高中數(shù)學(xué)111正弦定理教案(編輯修改稿)
2025-05-14 12:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 定理，得sinB＝＝＝，因此∠B≈176?；颉螧≈176。(如圖2所示)．圖2當(dāng)∠B≈176。時(shí)，∠C≈180176。－30176。－176。＝176。，c＝＝≈；當(dāng)∠B≈176。時(shí)，∠C≈180176。－30176。－176。＝176。，c＝＝≈(如圖2所示)．(3)由正弦定理，得sinC＝＝＝＝，因此∠C＝45176?；颉螩＝135176。.因?yàn)椤螧＝120176。，所以∠C＜60176。.因此∠C＝45176。，∠A＝180176。－∠B－∠C＝15176。.再由正弦定理，得a＝＝≈(如圖3所示)．圖3點(diǎn)評(píng)：通過(guò)此例題可使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能，可以通過(guò)分析獲得，這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形．當(dāng)然對(duì)于不符合題意的解的取舍，也可通過(guò)三角形的有關(guān)性質(zhì)來(lái)判斷，對(duì)于這一點(diǎn)，我們通過(guò)下面的變式訓(xùn)練來(lái)體會(huì)．變式訓(xùn)練在△ABC中，已知a＝60，b＝50，A＝38176。，求B(精確到1176。)和c.(保留兩個(gè)有效數(shù)字)解：∵b＜a，∴B＜A，因此B也是銳角．∵sinB＝＝≈ 1，∴B≈31176。.∴C＝180176。－(A＋B)＝180176。－(38176。＋31176。)＝111176。.∴c＝＝≈91.例3如圖，在△ABC中，∠A的角平分線(xiàn)AD與邊BC相交于點(diǎn)D，求證：＝.活動(dòng)：這是初中平面幾何中角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，用平面幾何的方法很容易證得．教材安排本例的目的是讓學(xué)生熟悉正弦定理的應(yīng)用，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析相關(guān)的三角形的邊角關(guān)系，讓學(xué)生自己證明．證明：如圖，在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得＝，①＝＝，②①247。②，得＝.點(diǎn)評(píng)：解完此題后讓學(xué)生體會(huì)是如何通過(guò)正弦定理把所要證的線(xiàn)段連在一起的．本例可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用．例4在△ABC中，A＝45176。，B∶C＝4∶5，最大邊長(zhǎng)為10，求角B、C，外接圓半徑R及面積S.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析條件B∶C＝4∶5，由于A(yíng)＋B＋C＝180176。，由此可求解出B、C，這樣就轉(zhuǎn)化為已知三個(gè)角及最大角所對(duì)的邊解三角形，顯然其解唯一，結(jié)合正弦定理的平面幾何證法，由此可解三角形，教師讓學(xué)生自己探究此題，對(duì)于思路有阻的學(xué)生可給予適當(dāng)點(diǎn)撥．解：由A＋B＋C＝180176。及B∶C＝4∶5，可設(shè)B＝4k，C＝5k，則9k＝135176。，故k＝15176。，那么B＝60176。，C＝75176。.由正弦定理，得R＝＝5(－)，由面積公式S＝bcsinA＝c2RsinBsinA＝75－25.點(diǎn)評(píng)：求面積時(shí)，b未知但可轉(zhuǎn)化為b＝2RsinB，從而解決問(wèn)題．△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，則△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案：D解析：運(yùn)用正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB以及結(jié)論sin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝(sin2A－sin2B)sinC.∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)sinC.若sin(A－B)＝0，則A＝B.若sin(A－B)≠0，則sin2A＋sin2B＝sin2Ca2＋b2＝c2.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．故選D.2．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于( )A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．1∶∶2 D．2∶∶1答案：C1．在△ABC中，a＝2，A＝30176。，C＝45176。，則△ABC的面積S的值是( )A. B.＋1 C.(＋1)
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