【文章內(nèi)容簡介】 （ t 為參數(shù)）上，對應參數(shù) 分別為 =t? 與 =2t ?（ 02???? ）， M 為 PQ 的中點。 （ Ⅰ ）求 M 的軌跡的參數(shù)方程； （ Ⅱ ）將 M 到坐標原點的距離 d 表 示為 ? 的函數(shù)，并判斷 M 的軌跡是否過坐標原點。 （ 24）（本小題滿分 10 分）選修 4——5；不等式選講 設 a b c、 、 均為正數(shù)，且 1abc? ? ? ，證明： （ Ⅰ ） 13ab bc ac? ? ? ；（ Ⅱ ） 2 2 2 1abcb c a? ? ? 19 20 21 22 北京卷 第一部分 （選擇題 共 40 分） 一、 選擇題共 8 小題。每小題 5 分，共 40 分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項。 （ 1）已知集合 A=｛ 1， 0， 1｝， B=｛ x|1≤ x1｝ ,則 A∩ B= ( ) （ A）｛ 0｝ （ B）｛ 1， ,0｝ （ C） {0， 1} （ D） ｛ 1， ,0， 1} （ 2）設 a,b,c∈ R,且 ab,則 ( ) （ A） acbc （ B） （ C） a2b2 （ D） a3b3 （ 3）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間 (0,+ ∞ )上單調(diào)遞減的是 （ A） y= (B)y=e3 （ C） y=x2+1 (D)y=lg∣ x∣ （ 4）在復平面內(nèi)，復數(shù) i（ 2i）對應的點位于 （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 （ 5）在 △ ABC 中， a=3,b=5,sinA= ,則 sinB （ A） （ B） （ C） （ D） 1 （ 6）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 值為 （ A） 1 （ B） （ C） （ D） （ 7）雙曲線 x178。 =1 的離心率大于 的充分必要條件是 23 （ A） m＞ （ B） m≥ 1 （ C） m 大于 1 （ D） m＞ 2 (8)如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1中， P 為對角線 BD1的三等分點， P 到各頂點的距離的不同取值有 （ A） 3 個 （ B） 4 個 （ C） 5 個 （ D） 6 個 第二部分（非選擇題 共 110 分） 二、填空題共 6 題，每小題 5 分，共 30 分。 （ 9）若拋物線 y2=2px 的焦點坐標為（ 1,0）則 p=____。準線方程為 _____ (10)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積 為__________. (11)若等 比數(shù)列｛ an｝滿足 a2+a4=20， a3+a5=40，則公比 q=__________。前 n 項 sn=_____. (12)設 D 為不等式組 ，表示的平面區(qū)域，區(qū)域 D 上的點與點（ L， 0）之間的距離的最小值為 ___________. (13)函數(shù) f（ x） = 的值域為 _________. （ 14）已知點 A（ 1， 1）， B（ 3， 0）， C（ 2， 1） .若平面區(qū)域 D 由所有滿足 AP =λ AB+μ AC （ 1≤λ≤ 2， 0≤μ≤ 1）的點 P 組成，則 D 的面積為 __________. 24 三 、解答題共 6小題，共 80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （ 15）（本小題共 13分） 已知函數(shù) f（ x） =（ 2cos2x1） sin2x= cos4x. （ 1） 求 f（ x）的最小正周期及最大值 （ 2） （ 2）若α ∈ （ ，π）且 f（α） = ，求α的值 (16)(本小題共 13 分 ) 下圖是某市 3 月 1 日至 14 日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于 100 表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200 表示空氣質(zhì)量重度污染，某人隨機選擇 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到達該市，并停留 2 天。 （ Ⅰ ）求此人到達當日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率 （ Ⅱ ）求此人在該市停留期間只有 1 天空氣重度污染的概率。 （ Ⅲ ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明） 17.（本小題共 14 分） 25 如圖，在四棱錐 PABCD 中， AB∥ CD,AB⊥ AD,CD=2AB,平面 PAD⊥ 底面 ABCD， PA⊥ 和F 分別是 CD 和 PC 的中點，求證： （ Ⅰ ） PA⊥ 底面 ABCD。 （ Ⅱ ） BE∥ 平面 PAD （ Ⅲ ）平面 BEF⊥ 平面 PCD. （ 18）（本小題共 13 分） 已知函數(shù) f(x)=x2+xsin x+cos x. （Ⅰ）若曲線 y=f(x)在點 (a,f(a))處與直線 y=b 相切，求 a 與 b 的值。 （Ⅱ）若曲線 y=f(x)與直線 y=b 有兩個不同的交點，求 b 的取值范圍。 （ 19）（本小題共 14 分） 直線 y=kx+m(m≠ 0)與橢圓 W: +y2 相交與 A， C 兩點， O 為坐標原電。 （Ⅰ）當點 B 的左邊為（ 0， 1），且四邊形 OABC 為菱形時，求 AC 的長； （Ⅱ）當點 B 在 W 上且不是 W 的頂點時，證明：四邊形 OABC 不可能為菱形。 （ 20）（本小題共 13 分） 給定數(shù)列 a1， a2，?， an。對 i1， 2，? nl，該數(shù)列前 i 項的最大值記為 Ai，后 ni 項ai+1， ai+2，?， an 的最小值記為 Bi， di=niBi. （ Ⅰ ）設數(shù)列 {an}為 3， 4， 7， 1，寫出 d1， d2， d3 的值 . （ Ⅱ ）設 a1， a2，?， an（ n≥ 4）是公比大于 1 的等比數(shù)列，且 a1＞ ： d1， d2，?dn1 是等比數(shù)列。 （ Ⅲ ）設 d1， d2，? dn1 是公差大于 0 的等差數(shù)列，且 d1＞ 0，證明： a1， a2，?， an1是等差數(shù)列。 26 27 28 29 30 31 32 第 Ⅰ 卷 注意事項： 1. 每小題選出答案后 , 用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑 . 如需改動 , 用橡皮擦干凈后 , 再選凃其他答案標號 . 2. 本卷共 8 小題 , 每小題 5 分 , 共 40 分 . 參考公式 : 如果事件 A, B 互斥 , 那么 ) ( ) ( )( B P APA PB? ? ? 棱柱的體積公式 V = Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面積 , h 表示棱柱的高 . 如果事件 A, B 相互獨立 , 那么 ) ( ) (( )B P AA PP B? 球的體積公式 34 .3VR?? 其中 R 表示球的半徑 . 一．選擇題 : 在每小題給出的四個選項中 ,只有一項是符合題目要求的 . (1) 已知集合 A = {x∈ R| |x|≤2}, B = {x∈ R| x≤1}, 則 A B?? (A) ( ,2]?? (B) [1,2] (C) [－ 2,2] (D) [－ 2,1] (2) 設變量 x, y 滿足約束條件 360,2 0,3 0,xyyxy ?? ? ??????????則目標函數(shù) z = y－ 2x的最小值為 (A) － 7 (B) － 4 (C) 1 (D) 2 (3) 閱讀右邊的程序框圖 , 運行相應的程序 , 則輸出 n 的值為 (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (4) 設 ,ab?R , 則 ― 2()0a b a? ? ‖是 ―ab? ‖的 (A) 充分而不必要條件 (B) 必要而不充分條件 (C) 充要條件 (D) 既不充分也不必要條件 (5) 已知過點 P(2,2) 的直線與圓 225( 1)x y??? 相切 , 且與直線10ax y? ? ? 垂直 , 則 a? (A) 12? (B) 1 (C) 2 (D) 12 (6) 函數(shù) ( ) sin 24f x x ?????????在區(qū)間 0,2???????上的最小值是 (A) 1? (B) 22? (C) 22 (D) 0 (7) 已知函數(shù) ()fx是定義在 R 上的偶函數(shù) , 且在區(qū)間 [0, )?? 上 單調(diào)遞增 . 若實數(shù) a 滿足2 12( lo g ) ( lo g ) 2 (1 )f a f fa ??, 則 a 的取值范圍是 (A) [1,2] (B) 10,2??? ??? 33 (C) 1,22?????? (D) (0,2] (8) 設函數(shù) 22 , ( ) ln) 3( x x g x xx xfe ? ? ? ? ?? . 若實數(shù) a, b 滿足 ( ) 0, ( ) 0f a g b??, 則 (A) ( ) 0 ( )g a f b?? (B) ( ) 0 ( )f b g a?? (C) 0 ( ) ( )g a f b?? (D) ( ) ( ) 0f b g a?? 34 2020 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 (天津卷 ) 文 科 數(shù) 學 第 Ⅱ 卷 注意事項： 1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上 . 2. 本卷共 12 小題 , 共 110 分 . 二．填空題 : 本大題共 6 小題 , 每小題 5 分 , 共 30 分 . (9) i 是虛數(shù)單位 . 復數(shù) (3 + i)(1－ 2i) = . (10) 已知一個正方體的所有頂點在一個球面上 . 若球的體積為 92?, 則正方體的棱長為 . (11) 已知拋物線 2 8y x? 的準線過雙曲線 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的一個焦點 , 且雙曲線的離心率為 2, 則該雙曲線的方程為 . (12) 在平行四邊形 ABCD 中 , AD = 1, 60BAD ???, E 為 CD 的中點 . 若 1ACBE? , 則 AB 的長為 . (13) 如圖 , 在圓內(nèi)接梯形 ABCD 中 , AB//DC, 過點 A 作圓的切線與 CB 的延長線交于點 E. 若 AB = AD = 5, BE = 4, 則弦 BD 的長為 . (14) 設 a + b = 2, b0, 則 1 | |2| | aab?的最小值為 . 35 三．解答題 : 本大題共 6 小題 , 共 70 分 . 解答應寫出文字說明 , 證明過程或演算步驟 . (15) (本小題滿分 13 分 ) 某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標分別為 x, y, z, 用綜合指標 S = x + y + z評價該產(chǎn)品的等級 . 若 S≤4, 則該產(chǎn)品為一等品 . 現(xiàn) 從一批該產(chǎn)品中 , 隨機抽取 10 件產(chǎn)品作為樣本 , 其質(zhì)量指標列表如下 : 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3 A4 A5 質(zhì)量指標 (x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 產(chǎn)品編號 A6 A7 A8 A9 A10 質(zhì)量指標 (x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (Ⅰ ) 利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率 。 (Ⅱ ) 在該樣品的一等品中 , 隨機抽取 2 件產(chǎn)品 , (⒈ ) 用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果 。 (⒉ ) 設事件 B 為 ―在取出的 2 件產(chǎn)品中 , 每件產(chǎn)品的綜合指標 S 都等于 4‖, 求事件 B發(fā)生的概率 . (16) (本小題滿分 13 分 ) 在 △ABC 中 , 內(nèi)角 A, B, C 所對的邊分別是 a, b, c. 已知 sin 3 sinb A c B? , a = 3, 2cos3B?. (Ⅰ ) 求 b 的值 。 (Ⅱ ) 求 sin 23B ????????的值 . (17) (本小題滿分 13 分 ) 如圖 , 三棱柱 ABC