chǎn)生焦耳熱，一部分用來克服自感電動勢做功。所以，電源反抗自感電動勢作的功，必然轉變?yōu)榫€圈的磁場能量。環(huán)行螺線管磁場能量為：式中為螺線管體積，可得磁場能量密度函數(shù)為 （1011）此式與電場能量密度 相類似。（2）表達式普遍成立。解：由安培環(huán)路定律知。在筒間距軸線為處，為： 在半徑為處、寬為、高為的薄圓筒內(nèi)的能量為 在筒間能量為：∵∴ 單位長同軸電纜為：第十一章 電磁場基本理論111位移電流 全電流定律法拉第電磁感應定律發(fā)現(xiàn)后，麥克斯韋為了解釋感生電動勢的產(chǎn)生，提出了變化的磁場產(chǎn)生電場的假說，麥克斯韋又認為電場和磁場具有對稱性，變化的磁場既然能激發(fā)電場，變化的電場也必然能激發(fā)磁場。下面介紹有關位移電流的概念。在一個不含電容器的閉合電路中，傳導電流是連續(xù)的，即在任一時刻，通過導體上某一截面的電流等于通過任何其他截面的電流。如圖所示，在電容器充電過程中，電路中I隨時間改變，是非平衡的。 圖111對而言，有，對而言，有 。故在非平衡電流下，安培定律不成立，必然要找新的規(guī)律。充電時，則導線中傳導電流為I，（S為極板面積）傳導電流密度為（大?。┰跇O板間：（電流不連續(xù)）我們知道，充電中是變化的。于是，麥克斯韋引進了位移電流假設?？梢?，上面出現(xiàn)的矛盾能夠解決了，即前面二個積分相等了。三、全電流環(huán)路定律如果電流中同時存在傳導電流與位移電流，那么安培環(huán)路定率可表示為即 （113）式（113）稱為全電流環(huán)路定律。它們產(chǎn)生的磁場都來源于電場。說明：全電流環(huán)路定律普遍適用。例111：如圖所示，有平行板電容器，由半徑為的兩塊圓形極板構成，用長直導線電流給它充電，使極板間電場強度增加率為，求距離極板中心連線處的磁場強度。解：忽略電容邊緣效應，極板間電場可看作局限在半徑為內(nèi)的均勻電場，由對稱性可知，變化電場產(chǎn)生的磁場其磁力線是以極板對稱軸上點為圓心的一系列圓周。由全電流環(huán)流定律有 可有 （2）取半徑為的磁力線為回路，繞行方向同磁力線方向，由有 得 例112：從公式證明平行板電容器與球形電容器兩極板間的位移電流均為，其中為電容，為板間電壓。解：（1）（2）（3）？１1－3電磁波簡介一、磁波的形成變化的電場產(chǎn)生變化的磁場，變化的磁場產(chǎn)生變化的電場。電場強度與磁場強度垂直，即與隨時間的變化是同步的（以后將介紹這種情況稱為同位相），并且電磁波的傳播方向就是的方向。與幅值成比例令，代表與的幅值，理論計算表明，和的關系位電磁波的傳播速度計算表明，電磁波在介質(zhì)只傳播速度的大小為如果在真空中傳播，電磁波的速度為即真空中電磁波的傳播速度，正好等于光在真空中的傳播首都。第十二章 機械振動167?，F(xiàn)將m略向右移到A，然后放開，此時，由于彈簧伸長而出現(xiàn)指向平衡位置的彈性力。此時，由于彈簧被壓縮，而出現(xiàn)了指向平衡位置的彈性力并將阻止物體向左運動，使m速率減小，直至物體靜止于B（瞬時靜止），之后物體在彈性力作用下改變方向，向右運動。 圖121簡諧振動運動方程由上分析知，m位移為x（相對平衡點O）時，它受到彈性力為（胡克定律）： (121)式中： 當即位移沿+x時，F(xiàn)沿x，即當即位移沿x時，F(xiàn)沿+x，即為彈簧的倔強系數(shù)，“—”號表示力F與位移x（相對O點）反向。由定義知，彈簧振子做諧振動。它是一個常系數(shù)的齊次二階的線性微分方程，它的解為 (123)或 (124)式(123)(124)是簡諧振動的運動方程。本書中用余弦形式表示諧振動方程。167。振幅做諧振動的物體離開平衡位置最大位移的絕對值稱為振幅，記做。角頻率（圓頻率）為了定義角頻率。物體作一次完全振動所經(jīng)歷的時間叫做振動的周期，用表示；在單位時間內(nèi)物體所作的完全振動次數(shù)叫做頻率，用表示。因此，這種周期和頻率又稱為固有周期和固有頻率。由上可見，位相是決定振動物體運動狀態(tài)的物理量。的確定對于給定的系統(tǒng)，已知，初始條件給定后可求出、。（1）將從平衡位置向右移到處由靜止釋放；（2）將從平衡位置向右移到處并給以向左的速率為。例122：如圖所示，一根不可以伸長的細繩上端固定，下端系一小球，使小球稍偏離平衡位置釋放，小球即在鉛直面內(nèi)平衡位置附近做振動，這一系統(tǒng)稱為單擺。證：（1）設擺長為，小球質(zhì)量為，某時刻小球懸線與鉛直線夾角為，選懸線在平衡位置右側時，角位移為正，由轉動定律： 有 圖126 即 ∵很小。（2）（注意做諧振動時條件，即很小）167。一、旋轉矢量自ox軸的原點o作一矢量，其模為簡諧振動的振幅，并使在圖面內(nèi)繞o點逆時針轉動，角速度大小為諧振動角頻率，矢量稱為旋轉矢量。（3）時刻，旋轉矢量與x軸夾角為諧振動的初相，時刻旋轉矢量與x軸夾角為時刻諧振動的位相。（2）必須注意，旋轉矢量本身并不在作諧振動，而是它矢端在x軸上的投影點在x軸上做諧振動。時，位移為，且向x軸正向運動。解：（1）設物體諧振動方程為由題意知 〈方法一〉用數(shù)學公式求∵,∴ ∵∴ 圖129〈方法二〉用旋轉矢量法求根據(jù)題意，有如左圖所示結果∴ 由上可見，〈方法二〉簡單（2）〈方法一〉用數(shù)學式子求由題意有： （∵∴） 或 ∵此時∴ 設時刻物體從時刻運動后首次到達平衡位置，有： 或 （∵∴）∵∴ 〈方法二〉用旋轉矢量法求由題意知，有左圖所示結果，M1為時刻末端位置，M2為時刻 末端位置。 圖1210例124：圖為某質(zhì)點做諧振動的曲線。 解：設質(zhì)點的振動方程為由圖知： 圖1211用旋轉矢量法（見上頁圖）可知， （或 ） 例125：彈簧振子在光滑的水平面上做諧振動，為振幅，時刻情況如圖所示。試求各種情況下初相。124 諧振動的能量對于彈簧振子，系統(tǒng)的能量=（物體動能）+（彈簧勢能）已知： 物體位移 物體速度 （118）說明：（1）雖然、均隨時間變化，但總能量且為常數(shù)。（2）與互相轉化。在處。試求的位置。現(xiàn)將物塊拉離平衡位置，然后任其自由振動，使在振動中不致從上滑落，問系統(tǒng)所能具有的最大振動能量是多少。125 同方向同頻率兩諧振動合成一個物體可以同時參與兩個或兩個以上的振動。又如：兩個聲源發(fā)出的聲波同時傳播到空氣中某點時，由于每一聲波都在該點引起一個振動，所以該質(zhì)點同時參與兩個振動。取振動所在直線為x軸，平衡位置為原點。是兩振動的角頻率。 圖1214 圖1215如圖所示，時，兩振動對應的旋轉矢量為、合矢量為。任意時刻，矢端在x軸上的投影為：因此，合矢量即為合振動對應的旋轉矢量，為合振動振幅，為合振動初相。解：（1） （2）∵ ∴ 圖1216例119：一質(zhì)點同時參與三個同方向同頻率的諧振動，他們的振動方程分別為，試用振幅矢量方法求合振動方程。131 機械波的產(chǎn)生和傳播一、常見機械波現(xiàn)象水面波。繩波。聲波。二、機械波產(chǎn)生的條件兩個條件 波源。傳播介質(zhì)。說明：波動不是物質(zhì)的傳播而是振動狀態(tài)的傳播。如 繩波。(2)水面波是一種復雜的波，使振動質(zhì)點回復到平衡位置的力不是一般彈性力，而是重力和表面張力。四、關于波動的幾個概念波線：沿波傳播方向帶箭頭的線。同一時刻，同相面有任意多個。（或：傳播在最前面的那個同相面）平面波與球面波(1)平面波：波陣面為平面。 圖131 *：在各向同性的介質(zhì)中波線與波陣面垂直。132 波長、波的周期和頻率 波速波長、波的周期、波的頻率、波速是波動過程中的重要物理量，分述如下：一、波長波長:同一波線上位相差為的二質(zhì)點間的距離（即一完整波的長度）。如下圖。二、波的周期 圖132 波的周期: 波前進一個波長距離所用的時間（或一個完整波形通過波線上某點所需要的時間）波動頻率：單位時間內(nèi)前進的距離中包含的完整波形數(shù)目。由此可知，波在不同的介質(zhì)中其傳播周期（或頻率）不變?？捎? （132）對彈性波而言，波的傳播速度決定于介質(zhì)的慣性和彈性，具體地說，就是決定于介質(zhì)的質(zhì)量密度和彈性模量，而與波源無關。167。又叫余弦波或正弦波。因此，討論簡諧波就有著特別重要的意義。二、波動方程建立如圖所示，諧振動沿+x方向傳播，∵與x軸垂直的平面均為同相面，∴任一個同相面上質(zhì)點的振動狀態(tài)可用該平面與x軸交點處的質(zhì)點振動狀態(tài)來描述，因此整個介質(zhì)中質(zhì)點的振動研究可簡化成只研究x軸上質(zhì)點的振動就行了，設原點處的質(zhì)點振動方程為式中，為振幅，為角頻率，稱為初相。∵振動從o傳播到p所用時間為，所以，p點在時刻的位移與o點在時刻的位移相等，由此時刻p處質(zhì)點位移為 （133）同理，當波沿x方向傳播時，時刻p處質(zhì)點位移為 （134）利用 由式（133）、（134）有 （135）式（135）中，“”表示波沿+x方向傳播；“+”表示波沿x方向傳播。式（135）稱為平面簡諧波方程。三、波動方程的物理意義均變化時，表示波線上各個質(zhì)點在不同時刻的位移。時，表示處質(zhì)點在任意時刻位移。時，表示時刻波線上各個質(zhì)點位移。均一定，表示時刻坐標為處質(zhì)點位移。解：（1） 此題波動方程可化為由上比較知： 另外：求可從物理意義上求（a）=同一波線上位相差為的二質(zhì)點間距離設二質(zhì)點坐標為xx2（設x2 x1），有，得（b）=某一振動狀態(tài)在單位時間內(nèi)傳播的距離。此題可這樣做：畫出時波形圖，根據(jù)波傳播的距離再得出相應時刻的波形圖（波形平移）。圖135解：（1），以A為原點，波動方程為 (SI)（2）以B為原點 (SI)（B處質(zhì)點初相為）波動方程為：即 (SI)（3）以C為原點 (SI)（C處初相為）波動方程為：即 (SI)強調(diào)：（1）建立波動方程的程序（2）位相中加入的含義例133：一連續(xù)縱波沿+x方向傳播，頻率為，波線上相鄰密集部分中心之距離為24cm，某質(zhì)點最大位移為3cm。求：（1）波源振動方程；（2）波動方程；（3）時波形方程；（4）處質(zhì)點振動方程；（5）與處質(zhì)點振動的位相差。強調(diào)：（1）波源初相不一定=0（2）的含義例134：一平面余弦波在時波形圖如下，（1）畫出時波形圖；（2）求O點振動方程；（3）求波動方程。（2）設O處質(zhì)點振動方程為可知： 時，O處質(zhì)點由平衡位置向下振動，由旋轉矢量圖知， 圖136 （3）波動方程為：即 注意：由波形圖建立波動方程的程序。134波的能量 能