【正文】 達(dá)的一組獨(dú)立的一階微分方程稱為狀態(tài)變量方程，簡(jiǎn)稱狀態(tài)方程。 寫成矩陣形式： duCdiLdtdt= 0 C1 L1 LRuCiL+ 0 00 L1iSuS令 x1 = uCx2 = iL系數(shù)矩陣 A 系數(shù)矩陣 B則 = A + Bx1 =. dtduCx2 =. dtdiL x1.x2.x1x2iSuSduCdt = 0 + C1 iL + 0diLdt = L1 uC LR iL + L1 uSDate 75則 狀態(tài)方程具有更簡(jiǎn)潔的形式 ：若 .x def x = [x1 x2 ]T， v = [iS uS ]T .x = A x + B v[ .x1 .x2]T ，標(biāo)準(zhǔn)形式 .x 和 x 為 n階 列向量；則= A + Bx1.x2.x1x2iSuSx 稱為狀態(tài)向量， v 稱為輸入向量。F若電路具有 n個(gè)狀態(tài)變量， m個(gè)激勵(lì)源。矩陣 A為 nn階方陣；v 為 m 階列向量； 矩陣 B為 nm階矩陣。?狀態(tài)方程的編寫方法：直觀法和系統(tǒng)法。較簡(jiǎn)單的電路用直觀法，復(fù)雜的電路用系統(tǒng)法。Date 763. 狀態(tài)方程的編寫C 在線性電路中， 選獨(dú)立的電容電壓和獨(dú)立的電感電流作為狀態(tài)變量 編寫狀態(tài)方程和求解最方便。?直觀法的編寫步驟 在狀態(tài)方程中，要包含對(duì)狀態(tài)變量的一次導(dǎo)數(shù)：(1)對(duì)只含一個(gè) C的結(jié)點(diǎn)列 KCL方程；(2)對(duì)只含一個(gè) L的回路列 KVL 方程；(3)列其它方程 (若有必要 )，消去非狀態(tài)變量。C+R2L2i1uSR1+uCL1i2 iS① ② ③i2+iS0Date 77列出以 uC、 i1和 i2為 狀態(tài)變量的方程。解：1 2C dtduC = i1 i2? L1 dtdi1 = uC R1(i1+i2) + uS= uC R1(i1+i2) + uS R2(i2+iS) iR1iR2?對(duì)只含一個(gè) C的結(jié)?對(duì)只含一個(gè) L的回路列 KVL方程點(diǎn)列 KCL方程L2 dtdi2?J方程中不含非狀態(tài)變量，不用列其它方程。iR1 iR2C+R2L2i1uSR1+uCL1i2 iS① ② ③i2+iSi1+i20非狀態(tài)變量已預(yù)先做了處理Date 78?整理成矩陣形式dtduCdtdi1dtdi2=0 C1 C1L11 L1R1 L1R1L21 L2R1 L2R1+R2uCi1i2+0 0L11 0L21 L2R2uSiSC dtduC = i1 i2L1 dtdi1 = uC R1(i1+i2) + uS= uC R1(i1+i2) + uS R2(i2+iS) L2 dtdi2Date 794. 電路 (或系統(tǒng) )的狀態(tài)空間描述狀態(tài)方程只表示了狀態(tài)對(duì)輸入和初始狀態(tài)的關(guān)系： x = Ax + Bv ， x(t0) = x0.F在實(shí)用中，為了完整地表示動(dòng)態(tài)電路，還要建立4狀態(tài)方程與輸出方程聯(lián)立，稱為動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)空輸出與狀態(tài)、輸入之間的關(guān)系，稱輸出方程。間描述。 輸出方程： y = Cx + Dv則 y 是 h維輸出向量；C是 hn系數(shù)矩陣； D是 hm系數(shù)矩陣。C 、 D 僅與電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)。F若 電路具有 n個(gè)狀態(tài)變量 , m個(gè)激勵(lì)源 , h個(gè)輸出變量。Date 80對(duì)右圖電路，已編寫過它的狀態(tài)方程。若以結(jié)點(diǎn) ①②③ 的電壓作為輸出，則有un1 = R1(i1+i2) + uSun2 = uC(i1+i2)R1 + uSun3 = R2(i2+iS) C+R2L2i1uSR1+uCL1i2 iS① ② ③i2+iSi1+i20un1un2un3y = Cx + Dv=0 R1 R11 R1 R10 0 R2+1 01 00 1uSiSuCi1i2整理成標(biāo)準(zhǔn)形式Date 81*711 動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問題1. 關(guān)于動(dòng)態(tài)電路的階數(shù)微分方程的階次稱為動(dòng)態(tài)電路的階數(shù)。動(dòng)態(tài)電路的階數(shù) 與所含獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)有關(guān)。(1)常態(tài)網(wǎng)絡(luò)不含純電容回路 (包括電壓源 )以及純電感割集 (包電路的階數(shù) = 動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)。例如前面分析過的電路：僅含一個(gè)貯能元件 (常值 C與 L)和電阻的電路，或能化為此形式的電路，都屬于一階電路。 RLC串聯(lián)或并聯(lián)電路屬于二階電路。括電流源 )在內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)。 所以有：Date 82(2)非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)含純電容回路或純電感割集或二者兼有。電路的階數(shù) = 動(dòng)態(tài)元件總數(shù) 獨(dú)立純電感割集個(gè)數(shù) iLRLiS+uS R C+uC階數(shù) = 0 +uSC1S R1 R2C2C3C4階數(shù) = 4 1= 3 獨(dú)立純電容回路個(gè)數(shù)Date 83練習(xí)：分析圖示電路的階數(shù)。 +uSC1R1L1 C3L2 L3R2C2iS+uSC1R1L1 C3L2 L3R2C2iS電容子網(wǎng)絡(luò)無獨(dú)立回路L1+uSC1R1C3L2 L3R2C2iS電感子網(wǎng)絡(luò) 有 1個(gè)獨(dú)立割集解： 6 1 = 5階Date 842. 動(dòng)態(tài)電路中初始值的計(jì)算換路定則必須遵循電荷守恒定律和磁鏈不變?cè)瓌t：∑qk(0+) =∑qk(0) 或 ∑Ck uCk(0+) = ∑ Ck uCk(0)∑?k(0+) =∑?k(0) 或 ∑ Lk iLk(0+) = ∑ Lk iLk(0)+(t=0)S3?iL1L16?12V L22H 1HiL2R2R1US+(t≥0)S3?iL1L16?12V L22H 1HiL2R2R1US換路前 iL1(0) = USR1= 4A， iL2(0) = USR2= 2A例 1：電路穩(wěn)定后將 S打開，求 iL1(0+) 和 iL2(0+) 。 解Date 85換路前： iL1(0) = 4A， iL2(0) = 2A換路后 KCL要求 iL2(0+) = iL1(0+)但 ?L(0+) =?L(0)iL1(0+) = 2A+(t=0)S3?iL1L16?12V L22H 1HiL2R2R1US+(t≥0)S3?iL1L16?12V L22H 1HiL2R2R1US(L1+ L2) iL2(0+) 12 24 iL2(0+) = L1+ L2L2iL2(0) L1iL1(0) =2 + 1 = 2 A電感中電流變化引起的電壓遵循 KVL方程中關(guān)于正負(fù)號(hào)的規(guī)定。?出現(xiàn)了iL(0) ≠ iL(0+) = L2iL2(0) L1iL1(0) iL2(∞) = iL1(∞) = 0? = (L1+ L2) / (R1+ R2)Date 86例 2： S閉合前電路穩(wěn)定， US=6V， C3=2F， C1=C2=1F， t=0時(shí) S閉合，求各電容電壓的初始值 (C3原未充電 )。C1RUS+C2SC3+uC2+ +uC3uC1S閉合前 uC1(0) = uC2(0) = 3V， uC3(0) = 0S閉合后解：uC1(0+) = uC1(0) = 3V， 但 uC2(0+) = uC3(0+) 換路時(shí)刻， C C3的電荷重新分配，但保持守恒。 C2 uC2(0+) + C3 uC3(0+) 代入數(shù)據(jù)： uC2(0+) + 2 uC3(0+) = 3 + 0 由 KVL知： uC2(0+) = uC3(0+) 解之： uC2(0+) = uC3(0+) = 1V= C2 uC2(0) + C3 uC3(0) Date 873. 非齊次微分方程特解的計(jì)算以 dydt + Ay = f(t) 為例輸入 f(t)的形式 特解 y*的形式常數(shù) P 常數(shù) QP0 + P1t (P0可以為 0) Q0 + Q1t P0 + P1t + P2t2 Q0 + Q1t + Q2t2 Pemt (m≠A) QemtPemt (m=A) Q t emtPsinwt (或 Pcoswt ) Q1sinwt + Q2 coswtDate 88本章結(jié)束Date 89P159 例 76求： uC、 uR、 i、 uL和 imax套用下列公式可得到結(jié)果SC uC+1+uLRL+ uRiUS210V4k1H根據(jù)已知條件算出 :屬非振蕩放電過程p1 = 2LR + 2LR 2LC1p2 = 2LR 2LR 2LC1uC =p2p1U0 (p2e p tp1e p t)1 2i =L(p2p1)U0 (e p te p t)1 2uL=(p2 p1)U0 (p1e p tp2e p t)1 2uR=Ritm= p1 p2ln(p2 p1)i=imax的時(shí)間R2 LCDate 90P162 例 78 試驗(yàn)步驟：① 閉合 S1，讓 C充電到 U0 ；② 打開 S1， 接通 S2， C開始放電。③ 在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，把被試高壓開關(guān) A拉開。 L用很粗的導(dǎo)線繞制，其電阻可忽略不計(jì)。(1)為了模擬 50Hz的工 頻電流， L=？(2) uC (t) =? i (t) =?試驗(yàn)高壓開關(guān)滅弧能力的振蕩電路ARiLuC+S2S1+U0 C3800m解： LC1 =w0=2pf=314 rad/sL = w02C1 = (mH)i = w0LU0 sinw0t= (kA)uC = uL = U0sin(w0t+90o )= sin(314t+90o ) (kV)Date 91P165 例 79167。 解： S動(dòng)作時(shí)，相當(dāng)于對(duì)電路外施單位階躍電流 is=e (t) A。167。 對(duì)應(yīng)齊次方程的解為： iL=(A1+A2t)ept A167。 特解 ： i39。L=1 A167。 全 解 ： iL=1+(A1+A2t)ept ASLIS iLt=0CG+uC +uLiCiRuC(0) = 0 iL(0) = 02103S 1m 1H1A求： iL、 uC 和 iCLCd2iLdt2 +GLdiLdt +iL =IS特征方程：p2+CGp+LC1 = 0p1,2= 2CG 177。 2CG 2LC1代入數(shù)據(jù)： p1=p2 =p=103初始值：diLdt 0+= LuL(0+)=LuC(0+)=0iL(0+)=iL(0)=0Date 9