【文章內(nèi)容簡介】 述求秩的方法很繁，是否有更簡便的方法求矩陣的秩?！　±?顯然的秩等于r?！　±?，則r（A）=2?！　?初等變換不改變矩陣的秩?！　⊥普摗≡O(shè)A為mn階矩陣，P，Q分別為m，n階可逆矩陣，則　　r（PA）=r（A），r（AQ）=r（A），r（PAQ）=r（A）。　　例4求矩陣的秩?！?　　此例說明可以用初等變換法求矩陣的秩（只要經(jīng)初等變換化成階梯形，其秩就等于非零行的個數(shù)）?！　±?求矩陣的秩。 　　一般，如果n階方陣A的秩等于它的階數(shù)，則稱該矩陣是滿秩的，否則稱它為降秩的。顯然，n階方陣A滿秩的充分必要條件是A可逆。（可逆陣的各種說法：可逆，非異，滿秩）。　　小結(jié)這一節(jié)主要是掌握矩陣秩的概念和用初等變換法求矩陣的秩?！　≌f明　?！　∽鳂I(yè) p75 1（2）（3）（4）,3　　　　第二章　總　結(jié)　?。痪仃囘\算的定義；　　，特別是比較矩陣運算性質(zhì)與數(shù)的運算性質(zhì)的相同點和不同點，特別是不同點；　??；　　，用初等變換法求逆矩陣和矩陣方程的解；　　。第三部分　向量空間　　本章將把三維向量推廣，建立n維向量的概念和運算，研究向量組的線性相關(guān)、無關(guān)性，進而引入向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩。這些是研究線性方程組的重要工具?！維向量的概念及其線性運算　　　n維向量的概念　　在解析幾何中，已知二維向量和三維向量　　　　　　在實際問題中，光有二維，三維向量還不夠，如要刻畫一個球的位置，需四個數(shù)。　　推廣二維，三維向量，有下面n維向量的定義?！　　　》Q為一個n維向量，數(shù)稱為該向量的第i個分量　　n維向量既可以用一行n列的行矩陣來表示，也可以用n行一列的列矩陣來表示?！　　　∥覀兎謩e稱它們?yōu)樾邢蛄?，列向量?！　?（0,0,…0）為零向量?！　》Q為的負向量?！　?，即則稱向量α,β相等，記為α=β?！　　維向量的線性運算　　　　一、向量線性運算的定義　　 設(shè)定義為 的和（差）向量?！　?設(shè)k為一個數(shù)?！　t定義　　為數(shù)k與向量的數(shù)乘?！　《?、向量線性運算的性質(zhì)　　設(shè)α,β,γ都是n維向量，k、1是數(shù)，則加法與數(shù)乘滿足：　　（1）加法交換律 α+β=β+α　?。?）結(jié)合律 （α+β）+γ=α+（β+γ）　?。?）零向量滿足 α+0=0+α=α　　（4）負向量滿足 α+（α） =0　?。?）1α=α　　（6）分配律 k （α+β）=kα+kβ　?。?）（k+1） α=kα+1α　?。?）k（1α）=（kl）α=1（kα）　　=（2,1,3）, β=（1,3,6）,γ=（2,1,4）,求2α+3βγ?！　?（1,0,2,3）, β=（4,1,2,3），求滿足2α+β+3γ=0的γ?！　〗猓骸　　∠蛄康木€性組合　　　　一、定義　　 設(shè)是一組n維向量，是一組常數(shù)，則稱為的一個線性組合，常數(shù)稱為該線性組合的組合系數(shù)?！　≡O(shè)β是一個n維向量，若存在一組數(shù)使得則稱β是的線性組合，也稱β能由線性表出（或線性表示）。稱為組合系數(shù)或表出系數(shù)?！　∫驗樗粤阆蛄靠梢杂扇我庀蛄拷M線性表出?！　。ǚQ為基本單位向量組）　　是任意n維向量。則　　即任意n維向量組都能由基本單位向量組線性表示?！　《?、線性組合的幾何意義　　　　三、組合系數(shù)的求法 　　？　　由此例可見，問β能否由線性表示的問題就是問相應(yīng)的線性方程組是否有解的問題。請同學(xué)們務(wù)必掌握這二者之間的轉(zhuǎn)化方法?！　∈聦嵣?，對任意一個線性方程組　　　　若令　　則線性方程組的向量表示法為方程　?。ㄟ@是方程組的第三種表示法，其系數(shù)矩陣，增廣矩陣是什么樣?）　　則線性方程組是否有解的問題就是β能否由向量組線性表示的問題，表示法是否惟一的問題就是方程組的解是否惟一的問題?！　?？表示法是否唯一？　　【答疑編號12030202】　　解：　　　　此例說明β能由線性表示，且表示法不惟一?！　⌒〗Y(jié)： 　　?！　。蛄坑上蛄拷M線性表示的概念　?。骸　　　【仃嚤硎痉ǎ篈X=B　　向量表示法：　　作業(yè) p86 1，2，3（2），6　線性相關(guān)與線性無關(guān)　　　線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義　　　　。如果存在一組不全為零的數(shù)使得則稱向量組線性相關(guān)。否則，稱向量組線性無關(guān)。即如果必有則稱向量組線性無關(guān)?！　∈聦嵣希€性無關(guān)，就是零向量由線性表示的表示法惟一?！　∷裕蛄拷M線性相關(guān)即齊次方程組　　有非零解；向量組線性無關(guān)即齊次方程組只有零解，沒有非零解?！　。粒€性相關(guān)的充分必要條件是α=0?！　∫驗?0=0。所以，α=0時，向量組｛α｝線性相關(guān)；　　反之，如果向量組｛α｝線性相關(guān)，據(jù)定義存在α≠0，使得，kα=0，必有α=0?！　?。　　解：　　　　下面的定理說明向量組線性相關(guān)的實際含義?！　。沟盟苡稍撓蛄拷M的其它向量線性表示?！　?，β線性相關(guān)的充分必要條件是存在數(shù)k，使得α=kβ或β=kα。　　重要結(jié)論　?。?）n個n維向量線性無關(guān)的充分必要條件是其構(gòu)成的行列式其中為列向量?！　。?）一個向量α線性相關(guān)的充分必要條件是α=0，兩個向量線性相關(guān)的充分必要條件是存在數(shù)k，使得α=kβ或β=kα?！　　∠蛄拷M線性相關(guān)性的若干基本定理　　　　這部分的重點是準確地理解和敘述定理，而不是證明?！　?，向量組線性相關(guān)，則β能由向量組線性表出，且表示法惟一。　　，是任意一個n維向量。則向量組必線性相關(guān)?！　⊥普?含有零向量的向量組必線性相關(guān)?！　⊥普?設(shè)線性相關(guān)，則任意擴充后所得的向量組必線性相關(guān)。（部分相關(guān)，則整體相關(guān)）　　推論3設(shè)向量組線性無關(guān)，則它的任何一個部分組必線性無關(guān)。　?。ㄕw無關(guān)，則部分無關(guān)）　　　　設(shè)向量組線性無關(guān)。則由它生成的接長向量組必線性無關(guān)，其中　　推論4若接長向量組線性相關(guān)，必有原向量組線性相關(guān)。　　，知必線性無關(guān)。　　例6. 由前例知線性相關(guān)，所以必線性相關(guān)?！　≌堊⒁鈪^(qū)分“接長向量組與截短向量組”和“向量組（擴充向量組）與向量組的部分組（向量組）”?！　⌒〗Y(jié)：　　　　　　?！　∽鳂I(yè) p94 1.（1）（2），2?！　　∠蛄拷M的秩 　　這一節(jié)主要討論向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩的概念及其求法　　　兩個向量組的關(guān)系　　（向量組的線性表出） 設(shè)有兩個向量組　　　　若向量組R中的每個向量都能由向量組線性表出，則稱向量組R能由向量組S線性表出。　　例1 。則向量組R能由向量組S線性表出?！　±? 向量組A的任何一個部分組都能由該向量組線性表示?！　。ㄏ蛄拷M的等價）如果向量組R能由向量組S線性表出，反之,向量組S也能由向量組R線性表出，則稱向量組R與S等價?！　±? ，則向量組R與S等價?！　∽C：顯然，R中的每一個向量都能由向量組S線性表出?！　∪菀卓闯龅葍r關(guān)系具有：反身性；對稱性；傳遞性?！　　∠蛄拷M的極大無關(guān)組 　　設(shè)是所有3維向量的全體。，我們已知線性無關(guān)，對于任意一個三維向量,α能由線性表示。所以,α就線性相關(guān)了。我們稱為的極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組。一般，有　　。如果A中存在一組向量滿足：　　（1）線性無關(guān)；　　（2）在A中，任取一個向量α，則，α必線性相關(guān)。　　則稱為A的一個極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組?！　±? 是的一個極大無關(guān)組。　　 是向量組T的一個極大無關(guān)組，則R與T等價,從而它的任意兩個極大無關(guān)組也等價?！　?向量組A含有r個n維向量，向量組B含有s個n維向量，向量組A能由向量組B線性表示，且向量組A線性無關(guān)，則r≤s。 　　推論1兩個等價的線性無關(guān)的向量組所含向量個數(shù)相等?！　⊥普?向量組的兩個極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相等?！　⊥普?設(shè)A是一個n維向量組。則它的極大無關(guān)組的向量個數(shù)不超過n （即≤n）?！　∽C 因為是的一個極大無關(guān)組，所以任給α∈A，α都能由線性表示，所以A的極大無關(guān)組也能由線性表示。　　故它的極大無關(guān)組的向量個數(shù)不超過n。　　推論4 如果向量組A所含向量個數(shù)大于其維數(shù)n,則向量組A必線性相關(guān)。　　　向量組的秩　?。ㄏ蛄拷M的秩）設(shè)A是一個向量組。稱A的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)為該向量組的秩，記為r(A)（我們規(guī)定只含零向量的向量組的秩為0）?！　∪菀卓闯觯斚蛄拷MA所含向量個數(shù)= r(A)時，A線性無關(guān)；若當向量組A所含向量個數(shù)r(A)時，A線性相關(guān)。　　 如果向量組S可以由向量組T線性表出，則r(S)≤r(Ｔ)。　　推論5 等價的向量組必有相等的秩?！　≡诰仃囈徽?，我們討論過矩陣的秩。一個自然的問題是矩陣的秩和向量組的秩之間有何關(guān)系？有下面的定理?！　?，也等于它的列向量組的秩。（今后統(tǒng)稱為矩陣A的秩。）　　于是我們可以通過求矩陣的秩來求向量組的秩?！　±? 求向量組的秩?！　　∏笙蛄拷M的極大無關(guān)組的方法　　注意：對于列向量組構(gòu)成的矩陣　　因為初等變換不改變矩陣的秩,所以向量組與向量組的線性相關(guān)性相同?！　∪艟€性無關(guān),線性相關(guān),則以為增廣矩陣的線性方程組與為增廣矩陣的線性方程組同解,所以,若?！　∮谑怯邢旅娴那髽O大無關(guān)組的方法,并能把其余向量由極大無關(guān)組線性表示?！　±? 求的極大無關(guān)組。并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示。　　方法: （1）用列向量做成矩陣A；（2）對A做初等行變換使?！　±? （1）求下列向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示　?。?）這個向量組有幾個極大無關(guān)組？　　　　例8 用矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系證明：　　證 設(shè)A為mn階矩陣，Ｂ為nk階矩陣。　　　　　　其中　　這表明向量組C能由向量組A線性表出。所以R（AB）≤R（A）?！　∫驗椤！　∶}得證?！　⌒〗Y(jié) 向量組的秩的概念以及如何根據(jù)秩與向量個數(shù)的關(guān)系判斷向量組的線性相關(guān)性?！　≈攸c是例6,7給出的求極大無關(guān)組的方法。　　作業(yè) p103 1(2)(5)(6),2,4,6,7　　　向量空間　　　　　向量空間的概念　　 n維實向量的全體構(gòu)成的集合稱為實n維向量空間，記作?！　?設(shè)V是的一個非空子集，且滿足　?。?）若則；　?。?）若，則　　則稱V是的子空間?！　±? 的一個子空間，稱為零子空間?！　±? 都是的子空間?！　〉疾皇堑淖涌臻g?！　∑渲袑儆趯崝?shù)。　　類似的，不難證明也是的子空間?！　☆愃频模浑y證明也不是的子空間?！　　∩勺涌臻g　　，由它們的全體線性組合組成的集合　　生成的子空間，記為　　下面證明確實是的子空間?！　　』S數(shù)，坐標　?。ㄗ涌臻g）。若V中的向量組；　　（1）線性無關(guān)；　?。?）V中的任意一個向量α，都能由線性表出（α,線性相關(guān)，且表示法惟一），即存在惟一一組數(shù)，使得?！　t稱向量組為V的一個基，稱r為向量空間V的維數(shù)，稱為向量α在這個基下的坐標。 沒有基，定義為0維?！　±? 中是的一個基，所以，是n維?！　±? 任取，則α在基下的坐標為　　例5 證明： 構(gòu)成的一個基。并求出在這組基下的坐標。` 　　例6 求中由向量組生成的子空間的基和維數(shù)。　　小結(jié)　　?！　?，坐標和維數(shù)的概念，求一個向量在一組基下的坐標的方法?！　∽鳂I(yè)p108 1，2，3，5　　本章小結(jié)　　；　??；　　(無)關(guān)的定義與齊次方程組是否有非零解的關(guān)系；　??；　??；　　，向量組的秩的概念；求向量組的極大無關(guān)組并將其余向量由極大無關(guān)組線性表出的方法；　　，向量空間的基，坐標和維數(shù)的概念。第四部分　線性方程組　　 本章討論線性方程組，對齊次方程組主要是討論齊次方程組有非零解的充要條件，基礎(chǔ)解系的概念，解的性質(zhì)，以及求基礎(chǔ)解系和通解的方法。對非齊次方程組主要討論何時有解？何時解惟一？何時有無窮多解？有無窮多解時，如何求通解。　　 　　　齊次線性方程組　　 　　　齊次線性方程組有非零解的充分必要條件　　　　齊次線性方程組的一般形式是　　 　　用矩陣也可簡寫成　　Ax=0　　其中 。　　我們要討論的問題是：該齊次方程組有非零解的充分必要條件。 　　 令為矩陣A的列向量，則該齊次方程組又可以寫成　　，其中　　　　 則齊次方程組有非零解的充分必要條件就是向量組線性相關(guān)，用矩陣的秩來描述就是該線性方程組的系數(shù)矩陣的秩r（A）n，其中n是未知數(shù)的個數(shù)。于是有下面的定理　　　齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是r（A）n，其中n是未知數(shù)的個數(shù)（也是矩陣A的列數(shù)）?！　〉葍r的說法是　　齊次線性方程組AX=0只有零解，沒有非零解的充分必要條件是r（A）=n?！　⊥普?　n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式 ?！　∠旅嬗懻摦旪R次方程組有非零解時，方程組通解的結(jié)構(gòu)。為此，先討論齊次方程組解的性質(zhì)?！　　　　↓R次線性方程組解的性質(zhì)　　我們已知齊次方程組AX=0的解是一個n維向量?！　∠旅嬉懻撍乃薪饨M成的集合是什么樣的集合?！　∫驗辇R次方程組AX=0必有零解，所以0∈V，故V非空?！　⌒再|(zhì)1　若都是齊次方程組AX=0的解，則也是齊次方程組AX=0的解?！　∽C?！　⌒再|(zhì)2　若是齊次方程組AX=0的解，k是一個數(shù)，則也是齊次方程組AX=0的解?！　∽C　　以上兩條性質(zhì)說明是的一個子空間，所以我們稱它為齊次方程組A