【文章內(nèi)容簡介】 + uRiU0 I0典型電路分析 (RLC串聯(lián) )1. 列寫 方程i = duCdt C Ri = RC uL = Ldidt= LCd2uCdt2由 KVL： uC + Ri + uL = 0 LCd2uCdt2duCdt+ RC + uC = 0代入上式得 二階齊次微分方程duCdt若以電容電壓為變量則有 uC(0+)=U0 ， i(0+) = 0初始條件為或 duCdt = Ct=0+i(0+) = 0(t≥0+)Date 382. 解方程特征方程的根特征方程 LCp2+RCp+1=0 p1= 2LR + 2LR 2LC1C+uC+(t≥0+)+uLRL+ uRiU0 I0uC(0+)=U0， LCd2uCdt2duCdt+ RC + uC = 0duCdt = 0t=0+p2= 2LR 2LR 2LC1(1)特征根只與電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)有關(guān)，與激勵和初始值無關(guān)。(2)當 R、 L、 C的參數(shù)不同時，特征根有不同的形式。Date 39uC = A1e p1t+ A2e p2t解的形式為(1) R＞ 2p p2 是兩個不相等的負實根。A1= p2 p1p2U0 A2= p2p1p1U0由初始條件求得uC = p2 p1U0 (p2e p1tp1e p2t )所以LCp1,2 = 2LR 177。 2LR 2LC1 LCd2uCdt2 duCdt+ RC + uC = 0uC(0+)=U0， duCdt = 0t=0+Date 40duCdti = CuL= didt L= (p2 p1)U0 (p1e p1tp2e p2t )p1 p2 = LC1考慮到 = L(p2 p1)U0 (e p1te p2t )tm2tmuCuLiotuC ,uL, U0i| p2 | | p1|uC 第 1項較大，且衰減較慢。故占主導地位。① 總有 uC≥0、 i≥0 ，說明 C一直在釋放電能。稱 非振蕩放電 或 過阻尼放電 。uC = p2 p1U0 (p2e p1tp1e p2t )分析Date 41C+uC++uLRL+ uRiU0tm2tmuCuLiotuC ,uL, U0i| p2 | | p1|tm= p1 p2ln(p2∕p1)② i從 0開始，到 0結(jié)束，有極值。令 (di/dt) = 0 得 i達到 imax的時刻為：③ 0～ tm： C 的電場能轉(zhuǎn)化為 L的磁場能和 R的熱能。④ tm～ ∞： uL變負， C 的電場能和 L的磁場能都轉(zhuǎn)化為 R的熱能。能量釋放完畢，過渡過程結(jié)束。Date 42(2)令 2LRd = LC1w2 = 22LRbwdw0則 p1=d +jw ， p2=d jwR2 LC特征方程有一對共扼復根，其解的形式為：uC = ed t(A1coswt+A2sinwt) 或 uC = ed t B sin(wt+b )由初始條件uC(0+)=U0 duCdt = 0t=0+ → B(d)sinb + Bwcosb =0p1,2 = 2LR 177。 2LR 2LC1解得→ Bsinb = U0B = U0sinb b = arctg wd令 d 2+w2 = w0則 d、 w、 w0、 b 構(gòu)成一直角三角形。B = U0w0wDate 43i = duCdtC = wLU0 ed t sinwtuL = L didt = wU0w0 ed t sin(wtb )owtuC ,uL, iU0p2pbU0w0 ed t sin(wt+b )uC = wpb① ② ③能量交換情況： ① C 釋放， L和 R吸收。② C和 L 釋放 ， R吸收。③ L 釋放 ， C和 R吸收。R≠0， 振蕩是衰減的。C+uC++uLRL+ uRiU0…… 若 R=0，則振蕩是等幅的。Date 44若 R = 0216。放電過程中無損耗，所以振蕩是 等幅 的。216。實際電路總是有損耗的，當我們只關(guān)心在很短范圍發(fā)生的過程時，按等幅 振蕩處理不會引起太大的誤差。則 2LRd = = 0=w0b = arctg dw = 90o= U0 sin(w0t+90o)sinw0tuL = uCi = wLU0 ed t sinwtU0w0 ed t sin(wt+b )uC = ww = 2LR 2LC1 LC= 1C= U0LC+uC++uLRL+ uRiU0Date 45P161 例 77為 RLC放電電路， 已知： U0=15kV，216。本例說明： 利用 RLC， 可以獲得強大的脈沖電流。屬于振蕩放電情況。C=1700mF， L=6109H， R=6104?。試求：i(t) =? 何時 i = imax? imax=?d = 2LR = 261096104=5104 s1= 105 rad/s= 106e50000tsin(105) t At = tm= wb = (ms) 時 i = 106 A = imax解：根據(jù)已知條件有w = 2LR 2LC1i = wLU0 ed t sinwtb =arctg dw = rad 代入得Date 46(3) 臨界情況p1= p2 = 2LR = duC(0+) =U0uC =U0 (1+d t) ed ti = LU0 t ed tuL = U0 ed t(1d t)放電過程具有非振蕩性質(zhì)，是振蕩和非振蕩過程的分界線，這種情況下的 R稱為 臨界電阻 。R 臨界電阻 ,為 過阻尼 電路。R 臨界電阻 ,為 欠阻尼 電路。R=2 LC p1,2 = 2LR 177。 2LR 2LC1特征方程具有重根。微分方程解的形式為： uC = (A1+ A2t ) ed t根據(jù)初始條件duCdt = 0t=0+ 求得A1 = U0A2 = d U0Date 47167。76 二階電路的零狀態(tài)響應和全響應S LIS iLt=0CG+uC+uLiCiRuC(0) = 0， iL(0) = 0iR= GuL=GL diLdtiC = CduCdt = CduLdt = LCd2iLdt2LCd2iLdt2 + GLdiLdt + iL 若以電感電流為變量則有由 KCL求解方程的過程同 75(通解 )和 73(特解 )。二階電路的全響應也 =零狀態(tài)響應 +零輸入響應。全解 = 通解 + 特解 = ISDate 48167。77 一階電路 和二階電路 的階躍響應1. 單位階躍函數(shù) (2) 延遲的 單位階躍函數(shù)e (t) = 0 t≤01 t≥0+(1) 定義 toe (t)1① 奇異函數(shù) ，在 t=0 時發(fā)生了階躍； ② 開關(guān)的數(shù)學模型，也稱為 開關(guān)函數(shù) 。e (tt0) = 0 t≤t01 t≥t0+S (t=0)+u(t)RC211V+e (t)to1t0Date 492. 階躍函數(shù)的性質(zhì)(1) 用來起始任意一個函數(shù)(2) 合成矩形脈沖f (t) e(tt0) = 0 t≤t0f (t) t≥t0+t0f(t)tot0 toe(tt0)f (t)=e(t) e(tt0)f (t)to t0， f(t)e (tt0)t0 toe(t)Date 50例：用階躍函數(shù)表示下列波形 f1(t) = 2e(t)t0tof1(t)2t0 3t0+22 t0tof2(t)2t021 4e(tt0)+ 4e(t2t0) 4e(t3t0) + f2(t) = e(t)+ e(tt0) 2e(t2t0)分段常量信號可以表示成一系列階躍信號之和?！璂ate 513. 階躍響應 單位階躍輸入的 零狀態(tài)響應 稱為電路的單位階躍響應， 記作 s(t)。 通過例題說明一些概念。+uCRC+e(t)iC例 1：求 uC(t) 、 iC(t)。根據(jù)階躍函數(shù)的性質(zhì)得 uC(0)=0，解：uC(∞)=1V單位階躍響應為 uC = (1 e RCtiC = R1 e e(t) A touC11/RiC?tf(t) = e e(t) ? tf(t) = e t≥0初值為零。注意 初值可以不為零。) e(t) VRCtDate 52若激勵在 t = t0 時加入，則響應從 t = t0 開始。 +uCRC+e(tt0)iC延遲的階躍響應為 uC = (1 e RCtt0iC = R1 e) e(tt0) VRCtt0e(tt0) A注意 ：uC = (1 e RCt) e(tt0) V階躍響應的求法與恒定激勵下的零狀態(tài)響應的求法本質(zhì)相同。用 f (t) e(tt0) 表示。延遲的階躍響應不要寫為 Date 53例 2： S在位置 1時電路處于穩(wěn)態(tài)。 t=0時 S由位置 1合向位置 2，在 t=t 時， S又從位置 2 合向位置1。 求 t≥0時的 uC 。S (t=?)+uCRC21US+t=0解法 1：把電路的工作過程分段求解(1) 0≤t≤t ： 為典型 RC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應。 (2) t≤t＜ ∞： 為典型 RC串聯(lián)電路的零輸入響應。uC = US (1e )? t? = RCuC = e ? t ?0≤t≤t?≤t＜ ∞初始值： uC(t+) = uC(t) = US (1 e1) = Date 54解法 2：用階躍函數(shù)表示激勵，求階躍響應。uS(t) = US e(t) US e(tt)RC電路的單位階躍響應為?uS(t)toUSs(t) = (1e ? t ?t ?s(t?) = (1e 利用線性電路的疊加性質(zhì)可得uC(t) =階躍響應 延遲的階躍響應S (t=?)+uCRC21US+t=0) e(t) ) e(t?)uc(t)to ?UsUS (1e ) e(t)? t + US (1e ) e(t?)?t ?Date 55uc(t)toD1DD→0D1 →∞uc(t)uc(t)uc(t) = ?DD1Date 56167。78 一階電路和二階電路的沖擊響應1. 沖擊函數(shù)的定義(1)單位沖擊函數(shù)(2)延時的單位沖擊函數(shù)pD(t)to1/DDD?0D1/Dlim pD(t) =d(t)d(t)ot1d(t) =0， t 0+和 t 0∫ ∞+∞