歐氏幾何教學(xué)之困與一線(xiàn)串通之策(編輯修改稿)
2025-05-14 04:46 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 角的正弦之比。其實(shí)，將面積公式兩邊同時(shí)除以，就可以得到以下定理：正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。即：即：。利用正弦定理，我們可以證明以下定理： 等腰三角形的兩個(gè)底角相等. 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等。 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 沒(méi)有三角形全等相關(guān)知識(shí)，我們?nèi)匀豢梢缘玫竭@些定理。 在張景中教育數(shù)學(xué)中，正弦定理的作用遠(yuǎn)不止這些。它更主要的作用，是證明三角形全等判定定理——AAS（角角邊），ASA（角邊角），以及三角形相似的基本定理。對(duì)于任意三角形，正弦定理揭示了三邊與三角的內(nèi)在關(guān)系。自然地，正弦定理也適用于直角三角形。我們知道，直角的正弦等于1，即：。在直角中，時(shí)，正弦定理就是：。對(duì)比例式進(jìn)行變形，得：； 。利用三角形的面積公式，我們也可得到這一結(jié)論。直角三角形的直角邊與斜邊，存在以下關(guān)系：直斜定理：直角三角形直角邊的長(zhǎng)，等于它的對(duì)角正弦，乘以斜邊。 直斜定理脫胎于正弦定理，可以視為正弦定理的化簡(jiǎn)形式與特殊情形。它也有自身的特點(diǎn)：將比例形式化簡(jiǎn)為乘積形式，簡(jiǎn)明揭示了直角三角形一直角邊及其對(duì)角、斜邊三個(gè)量之間的關(guān)系。因此，我們熟悉了直斜定理之后，就沒(méi)有必要再繞圈子,退回到正弦定理去解題。查科學(xué)計(jì)算器，或正弦表，我們得到：重要結(jié)論： 由這一特殊角的正弦值與直斜定理，我們可以證明以下重要定理：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于。在直角三角形中，如果有一個(gè)角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。將直斜定理由乘積式變?yōu)楸壤剑@就是初中三角中最核心的概念：傳統(tǒng)課本銳角正弦的定義：在直角三角形中，銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊。張景中先生將銳角余弦定義為：一個(gè)角的余弦的正弦，叫做這個(gè)角的余弦。有了余弦的定義，我們可以進(jìn)一步得到余弦定理。五、張景中教育數(shù)學(xué)的核心主張英國(guó)著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)的目的,就是用簡(jiǎn)單而基本的詞匯去盡可能地多解釋世界”?！叭绻覀兎e累起來(lái)的經(jīng)驗(yàn)要一代一代傳下去,就必須不斷努力把它們簡(jiǎn)化和統(tǒng)一”，“過(guò)去曾經(jīng)使成年人困惑的問(wèn)題,在以后的年代,連孩子們都容易理解”。多年來(lái)，張景中先生致力于把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得簡(jiǎn)單一點(diǎn)，倡導(dǎo)教育數(shù)學(xué)。教育數(shù)學(xué)為自己提出三個(gè)目標(biāo)：邏輯結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單；概念的引入要平易直觀；要建立有力而通用的解題工具。 具體來(lái)說(shuō)，教育數(shù)學(xué)有以下主張：從三角入手，代數(shù)、幾何與三角一線(xiàn)串通初中代數(shù)的核心符號(hào)是，幾何的核心符號(hào)是∽，三角的核心符號(hào)是。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家，是從進(jìn)
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