直接證明與間接證明(1)(編輯修改稿)
2025-05-27 02:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ， b ， c 為互不相等的實數(shù)， 求證： a4＋ b4＋ c4＞ ab c ( a ＋ b ＋ c) ． [ 分析 ] 從 已知不等式 a2＋ b2≥ 2ab 出發(fā)，一步步由因到果直至推出要證的結(jié)論． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 證明 ] ∵ a4＋ b4≥ 2a2b2， b4＋ c4≥ 2b2c2， c4＋ a4≥ 2a2c2. 又 a ， b ， c 互不相等， ∴ 上面三式中至少有一個式子不能取 “ ＝ ” 號， ∴ a4＋ b4＋ c4＞ a2b2＋ b2c2＋ c2a2① ∵ a2＋ b2≥ 2ab ， ∴ a2c2＋ b2c2≥ 2ab c2， 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 同理 a2b2＋ a2c2≥ 2a2bc ， b2c2＋ b2a2≥ 2ab2c ， ∴ a2b2＋ b2c2＋ c2a2≥ a b c2＋ a2bc ＋ ab2c ② 由 ①② 得 a4＋ b4＋ c4＞ ab c ( a ＋ b ＋ c) ． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 點評 ] ( 1) 綜合法也是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中常用的一種方法．它是一種從已知到未知 ( 從題設(shè)到結(jié)論 ) 的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷 ( 命題 ) 出發(fā)，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實性．簡言之，綜合法是一種由因索果的證明方法，其邏輯依據(jù)也是三段論式的演繹推理方法． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ( 2) 當用 a2＋ b2≥ 2ab ，a ＋ b2≥ ab (a ＞ 0 ， b ＞ 0) 這些不等式性質(zhì)來證明一個嚴格不等式 ( 不含 “ ＝ ” 號 ) 時，說明所應(yīng)用的不等式性質(zhì)中 “ ＝ ” 號不成立的原因是必須的 . 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 分析法 [ 例 2] 是否存在常數(shù) C ，使得不等式x2x ＋ y＋yx ＋ 2y≤ C ≤xx ＋ 2y＋y2x ＋ y對任意正數(shù) x ， y 恒成立？試證明你的結(jié)論． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 分析 ] 本題主要考查用分析法證明不等式及分析問題、解決問題的能力．可先令 x ， y 為具體的值，確定出常數(shù) C ，再給出一般證明． 令 x ＝ y ＝ 1 ，得23≤ C ≤23， ∴ C ＝23， 下 面給出證明： 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 證明 ] 先證明x2x ＋ y＋yx ＋ 2y≤23， 因為 x 0 ， y 0 ，要證：x2x ＋ y＋yx ＋ 2y≤23， 只需證 3x( x ＋ 2y ) ＋ 3y ( 2x ＋ y) ≤ 2 ( 2x ＋ y ) ( x ＋ 2y ) ， 即 x2＋ y2≥ 2xy ，這顯然成立， ∴x2x ＋ y＋yx ＋ 2y≤23. 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 再證：xx ＋ 2y＋y2x ＋ y≥23， 只需證： 3x ( 2x ＋ y) ＋ 3y ( x ＋ 2y ) ≥ 2( x ＋ 2y ) ( 2x ＋ y) ， 即 2xy ≤ x2＋ y2，這顯然成立， ∴xx ＋ 2y＋y2x ＋ y≥23. 綜上所述，存在常數(shù) C ＝23，使對任何正數(shù) x ， y 都有： x2x ＋ y＋yx ＋ 2y≤23≤xx ＋ 2y＋y2x ＋ y成立． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 點評 ] 當要證的不等式較復(fù)雜，兩端差異難以消 除或者已知條件信息量太少， 已知與待證間的聯(lián)系不明顯時，一般可采用分析法，分析法是步步尋求不等式成立的充分條件，而實際操作時往往是先從要證的不等式出發(fā)，尋找使不等式成立的必要條件，再考慮這個必要條件是否充分，這種 “ 逆求 ” 過程，能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，也是分析問題、解決問題時常用的思考方法． 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ( 文 ) 已知非零向量 a ， b 且 a ⊥ b ，求證|a |＋ |b ||a － b |≤ 2 . 第 12章 第五節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 證明 ] ∵ a ⊥ b ， ∴ a b ＝ 0. 要證|a |＋ |b ||a － b |≤ 2 ， 只需證 |a |＋ |b |≤ 2 |a － b |， 平方得 |a |2＋ 2| a || b |＋ |b |2≤ 2( a2－ 2 a b ＋ b2) ，
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