高等代數(shù)張禾瑞版教案-第4章線性方程組-閱讀頁
2025-05-02 13:05本頁面
【正文】 的情形是明顯的，我們不必加以討論。 設(shè)方程組（1）有解，它的系數(shù)矩陣A與增廣矩陣的共同秩是r≠（1）的m 個方程中選出r個方程，使得剩下的mr個方程中的每一個都是這r個方程的結(jié)果，因而解方程組（1）可以歸結(jié)為解由這r個方程所組成的線性方程組?？矗?）的后mr個方程的任一個，例如第i（ri=m）個方程 ai1x1+…airxr+ai,r+1xr+1+…ainxn=bi.,我們需要證明，存在r個數(shù)k1,k2…,kr,使得Gi= k1 G1+ k2 G2+……+ krGr亦即使 a11k1 + a21k2+… ar1kr=ai1 ………………………………… a1rk1 + a2rk2+… arrkr=air,(4) a1,r+1k1 + a2,r+1k2+… ar,r+1kr=ai,r+1 ………………………………… a1nk1 + a21k2+… arnkr=ain b1k1 + b2k2+… brkr=ai,為此我們把k1,k2…,kr看作未知量，而來證明線性方程組（4）有解。r+1的子式,所以和B的秩都是r,而方程組(4)有解.這樣我們就證明了,方程組(1)的后mr個方程都是前r個方程的結(jié)果,而解方程組(1)歸結(jié)為解方程組(3).(1)的公式解:我們還是假定方程組(1),解方程組,=n和rn的情形.若是r=n,那么(3)就是方程個數(shù)等于未知量個數(shù)的一個線性方程組,并且它的系數(shù)行列式,所以(3)有唯一解,(1)的唯一解. 現(xiàn)在設(shè)rn,這時方程組(3)(3)中把含未量的項移到右邊,方程組(3)可以寫成:暫時假定是數(shù),（5） 這里 把 (5)中的行列式展開,(5)可以寫成 （6） ………………………………………這里和都是可以由方程組（1）（6）中看成未知量,那么（6）,方程組（6）和（3）方程組同解,因而和方程組(1)同解,正如用消元法解線性方程組的情形一樣,方程組(6)給出方程組(1)的一般解,而是自由未知量,要求方程組(1)的一個解,只需給予自由未知量任意一組數(shù)值,然后由(6)算出未知量的對應(yīng)值,并且(1)的所有解都可以這樣得到.由于(6)的系數(shù)和常數(shù)項都可由方程組()1的系數(shù)和常數(shù)項表出,所以(6)或它的前身(5)都給出求方程組(1)的解的公式.例2 已知線性方程組 (7) 的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都是2,并且行列式 求解這個方程組的公式,并求出一個解.,解方程組(7),移到右邊,得用克萊姆法則解出,得 即: 令我們就得到方程組的一個解： :定義 若是一個線性方程組的常數(shù)項都等于零,那么這個方程組叫作一個齊次線性方程組.我們看一個齊次線性方程組. （8） …………………………………… 這個方程組永遠有解:顯然 就是方程組（8）（8）還有其它解,.我們常希望知道, 一個齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是:它的系數(shù)矩陣的秩r小于它的未知量的個數(shù)n.證 當r=n時,方程組只有唯一解,它只能是零解.當rn時,方程組有無窮多解,因而它除零解外,必然還有非零解.我們常要用到以下兩個推論. 含n有個未知量m個方程的齊次線性方程組有非零碎解的充分且必要條件是:方程組的系數(shù)行列式等到于零.因為在這一情況下,方程組的系數(shù)行列式等到于零就是說,方程組的系數(shù)矩陣的秩小于n. 若在一個齊次線性方程組中,方程的個數(shù)m小于未知量的個數(shù)n,那么這個方程組一定有非零解.因為在這一情況,方程組的系列化數(shù)矩陣的秩r不能超過m,因而一定小于n
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