高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十講：抽象函數(shù)問題的題型綜述(編輯修改稿)
2025-05-14 13:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 分析：的圖象過點(diǎn)（0，1），從而的圖象過點(diǎn)，由原函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關(guān)系易知，的反函數(shù)的圖象必過定點(diǎn)。 10. 求解析式 例15. 設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，與的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù) A. B. C. D. 分析：要求的解析式，實(shí)質(zhì)上就是求圖象上任一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。 點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)適合，即。 又， 即，選B。抽象函數(shù)的周期問題——由一道高考題引出的幾點(diǎn)思考 2001年高考數(shù)學(xué)（文科）第22題：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱。對任意都有。 （I）設(shè)求； （II）證明是周期函數(shù)。 解析：（I）解略。 （II）證明：依題設(shè)關(guān)于直線對稱 故 又由是偶函數(shù)知 將上式中以代換，得 這表明是上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期 是偶函數(shù)的實(shí)質(zhì)是的圖象關(guān)于直線對稱 又的圖象關(guān)于對稱，可得是周期函數(shù) 且2是它的一個周期 由此進(jìn)行一般化推廣，我們得到 思考一：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。 證明：關(guān)于直線對稱 又由是偶函數(shù)知 將上式中以代換，得 是上的周期函數(shù) 且是它的一個周期 思考二：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于直線和對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。 證明：關(guān)于直線對稱 將上式的以代換得 是上的周期函數(shù) 且是它的一個周期 若把這道高考題中的“偶函數(shù)”換成“奇函數(shù)”，還是不是周期函數(shù)？經(jīng)過探索，我們得到 思考三：設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱。證明是周期函數(shù)，且4是它的一個周期。， 證明：關(guān)于對稱 又由是奇函數(shù)知 將上式的以代換，得 是上的周期函數(shù) 且4是它的一個周期 是奇函數(shù)的實(shí)質(zhì)是的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）中心對稱，又的圖象關(guān)于直線對稱，可得是周期函數(shù)，且4是它的一個周期。由此進(jìn)行一般化推廣，我們得到 思考四：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且其圖象關(guān)于直線對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。 證明：關(guān)于點(diǎn)對稱 關(guān)于直線對稱 將上式中的以代換，得 是上的周期函數(shù) 且是它的一個周期 由上我們發(fā)現(xiàn)，定義在上的函數(shù)，其圖象若有兩條對稱軸或一個對稱中心和一條對稱軸，則是上的周期函數(shù)。進(jìn)一步我們想到，定義在上的函數(shù)，其圖象如果有兩個對稱中心，那么是否為周期函數(shù)呢？經(jīng)過探索，我們得到 思考五：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)和對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。 證明：關(guān)于對稱 將上式中的以代換，得 是周期函數(shù) 且是它的一個周期抽象函數(shù)解法例談 抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點(diǎn)的函數(shù)值,特定的運(yùn)算性質(zhì)等,它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn),也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個銜接點(diǎn),由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體,又能考查學(xué)生的思維能力,所以備受命題者的青睞,那么,怎樣求解抽象函數(shù)問題呢,我們可以利用特殊模型法,函數(shù)性質(zhì)法,特殊化方法,聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法,等多種方法從多角度,多層面去分析研究抽象函數(shù)問題,一:函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性,單調(diào)性周期性,特殊點(diǎn)等)反應(yīng)出來的,抽象函數(shù)也是如此,只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì),靈活進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,抽象函數(shù)問題才能轉(zhuǎn)化,化難為易,常用的解題方法有:1,利用奇偶性整體思考。2,利用單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化。3,利用周期性回歸已知4。利用對稱性數(shù)形結(jié)合。5,借助特殊點(diǎn),布列方程等.二:特殊化方法1在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時,一般用代換的方法,將x換成x或?qū)換成等2在求函數(shù)值時,可用特殊值代入3研究抽象函數(shù)的具體模型,用具體模型解選擇題,填空題,或由具體模型函數(shù)對綜合題,的解答提供思路和方法.總之,抽象函數(shù)問題求解,用常規(guī)方法一般很難湊效,但我們?nèi)绻芡ㄟ^對題目的信息分析與研究,采用特殊的方法和手段求解,往往會收到事半功倍之功效,真有些山窮水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村的快感.1． 已知函數(shù)f(x)對任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)
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