高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十講：抽象函數(shù)問題的題型綜述(已修改)
2025-04-29 13:01 本頁面
【正文】 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十講：抽象函數(shù)問題的題型綜述 抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達式，只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個難點，因為抽象，學(xué)生解題時思維常常受阻，思路難以展開，教師對教材也難以處理，而高考中又出現(xiàn)過這一題型，有鑒于此，本文對這一問題進行了初步整理、歸類，大概有以下幾種題型：一. 求某些特殊值 這類抽象函數(shù)一般給出定義域，某些性質(zhì)及運算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定義域內(nèi)令變量取某特殊值而獲解，關(guān)鍵是抽象問題具體化。 例1 定義在R上的函數(shù)滿足：且，求的值。 解：由， 以代入，有， 為奇函數(shù)且有 又由 故是周期為8的周期函數(shù)， 例2 已知函數(shù)對任意實數(shù)都有，且當時，求在上的值域。 解：設(shè) 且， 則， 由條件當時， 又 為增函數(shù)， 令，則 又令 得 ， 故為奇函數(shù)， ， 上的值域為二. 求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“”符號，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。 例3 已知是定義在（）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足，試確定的取值范圍。 解：是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)， 由得。 （1）當時， ，不等式不成立。 （2）當時， （3）當時， 綜上所述，所求的取值范圍是。 例4 已知是定義在上的減函數(shù)，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。 解： 對恒成立 對恒成立 對恒成立， 三. 解不等式 這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點處的函數(shù)值，再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號“”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。 例5 已知函數(shù)對任意有，當時，，求不等式的解集。 解：設(shè)且 則 ， 即， 故為增函數(shù)， 又 因此不等式的解集為。四. 證明某些問題 例6 設(shè)定義在R上且對任意的有，求證：是周期函數(shù)，并找出它的一個周期。 分析：這同樣是沒有給出函數(shù)表達式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關(guān)系式進行遞推，若能得出（T為非零常數(shù)）則為周期函數(shù)，且周期為T。 證明： 得 由（3）得 由（3）和（4）得。 上式對任意都成立，因此是周期函數(shù)，且周期為6。 例7 已知對一切，滿足，且當時，求證：（1）時，（2）在R上為減函數(shù)。 證明：對一切有。 且，令，得， 現(xiàn)設(shè)，則， 而 ， 設(shè)且， 則 ， 即為減函數(shù)。五. 綜合問題求解 抽象函數(shù)的綜合問題一般難度較大，常涉及到多個知識點，抽象思維程度要求較高，解題時需把握好如下三點：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號“”前的“負號”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“”。 例8 設(shè)函數(shù)定義在R上，當時，且對任意，有，當時。 （1）證明； （2）證明：在R上是增函數(shù)； （3）設(shè)， ，若，求滿足的條件。 解：（1）令得， 或。 若，當時，有，這與當時，矛盾， 。 （2）設(shè)，則，由已知得，因為，若時，由 （3）由得 由得 （2） 從（1）、（2）中消去得，因為 ， 即 例9 定義在（）上的函數(shù)滿足（1），對任意都有， （2）當時，有， （1）試判斷的奇偶性；（2）判斷的單調(diào)性； （3）求證。 分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，再以這些性質(zhì)為基礎(chǔ)去研究數(shù)列求和的綜合題。 解：（1）對條件中的，令，再令可得 ，所以是奇函數(shù)。 （2）設(shè)，則 ， ，由條件（2）知，從而有，即，故上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，在（0，1）上仍是單調(diào)減函數(shù)。 （3）
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1