高中數(shù)學(xué)必修5第二章數(shù)列復(fù)習(xí)知識點總結(jié)與練習(xí)一(編輯修改稿)
2025-05-14 12:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.2．等比數(shù)列的前n項和Sn(1)等比數(shù)列的前n項和Sn是用錯位相減法求得的，注意這種思想方法在數(shù)列求和中的運用．(2)在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤考點等比數(shù)列的判定與證明典題導(dǎo)入[例1] 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＋Sn＝n.(1)設(shè)＝an－1，求證：{}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．[自主解答] (1)證明：∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝.∵首項c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝，c1＝－.又＝an－1，故{}是以－為首項，為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)可知＝n－1＝－n，∴an＝＋1＝1－n.在本例條件下，若數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，證明{bn}是等比數(shù)列．證明：∵由(2)知an＝1－n，∴當(dāng)n≥2時，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.又b1＝a1＝也符合上式，∴bn＝n.∵＝，∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．由題悟法等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(2)等比中項法：若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝anan＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．以題試法1． (2012沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝logax，且所有項為正數(shù)的無窮數(shù)列{an}滿足logaan＋1－logaan＝2，則數(shù)列{an}( )A．一定是等比數(shù)列B．一定是等差數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列解析：選A 由logaan＋1－logaan＝2，得loga＝2＝logaa2，故＝0且a≠1，所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列．等比數(shù)列的基本運算典題導(dǎo)入[例2] {an}為等比數(shù)列，求下列各值：(1)a6－a4＝24，a3a5＝64，求an；(2)已知a2a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意得由②得a1q3＝177。8，將a1q3＝－8代入①中，得q2＝－2(舍去)．將a1q3＝8代入①中，得q2＝4，q＝177。2.當(dāng)q＝2時，a1＝1，∴an＝a1qn－1＝2n－1.當(dāng)q＝－2時，a1＝－1，∴an＝a1qn－1＝－(－2)n－1.∴an＝2n－1或an＝－(－2)n－1.(2)∵a2a8＝36＝a3a7，而a3＋a7＝15，∴或∴q4＝＝4或.∴q＝177?；騫＝177。.由題悟法1．等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．2．在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式．以題試法2．(2012山西適應(yīng)性訓(xùn)練)已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{3an}的前n項和．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)．因為a2，a4，a8成等比數(shù)列，所以(2＋3d)2＝(2＋d)(2＋7d)，解得d＝2.所以an＝2n(n∈N*)．(2)由(1)知3an＝32n，設(shè)數(shù)列{3an}的前n項和為Sn，則Sn＝32＋34＋…＋32n＝＝(9n－1)．等比數(shù)列的性質(zhì)典題導(dǎo)入[例3] (1)(2012威海模擬)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為( )A. B.C．1 D．－(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6∶S3＝1∶2，則S9∶S3等于( )A．1∶2 B．2∶3C．3∶4 D．1∶3[自主解答] (1)因為a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3.log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a＝7log33＝，故sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比數(shù)列，于是(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，將S6＝S3代入得＝.[答案] (1)B (2)C由題悟法等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差”，它們的通項公式和性質(zhì)有許多相似之處，其中等差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“冪”相類比．關(guān)注它們之間的異同有助于我們從整體上把握，同時也有利于類比思想的推廣．對于等差數(shù)列項的和或等比數(shù)列項的積的運算，若能關(guān)注通項公式an＝f(n)的下標(biāo)n的大小關(guān)系，可簡化題目的運算．以題試法3．(1)(2012新課標(biāo)全國卷)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝( )A．7 B．5C．－5 D．－7(2)(2012成都模擬)已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)C.(1－4－n) D.(1－2－n)解析：(1)選D 法一：由題意得解得或故a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.法二：由解得或則或故a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.(2)選C ∵a2＝2，a5＝，∴a1＝4，q＝，anan＋1＝2n－5.故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．練習(xí)題1．(教材習(xí)題改編)數(shù)列1，，…的一個通項公式是 ( )A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝答案：B2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為( )A．15 B．16C．49 D．64解析：選A a8＝S8－S7＝64－49＝15.3．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，則這個數(shù)列是( )A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．?dāng)[動數(shù)列解析：選A an＋1－an＝－＝＝0.4．(教材習(xí)題改編)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝則a4a3＝________.解析：a4a3＝233(23－5)＝54.答案
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