直線與平面垂直的判定(編輯修改稿)
2025-05-27 03:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 。 必修 2 命題方向 線面角 [ 例 2] 在正方體 AB CD － A1B1C1D1中， ( 1) 求直線 A1C 與平面 AB CD 所成的角的正切． ( 2) 求直線 A1B 與平面 BD D1B1所成的角． 第二章 2． 3 2． 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 2 [ 分析 ] 求線面角的關(guān)鍵是找出直線在平面內(nèi)的射影，為此須找出過直線上一點的平面的垂線． (2) 中過 A1作平面BDD1B1的垂線，該垂線必與 B1D BB1垂直，由正方體的特性知，直線 A1C1滿足要求． 第二章 2． 3 2． 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 2 [ 解析 ] (1) ∵ 直線 A1A ⊥ 平面 ABCD ， ∴∠ A1CA 為直線 A1C與平面 ABCD 所成的角，設(shè) A1A ＝ 1 ，則 AC ＝ 2 ， ∴ tan ∠ A1CA＝22. (2) 連接 A1C1交 B1D1于 O ，在正方形 A1B1C1D1中， A1C1⊥B1D1， ∵ BB1⊥ 平面 A1B1C1D1， A1C1? 平面 A1B1C1D1， ∴ BB1⊥A1C1， 又 BB1∩ B1D1＝ B1， ∴ A1C1⊥ 平面 BDD1B1，垂足為 O . 第二章 2． 3 2． 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 2 ∴∠ A1BO 為直線 A1B 與平面 BDD1B1所成的角，在 Rt △A1BO 中， A1O ＝12A1C1＝12A1B ， ∴∠ A1BO ＝ 30176。 . 即 A1B 與平面 BDD1B1所成的角為 30176。 . 第二章 2． 3 2． 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 2 (201 1 － 2022 學(xué)年棗莊高一檢測 ) 如圖，在長方體 ABCD －A1B1C1D1中， AB ＝ BC ＝ 2 ， AA1＝ 1 ，則 AC1與平面 A1B1C1D1所成角的正弦值為 ( ) 第二章 2． 3 2． 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 2 A.2 23 B.23 C.24 D.13 [ 答案 ] D 第二章 2． 3 2． 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 2 [ 解析 ] ∵ AA1⊥ 平面 A1B1C1D1， ∴∠ AC1A1為直線 AC1與平面 A1B1C1D1所成角， ∵ AA1＝ 1 ， AB ＝ BC ＝ 2 ， ∴ AC1＝ 3 ， ∴ sin ∠ AC1A1＝AA1AC1＝13. 第二章 2． 3 2． 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 2 命題方向 線面垂直的實際應(yīng)用 [ 例 3] 有一根旗桿高 12 m ，在它的頂端處系兩條長 13 m的繩子，拉緊繩子，并把它們的下端固定在地面上與旗桿底端不共線的兩點處，測得這兩點和旗桿底端相距 5 m ，問能否由此斷定旗桿與地面垂直，為什么？ [ 分析 ] 轉(zhuǎn)化為判斷旗桿所在直線是否與地面內(nèi)兩相交直線垂直． 第二章 2． 3 2． 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 2 [ 解析 ] 如圖所示，設(shè)地面為平面 α ， PO 表示旗桿， PA ，PB 表示兩條繩子， A ， B ， O 三點不共線． 第二章 2． 3 2． 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 2 ∵ PO ＝ 12 m ， PA ＝ 13 m ， OA ＝ 5 m ， ∴ PO2＋ OA2＝ PA2. ∴∠ POA ＝ 90176。 ，即 OP ⊥ OA . 同理，可證 OP ⊥ OB . 又 ∵ OA ∩ OB ＝ O ， OA ? α ， OB ? α ， ∴ PO ⊥ α . 故由此能斷定旗桿與地面垂直． 第二章 2． 3 2． 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 2 如果 MC ⊥ 菱形 ABCD 所在平面，那么 MA 與 BD 的位置關(guān)系是 ( ) A ．平行 B ．垂直相交 C ．垂直但不相交 D ．相交但少 [ 答案 ] C 第二章 2． 3 2． 成才之路 數(shù)學(xué) 人教 A版 必修 2 如 圖，已知 P 是菱形 ABCD 所在平面外一點，且 PA ＝ PC ，求證： AC ⊥ 平面 PBD . 第二章 2． 3 2．
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