【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （ t 為參數(shù)）上，對(duì)應(yīng)參數(shù) 分別為 =t? 與 =2t ?（ 02???? ）， M 為 PQ 的中點(diǎn)。 （ Ⅰ ）求 M 的軌跡的參數(shù)方程； （ Ⅱ ）將 M 到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d 表 示為 ? 的函數(shù)，并判斷 M 的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)。 （ 24）（本小題滿分 10 分）選修 4——5；不等式選講 設(shè) a b c、 、 均為正數(shù)，且 1abc? ? ? ，證明： （ Ⅰ ） 13ab bc ac? ? ? ；（ Ⅱ ） 2 2 2 1abcb c a? ? ? 19 20 21 22 北京卷 第一部分 （選擇題 共 40 分） 一、 選擇題共 8 小題。每小題 5 分，共 40 分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。 （ 1）已知集合 A=｛ 1， 0， 1｝， B=｛ x|1≤ x1｝ ,則 A∩ B= ( ) （ A）｛ 0｝ （ B）｛ 1， ,0｝ （ C） {0， 1} （ D） ｛ 1， ,0， 1} （ 2）設(shè) a,b,c∈ R,且 ab,則 ( ) （ A） acbc （ B） （ C） a2b2 （ D） a3b3 （ 3）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間 (0,+ ∞ )上單調(diào)遞減的是 （ A） y= (B)y=e3 （ C） y=x2+1 (D)y=lg∣ x∣ （ 4）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) i（ 2i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 （ 5）在 △ ABC 中， a=3,b=5,sinA= ,則 sinB （ A） （ B） （ C） （ D） 1 （ 6）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 值為 （ A） 1 （ B） （ C） （ D） （ 7）雙曲線 x178。 =1 的離心率大于 的充分必要條件是 23 （ A） m＞ （ B） m≥ 1 （ C） m 大于 1 （ D） m＞ 2 (8)如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1中， P 為對(duì)角線 BD1的三等分點(diǎn)， P 到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有 （ A） 3 個(gè) （ B） 4 個(gè) （ C） 5 個(gè) （ D） 6 個(gè) 第二部分（非選擇題 共 110 分） 二、填空題共 6 題，每小題 5 分，共 30 分。 （ 9）若拋物線 y2=2px 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1,0）則 p=____。準(zhǔn)線方程為 _____ (10)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積 為__________. (11)若等 比數(shù)列｛ an｝滿足 a2+a4=20， a3+a5=40，則公比 q=__________。前 n 項(xiàng) sn=_____. (12)設(shè) D 為不等式組 ，表示的平面區(qū)域，區(qū)域 D 上的點(diǎn)與點(diǎn)（ L， 0）之間的距離的最小值為 ___________. (13)函數(shù) f（ x） = 的值域?yàn)?_________. （ 14）已知點(diǎn) A（ 1， 1）， B（ 3， 0）， C（ 2， 1） .若平面區(qū)域 D 由所有滿足 AP =λ AB+μ AC （ 1≤λ≤ 2， 0≤μ≤ 1）的點(diǎn) P 組成，則 D 的面積為 __________. 24 三 、解答題共 6小題，共 80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （ 15）（本小題共 13分） 已知函數(shù) f（ x） =（ 2cos2x1） sin2x= cos4x. （ 1） 求 f（ x）的最小正周期及最大值 （ 2） （ 2）若α ∈ （ ，π）且 f（α） = ，求α的值 (16)(本小題共 13 分 ) 下圖是某市 3 月 1 日至 14 日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于 100 表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200 表示空氣質(zhì)量重度污染，某人隨機(jī)選擇 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到達(dá)該市，并停留 2 天。 （ Ⅰ ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率 （ Ⅱ ）求此人在該市停留期間只有 1 天空氣重度污染的概率。 （ Ⅲ ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明） 17.（本小題共 14 分） 25 如圖，在四棱錐 PABCD 中， AB∥ CD,AB⊥ AD,CD=2AB,平面 PAD⊥ 底面 ABCD， PA⊥ 和F 分別是 CD 和 PC 的中點(diǎn)，求證： （ Ⅰ ） PA⊥ 底面 ABCD。 （ Ⅱ ） BE∥ 平面 PAD （ Ⅲ ）平面 BEF⊥ 平面 PCD. （ 18）（本小題共 13 分） 已知函數(shù) f(x)=x2+xsin x+cos x. （Ⅰ）若曲線 y=f(x)在點(diǎn) (a,f(a))處與直線 y=b 相切，求 a 與 b 的值。 （Ⅱ）若曲線 y=f(x)與直線 y=b 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求 b 的取值范圍。 （ 19）（本小題共 14 分） 直線 y=kx+m(m≠ 0)與橢圓 W: +y2 相交與 A， C 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原電。 （Ⅰ）當(dāng)點(diǎn) B 的左邊為（ 0， 1），且四邊形 OABC 為菱形時(shí)，求 AC 的長(zhǎng)； （Ⅱ）當(dāng)點(diǎn) B 在 W 上且不是 W 的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形 OABC 不可能為菱形。 （ 20）（本小題共 13 分） 給定數(shù)列 a1， a2，?， an。對(duì) i1， 2，? nl，該數(shù)列前 i 項(xiàng)的最大值記為 Ai，后 ni 項(xiàng)ai+1， ai+2，?， an 的最小值記為 Bi， di=niBi. （ Ⅰ ）設(shè)數(shù)列 {an}為 3， 4， 7， 1，寫出 d1， d2， d3 的值 . （ Ⅱ ）設(shè) a1， a2，?， an（ n≥ 4）是公比大于 1 的等比數(shù)列，且 a1＞ ： d1， d2，?dn1 是等比數(shù)列。 （ Ⅲ ）設(shè) d1， d2，? dn1 是公差大于 0 的等差數(shù)列，且 d1＞ 0，證明： a1， a2，?， an1是等差數(shù)列。 26 27 28 29 30 31 32 第 Ⅰ 卷 注意事項(xiàng)： 1. 每小題選出答案后 , 用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑 . 如需改動(dòng) , 用橡皮擦干凈后 , 再選凃其他答案標(biāo)號(hào) . 2. 本卷共 8 小題 , 每小題 5 分 , 共 40 分 . 參考公式 : 如果事件 A, B 互斥 , 那么 ) ( ) ( )( B P APA PB? ? ? 棱柱的體積公式 V = Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面積 , h 表示棱柱的高 . 如果事件 A, B 相互獨(dú)立 , 那么 ) ( ) (( )B P AA PP B? 球的體積公式 34 .3VR?? 其中 R 表示球的半徑 . 一．選擇題 : 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,只有一項(xiàng)是符合題目要求的 . (1) 已知集合 A = {x∈ R| |x|≤2}, B = {x∈ R| x≤1}, 則 A B?? (A) ( ,2]?? (B) [1,2] (C) [－ 2,2] (D) [－ 2,1] (2) 設(shè)變量 x, y 滿足約束條件 360,2 0,3 0,xyyxy ?? ? ??????????則目標(biāo)函數(shù) z = y－ 2x的最小值為 (A) － 7 (B) － 4 (C) 1 (D) 2 (3) 閱讀右邊的程序框圖 , 運(yùn)行相應(yīng)的程序 , 則輸出 n 的值為 (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (4) 設(shè) ,ab?R , 則 ― 2()0a b a? ? ‖是 ―ab? ‖的 (A) 充分而不必要條件 (B) 必要而不充分條件 (C) 充要條件 (D) 既不充分也不必要條件 (5) 已知過點(diǎn) P(2,2) 的直線與圓 225( 1)x y??? 相切 , 且與直線10ax y? ? ? 垂直 , 則 a? (A) 12? (B) 1 (C) 2 (D) 12 (6) 函數(shù) ( ) sin 24f x x ?????????在區(qū)間 0,2???????上的最小值是 (A) 1? (B) 22? (C) 22 (D) 0 (7) 已知函數(shù) ()fx是定義在 R 上的偶函數(shù) , 且在區(qū)間 [0, )?? 上 單調(diào)遞增 . 若實(shí)數(shù) a 滿足2 12( lo g ) ( lo g ) 2 (1 )f a f fa ??, 則 a 的取值范圍是 (A) [1,2] (B) 10,2??? ??? 33 (C) 1,22?????? (D) (0,2] (8) 設(shè)函數(shù) 22 , ( ) ln) 3( x x g x xx xfe ? ? ? ? ?? . 若實(shí)數(shù) a, b 滿足 ( ) 0, ( ) 0f a g b??, 則 (A) ( ) 0 ( )g a f b?? (B) ( ) 0 ( )f b g a?? (C) 0 ( ) ( )g a f b?? (D) ( ) ( ) 0f b g a?? 34 2020 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 (天津卷 ) 文 科 數(shù) 學(xué) 第 Ⅱ 卷 注意事項(xiàng)： 1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上 . 2. 本卷共 12 小題 , 共 110 分 . 二．填空題 : 本大題共 6 小題 , 每小題 5 分 , 共 30 分 . (9) i 是虛數(shù)單位 . 復(fù)數(shù) (3 + i)(1－ 2i) = . (10) 已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上 . 若球的體積為 92?, 則正方體的棱長(zhǎng)為 . (11) 已知拋物線 2 8y x? 的準(zhǔn)線過雙曲線 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的一個(gè)焦點(diǎn) , 且雙曲線的離心率為 2, 則該雙曲線的方程為 . (12) 在平行四邊形 ABCD 中 , AD = 1, 60BAD ???, E 為 CD 的中點(diǎn) . 若 1ACBE? , 則 AB 的長(zhǎng)為 . (13) 如圖 , 在圓內(nèi)接梯形 ABCD 中 , AB//DC, 過點(diǎn) A 作圓的切線與 CB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E. 若 AB = AD = 5, BE = 4, 則弦 BD 的長(zhǎng)為 . (14) 設(shè) a + b = 2, b0, 則 1 | |2| | aab?的最小值為 . 35 三．解答題 : 本大題共 6 小題 , 共 70 分 . 解答應(yīng)寫出文字說明 , 證明過程或演算步驟 . (15) (本小題滿分 13 分 ) 某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為 x, y, z, 用綜合指標(biāo) S = x + y + z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí) . 若 S≤4, 則該產(chǎn)品為一等品 . 現(xiàn) 從一批該產(chǎn)品中 , 隨機(jī)抽取 10 件產(chǎn)品作為樣本 , 其質(zhì)量指標(biāo)列表如下 : 產(chǎn)品編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 質(zhì)量指標(biāo) (x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 產(chǎn)品編號(hào) A6 A7 A8 A9 A10 質(zhì)量指標(biāo) (x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (Ⅰ ) 利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率 。 (Ⅱ ) 在該樣品的一等品中 , 隨機(jī)抽取 2 件產(chǎn)品 , (⒈ ) 用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果 。 (⒉ ) 設(shè)事件 B 為 ―在取出的 2 件產(chǎn)品中 , 每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo) S 都等于 4‖, 求事件 B發(fā)生的概率 . (16) (本小題滿分 13 分 ) 在 △ABC 中 , 內(nèi)角 A, B, C 所對(duì)的邊分別是 a, b, c. 已知 sin 3 sinb A c B? , a = 3, 2cos3B?. (Ⅰ ) 求 b 的值 。 (Ⅱ ) 求 sin 23B ????????的值 . (17) (本小題滿分 13 分 ) 如圖 , 三棱柱 ABC