高等代數(shù)張禾瑞版教案-第4章線性方程組(編輯修改稿)
2025-05-14 13:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 秩A來(lái)表示。 顯然，只有當(dāng)一個(gè)矩陣的元素都是零時(shí)，這個(gè)矩陣的秩才能是零。 這樣，在矩陣（3）中出現(xiàn)的整數(shù)r，在任何情形（包括r=0的情形），都等于矩陣（3）的秩。 現(xiàn)在我們要證明，r也是線性方程組（1）的系數(shù)矩陣（2）的秩，因此r是由系數(shù)矩陣唯一決定的。 初等變換不改變矩陣的秩。證 我們先說(shuō)明以下事實(shí)：若是對(duì)一個(gè)矩陣A施行某一種行或列初等變換而得到矩陣B，那么對(duì)B施行同一種初等變換又可以得到A。事實(shí)上，若是變換A的第I行與第j行乘以一個(gè)不等于零的數(shù)a而得到B，那么把B的第i行乘以就又得到A；若是把A的第j行乘以—K加到第I行就又得到A。列初等變換的情形顯然完全一樣。 現(xiàn)在我們就第三種行初等變換來(lái)證明定理。 設(shè)把一個(gè)矩陣A的第j行乘以數(shù)k 加到第I行而得到矩陣B： ………… ………………… ai1……ain a i1+kaj1 …ain+kajn A=……………, B= …………………aj1……ajn aj1 ajn ……………… 并且A的秩是r。我們要證明，B的秩的秩也是r。我們先證明，B的秩不能超過(guò)r, 若是矩陣B沒(méi)有階數(shù)大于r的子式，那么它當(dāng)然也沒(méi)有階數(shù)大于r的不等于零的子式，因而它的秩顯然不能超過(guò)r. 設(shè)矩陣B有s階子式D，而sr,那么有三種可能情形。(i) D不含第I行的元素：這時(shí)D盧是矩陣A的一個(gè)s階子式，而s大于A有秩，因此D=0。(ii) D含第I行的元素，也含第j 行的元素，這時(shí)，,得 ………………………… ……………… ait1+kajt1…aits+kajts ait1…ajts D= ………………………… = ……………… =0 ajt1…ajts aji1……ajts………………………… ………………因?yàn)楹笠恍辛惺绞蔷仃囀蔷仃嘇的一個(gè)s階子式。(iii) D含第I行的元素，但不含第j行的元素。這時(shí) ……………………D= ait1+kajt1…aits+kajts =D1+KD2， ……………………這里 ………………… ………… D1= ait1 … aits D2= ajt1 … ajts ………………… …………由于D1是矩陣A的一個(gè)s階子式，而D2與A的一個(gè)s階子式最多差一個(gè)符號(hào)，所以這兩個(gè)行列式都等于零，從而D=0。 因此，在矩陣B有階數(shù)大于r 的子式的情形，B的任何這樣的子式都等于零，而B(niǎo)的秩也不能超過(guò)r. 這樣，在任何情形，我們都有，秩B 〈=秩A。 但我們也可以對(duì)矩陣B施行第三種行初等變換而得到矩陣A。因此，我們也有，秩A〈=B。 這樣我們就證明了，秩A=秩B，即第三種行初等變換不改變矩陣的秩。 對(duì)其它初等變換來(lái)說(shuō)，我們可以完全類(lèi)似地證明定理成立。 （線性方程組可解的判別法）線性方程組（1）有解的充分且必要條件是：它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。 證 用表示方程組（1）的增廣矩陣： a11 a12 …… a1n b1= a21 a12 …… a2n b2
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