【文章內(nèi)容簡介】 的整個計算過程中非奇異。將上式修正為相關(guān)矩陣的過程叫做對角加載。 (532) )(n?河南工業(yè)大學(xué) 橫向濾波器抽頭輸入與期望響應(yīng)之間的 M １時間平均互相關(guān)向量 z(n)為 ????niin idiunz1* )()()( ? 它將不受正則化的影響 ， 此處依然假定使用預(yù)加窗法 。 根據(jù)前面討論過的最小二乘法 ， 可使用代價函數(shù)獲得最小值的最優(yōu) M １抽頭權(quán)向量 由正則方程定義 。 遞歸最小二乘問題的正則方程可用矩陣形式寫為： 這里的 Φ(n)和 z(n)分別由式 (532) 和式 (533) 決定。 )(^ nw)()()( nznwn ?? ?(533) (534) 河南工業(yè)大學(xué) 將對應(yīng)于 i=n的項與式 (532)右邊的求和項分開，可寫出 根據(jù)定義，上式右邊括號內(nèi)的表達(dá)式等于相關(guān)矩陣Φ(n1)。于是，可得用于更新抽頭輸入相關(guān)矩陣的遞歸公式 其中 Φ(n1)是相關(guān)矩陣的過去值，矩陣乘積 在更新過程中起著“修正”項的作用。注意，上式的遞歸過程與初始條件無關(guān)。 ?Φ(n)和 z(n)的遞歸算法 )()( nunu H)()()1()( nununn H????? ?)()(])([)(1111 nunuIiun HninHin ???? ?????? ???? (535) (536) 河南工業(yè)大學(xué) 類似地，可以導(dǎo)出抽頭輸入與期望響應(yīng)之間互相關(guān)向量的更新公式 )()()1()( * ndnunznz ??? ? 為了按式 (532)計算抽頭權(quán)向量 的最小二乘估計，必須確定相關(guān)矩陣 Φ(n)的逆。然而在實際中，我們通常盡量避免這樣做，因為這種運算非常耗時，特別是當(dāng)抽頭數(shù) M很大時。另外，我們希望能夠遞歸計算 n=1,2,… ∞時抽頭權(quán)向量 的最小二乘估計。我們發(fā)現(xiàn)，利用矩陣代數(shù)中矩陣求逆引理，可以實現(xiàn)上述兩個目標(biāo)。 )(^ nw)(^ nw(537) 河南工業(yè)大學(xué) 矩陣求逆引理 設(shè) A和 B是兩個 M M正定陣，它們之間的關(guān)系為 其中， D是 N M正定陣， C是 M N矩陣。根據(jù)矩陣求逆引理，可將 A的逆矩陣表示為 該引理在此不做證明，書中有介紹。在下一節(jié)，我們將說明怎樣應(yīng)用矩陣求逆引理，得到計算抽頭權(quán)向量 最小二乘解的遞歸公式。 HCCDBA 11 ?? ??BCBCCDBCBA HH 11 )( ?? ???)(^ nw(538) (539) 河南工業(yè)大學(xué) 指數(shù)加權(quán)遞歸最小二乘算法 假定相關(guān)矩陣 Φ(n)是非奇異的，因而它可逆。我們對式 (536) 所表示的遞歸方程應(yīng)用矩陣求逆引理，首先做如下設(shè)定 1)()1()(1????????DnuCnBnA?河南工業(yè)大學(xué) 然后，將這些定義代入矩陣求逆引理，可得計算相關(guān)矩陣逆陣的遞歸方程如下 為了方便計算，令 和 )()1()(1)1()()1()1()(11112111nunnunnunnnH ???????????????????????)()( 1 nnP ???)()1(1)()1()(11nunPununPnKH ????????(540) (541) (542) 河南工業(yè)大學(xué) )1()()()1()( 11 ???? ?? nPnunKnPnP H??)()]1()()()1([)()1()()()()1()(1111nunPnunKnPnunPnunKnunPnKHH????????????????用上面的定義，可將式 (540)改寫為 M M矩陣 P(n)叫做逆相關(guān)矩陣， M 1向量 K(n)叫做增益向量，后面將會解釋這樣叫的原因。式 (543)是RLS算法的 Riccati 方程。整理 K(n)表達(dá)式 ，可得 (543) (544) 河南工業(yè)大學(xué) )()( 1 nnP ???)()()( 1 nunnK ???換句話說，增益向量 K(n)可以定義為經(jīng)相關(guān)矩陣Φ(n)逆矩陣變換的抽頭輸入向量 u(n). 這一結(jié)論，連同 可以用來定義增益向量 我們可以將上式簡化為 K(n)=P(n)u(n) (545) (546) 河南工業(yè)大學(xué) ?抽頭權(quán)向量的時間更新 下面，我們要導(dǎo)出更新抽頭權(quán)向量最小二乘估計 的遞歸公式。為此，用式 (532)、式 (537)、式 (541)來表示 抽頭權(quán)向量 n次迭代時的最小二乘估計 )(^ nw)()()()1()()()()()()(?*1ndnunPnznPnznPnznnw????????(547) 將式 (547)右邊第一項中 P(n)用式 (543)代替，可得 河南工業(yè)大學(xué) )()()()1()()()1()()()()1()1()()()1()1()()()()1()1()()()1()1()(*^^*11*^ndnunPnwnunKnwndnunPnznnunKnznndnunPnznPnunKnznPnwHHH???????????????????????最后，應(yīng)用 P(n)u(n)等于增益向量 K(n)，可得更新抽頭向量的遞歸方程為 )()()1()]1()()()[()1()(^^^^nnKnwnwnundnKnwnw H???????????(548) (549) 河南工業(yè)大學(xué) 其中 )()1()()1()()()(^^nunwndnwnundnHT?????? ??是一個先驗估計誤差。內(nèi)積 表示基于 n1時刻抽頭權(quán)向量最小二乘估計舊值的期望響應(yīng) d(n)的估值。 根據(jù)調(diào)整抽頭權(quán)向量的表達(dá)式和表示先驗估計誤差的表達(dá)式可用圖 56 (a)所示的框圖表示遞歸最小二乘算法。 )()1(? H nunw ?(550) 河南工業(yè)大學(xué) 一般說來，先驗估計誤差 ξ(n)不同于下式 (551)的后驗估計誤差 其計算設(shè)計抽頭權(quán)向量在時刻 n（當(dāng)前時刻）的最小二乘估計。實際上，我們可以將 ξ(n)視為更新抽頭權(quán)向量之前 e(n)的暫時值。但要注意的是，在導(dǎo)出式 (549)遞歸算法的最小二乘優(yōu)化問題中，我們實際上是基于 e(n)而不是基于 ξ(n)使代價函數(shù)ξ(n)最小 。 )()(?)()( nunwndne H?? (551) 河南工業(yè)大學(xué) 輸出 橫向濾波器 輸入向量 U(n) )()1(^ nunw H ?自適應(yīng)權(quán)值控制機制 ∑ )1(^ ?nw誤差 ξ(n) 期望響應(yīng) d(n) 圖 56(a)框圖 RLS算法 + ∑ ∑ K(n) Iz1? )(nwH)(nd? )(n?? )()( nkn??)(ny?)(^ nw增益 圖 56(b)信號流圖 + )1(? ?nw河南工業(yè)大學(xué) ?RLS算法小結(jié) 式 (542) ,(543), (549), (550)組成了 RLS算法，并在表 (51)中總結(jié)。特別要注意的是，式(550)表述了該算法的濾波過程，據(jù)此激勵橫向濾波器以計算先驗估計誤差 ξ(n) 。式 (549) 描述了算法的自適應(yīng)過程，據(jù)此可通過在其過去值的基礎(chǔ)上增加一個量來遞推抽頭權(quán)向量，該量等于先驗估計誤差 ξ(n)復(fù)共軛與時變增益向量 K(n)的乘積 (“增益向量 ” 由此得名 )。 河南工業(yè)大學(xué) 式 (542) ,(543),使得我們能夠更新增益向量本身。上述 RLS算法的一個重要特點是，每一次迭代中的相關(guān)矩陣 Φ(n)的逆矩陣為簡單的標(biāo)量相除所代替。圖 (56a) 給出 RLS算法的框圖，圖 (56b)則是 RLS算法的信號流圖。 IPw1^)0(0)0(????表 1 RLS算法小結(jié) 算法初始化 ????時取大的正常數(shù)低時取小的正常數(shù)高S N RS N R?河南工業(yè)大學(xué) )1n(P)n(u)n(K)1n(P)n(P)n()n(K)1n(w)n(w)n(u)1n(w)n(d)n()n()n(u)n()n(K)n(u)1n(P)n(,2,1nH11^^^HH??????????????????????????和計算對每一時刻， ? 表 1續(xù) 河南工業(yè)大學(xué) 注意，在表 1的總結(jié)中，增益向量 K(n)的計算分兩步進行： ?首先，計算用 表示的中間量。 ?第二，用 計算 K(n) 從有限精度運算的角度看，分兩步計算 K(n)比直接用式 (525)計算 K(n)更可取。 為對 RLS濾波器進行初始化，需要指定兩個量： ?初始權(quán)向量 。習(xí)慣上令 。 ?初始相關(guān)矩陣 Φ(n)。令式 (58)中的 n=0，如果使用預(yù)加窗，可以得到 其中 δ 是正則化參數(shù)。參數(shù) δ的設(shè)定與信噪比有關(guān)，高信噪比時取小值；低信噪比時則取較大值。這樣做的合理性可以在正則化的意義得到證明。 )0(^w 0)0(^ ?wI??? )0()(n?)(n?河南工業(yè)大學(xué) 正則化參數(shù)的選擇 在 Moustakides的詳細(xì)研究 (1997)中，評價了在平穩(wěn)環(huán)境下 RLS算法的收斂性能， 它有兩個特殊的可變參數(shù)： ?抽頭輸入數(shù)據(jù)的信噪比 (SNR)，這個量由流行的運行條件決定。 ?正則化參數(shù) δ ，它由設(shè)計人員控制。 河南工業(yè)大學(xué) 為了總結(jié) Moustakides研究成果的實驗條件，用