【文章內(nèi)容簡介】 111 ??? ??? ，倒易點陣 從矢量的“點積”關系可知， a*同時垂直 b、 c，因此 a*垂直 b、 c所在的平面，即垂直（ 100）晶面。同理， b*垂直（ 010） 晶面， c*垂直（ 001）晶面。 從倒點陣的定義還可看出， 正點陣和倒點陣是互為倒易 的。另外，還可通過矢量運算證明，正點陣的陣胞體積 V和倒點陣的陣胞體積 V*具有互為倒數(shù)的關系，即： V = 1/V*。 從倒點陣的定義經(jīng)運算還可以得到倒點陣的點陣常數(shù) a*、 b*、 c*、α*、 β*、 γ*和正點陣的點陣常數(shù)的關系如下： a* = bcsinα/V， b* = casinβ/V， c* = absinα/V， cosα* = （ cosβcosγ － cosα） /（ sinβsinγ）， cosβ* =（ cosαcosγ － cosβ） /（ sinαsinγ）， cosγ* =（ cosacosβ － cosγ） /（ sinαsinβ）。 從 c*與正點陣的關系圖可以看出： c在 c*方向的投影 OP為 （ 001） 晶面的面間距 ， 即： OP = d001。 同理可得 a在 a*方向的投影為 （ 100） 晶面的面間距 d100； 及 b在 b*方向的投影為 （ 010） 晶面的面間距 d010。 p ? 根據(jù)定義在倒易點陣中 ,從倒易原點到任一倒易點的矢量稱倒易矢量 r*hkl ? r*hkl = ? 可以證明 : ? 1. r*矢量的長度等于其對應晶面間距的倒數(shù) ? r*hkl =1/dhkl ? ? r*//N(晶面法線 ) ??? ?? lckbha倒易點陣性質(zhì) 倒易陣點與正點陣（ HKL）晶面的對應關系 ： r*的基本性質(zhì)確切表達了其與（ HKL）的一一對應關系，即一個 r*與一組（ HKL）對應； r*的方向與大小表達了（ HKL）在正點陣中的方位與晶面間距；反之，（ HKL）決定了 r*的方向與大小。 r*的基本性質(zhì)也建立了作為終點的倒易（陣）點與（ HKL）的一一對應關系： 正點陣中每一組（ HKL）對應著一個倒易點 ，該倒易點在倒易點陣中坐標（可稱陣點指數(shù)）即為（ HKL）；反之，一個陣點指數(shù)為 HKL的倒易點對應正點陣中一組（ HKL），（ HKL）方位與晶面間距由該倒易點相應的決定。 倒易點陣的建立： 若已知晶體點陣參數(shù)，由公式即可求得其相應倒易點陣參數(shù)，從而建立其倒易點陣。也可依據(jù)與（ HKL）的對應關系，通過作圖法建立倒易點陣。即在正點陣中取若干不同方位的（ HKL），并據(jù)其作出對應的倒易點，各終點的陣列即為倒易點陣． 倒易點陣性質(zhì) 晶面與倒易結點的關系 H 熱能 入射 X射線強度為 I0 透過 X射線強度為 I = I0euH 熒光 X射線 光電子 散射 X射線 X射線與物質(zhì)的相互作用 當入射 X射線光子與物質(zhì)中的某些電子 （ 例如外層電子 ） 發(fā)生碰撞時 ， 由于這些電子與原子間的結合松弛 ， 可以近似地看成是自由電子 ， 碰撞的結果 ， X射線光子將一部分能量傳遞給電子 ， 使電子脫離原子而形成 反沖電子 ， 同時光子本身也改變了原來的前進方向 ，發(fā)生了散射 。 這種散射由于各個光子能量減小的程度各不相同 ， 即每個散射光子的波長彼此不等 ， 因此相互不會發(fā)生干涉 ， 故稱為 非相干散射 。 非相干散射線的波長比入射 X射線的能量小 、 波長大 。 在 X射線衍射分析中只增加連續(xù)背景 ， 給衍射圖帶來不利影響 。 非相干 散射 非相干散射由康普頓發(fā)現(xiàn)，又稱康普頓 吳有訓散射。 散射 X射線的波長（ λ’）比入射 x射線的波長（ λ）長，其差值與角度 α之間存在如右關系： 非相干散射在衍射圖相上成為連續(xù)的背底，其強度隨（ sinθ/λ）的增加而增大，在底片中心處（ λ射線與底片相交處）強度最小， α越大，強度越大。 ? ????? co s10 2 4 39。 ????? 非相干 散射 當入射 X光子與物質(zhì)中的某些電子（例如內(nèi)層電子）發(fā)生碰撞時，由于這些電子受到原子的強力束縛，光子的能量不足以使電子脫離所在能級的情況下，此種碰撞可以近似地看成是剛體間的彈性碰撞，其結果僅使光子的前進方向發(fā)生改變，即發(fā)生了散射，但光子的能量并未損耗，即散射線的波長等于入射線的波長。此時各散射線之間將相互發(fā)生干涉，故成為 相干散射 。 相干散射是引起晶體產(chǎn)生衍射線的根源 。 相干散射又稱為湯姆遜散射。 相干散射 X射線是一種波長很短的 電磁波 ， 當 X射線通過晶體時 ,晶體中的電子均處于周期性變化的電磁場作用下， 帶負電的電子受電磁場的作用其運動速度必產(chǎn)生周期性的變化。 根據(jù)經(jīng)典電動力學的原理 , 速度發(fā)生周期性變化的電子 , 也即按一定的周期作振動運動的電子，它 本身就是發(fā)射球面電磁波的波源 。 相干散射的本質(zhì) 由于電子隨著入射 X射線的電場起伏、振動，其振動頻率和相位與入射 X射線相一致。 這樣 , 由于電子振動產(chǎn)生的球面波的散射 X射線與入射 X射線相同，并且還繼承了原入射 X射線的頻率和相位。 由于晶體具有點陣結構，各晶胞散射的X射線在給定的方向有固定的光程差，當 光程差為波長的整數(shù)倍時 ，各散射 X射線之間有最大程度的相互加強。 結晶學將最大程度的加強稱為 衍射 ， 發(fā)生最大程度加強的方向稱為 衍射方向 。 沿衍射方向前進的波稱之為 衍射波 。 測定衍射的方向可以決定 晶胞的形狀和大小 。 衍射就是相干的散射 一個顆粒 晶體材料 各個方向的散射 . 散射波在某些特定的方向增強 ， 在其它方向相消 。 布拉格定律 是 衍射幾何規(guī)律 的表達式。 基于以下幾點假設 ： 1. 原子不做熱運動，按理想空間方式排列。 2. 原子 是幾何點，電子集中在點上散射。 3. 入射的 X射線嚴格平行，且具有嚴格的單一波長。 布拉格定律 首先考慮一層原子面上散射 X射線的干涉。當 X射線以 θ角入射到原子面并以 β角散射時，相距為 a的兩原子散射 x射的光程差為： 當光程差等于波長的整數(shù)倍（ nλ）時 ，在 角方向散射干涉加強。即程差 δ = 0，從上式可得 θ = β。也就是說， 當入射角與散射角相等時，一層原子面上所有散射波干涉將會加強。與可見光的反射定律相類似，X射線從一層原子面呈鏡面反射的方向，就是散射線干涉加強的方向，因此，常將這種散射稱從晶面反射。 )c o s( c o s ??? ?? a布拉格方程的導出 X射線有強的穿透能力，在 X射線作用下晶體的散射線來自若干層原子面，除同一層原子面的散射線互相干涉外，各原子面的散射線之間還要互相干涉。這里只討論兩相鄰原子面的散射波的干涉。過 D點分別向入射線和反射線作垂線，則 AD之前和 CD之后兩束射線的光程相同，它們的程差為 δ = AB + BC = 2dsinθ。 布拉格方程的導出 D A B C 當光程差等于波長的整數(shù)倍時，相鄰原子面散射波干涉加強，即干涉加強條件（ 布拉格方程 ）為： 式中： n整數(shù)，“反射” 級數(shù) （衍射級數(shù)）。一組（ hkl）隨 n值的不同，可能產(chǎn)生 n個不同方向的反射線。 θ掠射角、布拉格角、半衍射角。 2θ稱為衍射角。 d晶面間距， λX射線波長。 這個關系式首先由布拉格父子導出，故稱為布拉格方程。同時期俄國晶體學家吳里夫（ BУ??БФ． T． B．） 也獨立地推導出了這個關系式，因此也稱之為吳里夫 布拉格方程。 布拉格方程的導出 X射線在晶體中的衍射， 實質(zhì)上是晶體中各原子相干散射波之間互相干涉的結果 。但因衍射線的方向恰好相當于原子面對入射線的反射，故可用布拉格定律代表反射規(guī)律來描述衍射線束的方向。 在以后的討論中，常用“反射”這個術語描述衍射問題，或者將“反射”和“衍射”作為同義詞混合使用。 但應強調(diào)指出， X射線從原子面的反射和可見光的鏡面反射不同 ，前者是有選擇地反射，其選擇條件為布拉格定律；而一束可見光以任意角度投射到鏡面上時都可以產(chǎn)生反射，即反射不受條件限制。 因此，將 X射線的晶面反射稱為 選擇反射 ，反射之所以有選擇性，是晶體內(nèi)若干原子面反射線干涉的結果。 布拉格定律的討論 — 選擇反射 由布拉格公式 2dsinθ = nλ可知， sinθ = nλ/2d，因 sinθ 1，故 nλ/2d 1。 為使物理意義更清楚， 現(xiàn)考慮 n = 1（即 1級反射）的情況，此時 λ/2 d， 這就是能產(chǎn)生衍射的限制制條件。 它說明用波長為的 X射線照射晶體時，晶體中只有面間距 d λ/2的晶面才能產(chǎn)生衍射。 例如的一組晶面間距從大到小的順序： ， ， 197。， 197。， 197。， 197?！?當用波長為λkα = ，因 λkα/2 = ，只有四個 d大于它，故產(chǎn)生衍射的晶面組有四個。如用銅靶進行照射， 因 λkα/2 = ， 故前六個晶面組都能產(chǎn)生衍射。 布拉格定律的討論 — 限制條件 布拉格定律的討論 — 干涉面和干涉指數(shù) 布拉格方程中的 n稱為反射級數(shù)。由兩個平行晶面反射出的 X射線束，其波程差用波長去量度所得的整份數(shù)就等于 n。 假設 X射線照射到晶體的（ 100）面，而剛好能發(fā)生二級反射 ，則： 2d100sinθ = 2λ (1) 假設在每兩個（ 100）晶面中間插入一組原子分布與之完全相同的面（ 200），此時相當于（ 200）發(fā)生了一級反射，則有： 2d200sinθ = λ 又可以寫作： 2 (d100/2) sinθ = λ (2) 式 （ 1）（ 2） 相當。 為了使用方便， 常將布拉格公式改寫成。 如令 ，則 這樣由（ hkl）晶面的 n級反射，可以看成由面間距為的（ HKL）晶面的 1級反射，（ hkl）與（ HKL）面互相平行。 ?? ?s in2 nd h k lndd h k lH KL ? ?? ?s in2 H K Ld布拉格定律的討論 — 干涉面和干涉指數(shù) 面間距為 dHKL的晶面不一定是晶體中的原子面，而是為了簡化布拉格公式而引入的反射面，常將它稱為 干涉面 。 干涉指數(shù)有公約數(shù) n，而晶面指數(shù)只能是互質(zhì)的整數(shù)。當干涉指數(shù)也互為質(zhì)數(shù)時，它就代表一組真實的晶面，因此，干涉指數(shù)為晶面指數(shù)的推廣，是 廣義的晶面指數(shù) 。 布拉格定律的討論 — 干涉面和干涉指數(shù) 晶面間距是指兩個相鄰的平行晶面間的垂直距離，通常用dhkl或簡寫為 d來表示。各晶系的面間距有不同的公式，如： 立方晶系 正 方晶系 斜方晶系 六方晶系 晶面間距 從 2dsinθ = λ看出，波長 λ選定之后，衍射線束的方向（用 θ表示）是晶面間距 d的函數(shù)。如將立方、正方、斜方晶系的面間距公式代入布拉格公式，并進行平方后得： ?立方晶系 ?正方晶系 ?斜方晶系 從上面三個公式可以看出，波長選定后， 不同晶系或同一晶系而晶胞大小不同的晶體，其衍射線束的方向不相同 。因此，研究衍射線束的方向， 可以確定晶胞的形狀大小 。另外，從上述三式還能看出，衍射線束的方向 與原子在晶胞中的位置和原子種類無關 ，只有通過衍射線束強度的研究，才能解決這類問題。 ? ?22222 4s in 2 LKHa ??? ?????????? ???22222224s in cLaKH?????????? ???222222224s in cLbKaH??布拉格定律的討論 — 衍射方向和晶體結構的關系 布拉格方程是 X射線衍射分布中最重要的基礎公式，它形式簡單，能夠說明衍射的基本關系，所以應用非常廣泛。從實驗角度可歸結為兩方面的應用： 一方面是用 已知波長 的 X射線去照射晶體，通過衍射角的測量求得晶體中各晶面的 面間距 d，這就是結構分析 —— X射線衍射學 ； 另一方面是用一種 已知面間距 的晶體來反射從試樣發(fā)射出來的 X射線，通過衍射角的測量