高等代數(shù)張禾瑞版教案-第4章線性方程組-展示頁
2025-04-26 13:05本頁面
【正文】 矩陣和增廣矩陣。注意： 矩陣和行列式雖然形式上有寫類似，但有完全不同的意義。t）矩陣。2) 用一個(gè)不等于零的數(shù)乘某一個(gè)方程。 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2。熟練地掌握用消元發(fā)解線性方程組，以及判斷線性方程組有沒有解和解的個(gè)數(shù)。第四章 線 性 方 程 組 消元法教學(xué)目的：掌握線性方程組的和等變換，矩陣的初等變換等概念。理解線性方程組的和等變換是同解變換，以及線性方程組的初等變換可用增廣矩陣的相應(yīng)的行初等變換代替。設(shè)方程組: a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1。 (1) ……………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn=bm.1 線性方程組的初等變換:例1 解線性方程組: x1 + x + x=1 (2) x1+ x +3 x=32x1+ x+5 x=2從第一和第三方程分別減去第二個(gè)方程的倍和2倍,來消去前兩個(gè)方程中的未知量x(即把x的系數(shù)化為零).我們得到: x1 x= x1+ x+3 x=32 x x=4為了計(jì)算的方便,我們把第一個(gè)方程乘以2后,與第二個(gè)方程交換,得: x1+ x+3x= 3x+ x= 12x x=4把第二個(gè)方程的2倍加到第三個(gè)方程,來消去后一方程中的未知量x,我們得到:x+x+3x= 3 x+ x= 1 x=2,再從第二個(gè)方程減去第三個(gè)方程(相當(dāng)于把x的值2代入第一和第二個(gè)方程),得x+x=9x=3x=2再從第一個(gè)方程減去第二個(gè)方程的倍(相當(dāng)于把x的值3代入第一個(gè)方程),得 x=4x=3x=2這樣我們就求出了方程組(2)的解.分析一下以上的例子,我們看到,我們對方程組施行了三種變換:1) 交換兩個(gè)方程的位置。3) 用一個(gè)數(shù)乘某一個(gè)方程后加到另一個(gè)方程.我們把這三種變換叫做線性方程組的初等變換.由初等代數(shù)知道,以下定理成立. 初等變換把一個(gè)線性方程組邊為一個(gè)與它同解的線性方程組.2 矩陣： 利用線性方程組(1)的系數(shù)可以排成如下的一個(gè)表:(3) ,而利用(1)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)又可以排成下表:(4) .定義1 由st個(gè)數(shù)c排成一個(gè)s行t列的表叫作一個(gè)s行t列（或s180。叫作這個(gè)矩陣的元素。一個(gè)行列式是一些數(shù)的代數(shù)和，而一個(gè)矩陣僅僅是一個(gè)表。一個(gè)線性方程組的增廣矩陣顯然完全能夠代表這個(gè)方程組，我們按照線性方程組的初等變換引入矩陣的初等變換的概念定義2： 矩陣的行（列）初等變換指的是對一個(gè)矩陣施行的下列變換： 1) 交換矩陣的兩行（列）。顯然，對一個(gè)線性方程組施行一個(gè)初等變換，相當(dāng)于對它的增廣矩陣施行一個(gè)對應(yīng)的行初等變換，而化簡線性方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡它的增廣矩陣。這樣作，不但討論起來比較方便，而且能夠給予我們一種方法，就一個(gè)線性方程組的增廣矩陣來解這個(gè)線性方程組，而不必每次把未知量寫出。在對一個(gè)線性方程組施行初等變換時(shí)，我們的目的是消去未知量，也就是說，把方程組的左段化簡。在此，為了敘述方便，除了行初等變換外，我們還允許交換矩陣的兩列，即允許施行第一種初等變換。在例1里，我們曾把方程組（2）的系數(shù)矩陣 。但我們有 設(shè)A是一個(gè) m行n列矩陣： A=通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式：（5）r行 進(jìn)而化為以下形式： (6) 這里r≥0,r≤m,r≤n,*表示矩陣的元素，但不同位置的*表示的元素未必相同。設(shè)某一不等于零。用乘第一行，然后由其余各行分別減去第一行的適當(dāng)倍數(shù)，矩陣A化為 B=。設(shè)在B的后m1行中有一個(gè)元素b不為零。如此繼續(xù)下去，最后可以得出一個(gè)形如（5）的矩陣。我們只要由第一，第二，…，第r1行分別減去第 r行的適當(dāng)倍數(shù)，再由第一、第二，……第 r2行分別減去第r1行的適當(dāng)倍數(shù)，等等?，F(xiàn)在考察方程組（1）的增廣矩陣（4）。對增廣矩陣（4）施行同樣的初等變換，那么（4）化為以下形式的矩陣： （7）與（7）相當(dāng)?shù)木€性方程組是 ++….+= ++….+=（8） …………………………………….. ++….+= 0=
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1