【文章內(nèi)容簡介】 】1. （1） （2） （3） （4） （5） （6）（7） （8） （9） （10） 2.（1） （2） （3） （4） 3.（1）； （2）； （3）；專題七 有理數(shù)的乘方一. 教學重、難點重點：理解乘方及有理數(shù)乘方運算難點：熟練掌握乘方運算二. 知識要點（一）求n個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪，在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，讀作a的n次冪。（二）有理數(shù)混合運算1. 先乘方再乘除最后加減2. 同級運算從左到右進行3. 如有括號先做括號內(nèi)的運算按小括號中括號大括號依次進行。（三）科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成的形式，使用的是科學記數(shù)法。（四）近似值與有效數(shù)字從一個數(shù)的左邊第一個非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字。【典型例題】[例1] 計算：（1） （2）解：（1）（2）[例2] 計算：解：原式 [例3] 觀察下面三行數(shù)：、、…… ①、、…… ②、、…… ③（1）第①行按什么規(guī)律排列（2）第②③行與第①行分別有什么關(guān)系（3）取每行第10個數(shù)求這幾個數(shù)的和解：（1）第①行數(shù)是、……（2）對比①②兩行數(shù)第②行數(shù)是第①行數(shù)加2，對比①③兩行數(shù)第③。（3）每行數(shù)中，第10個數(shù)的和是[例4] 用科學記數(shù)法表示下列各數(shù)：、解： [例5] 按括號內(nèi)的要求，用四舍五入法對下列各數(shù)取近似值。（1）（精確到）（2）（保留兩位有效數(shù)字）解：（1） （2）【模擬試題】1. 計算：（1） （2） （3） （4）（5）2. 用科學記數(shù)法表示下列各數(shù)：（1） （2）（3）3. 用四舍五入法取近似值：（1）（精確到）（2）（保留3位有效數(shù)字）【試題答案】1.（1） （2） （3） （4） （5）2.（1） （2） （3）3.（1） （2）專題八 有理數(shù)的巧算　　有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎(chǔ)．它要求同學們在理解有理數(shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進行運算．不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性．　　1．括號的使用　　 　　在代數(shù)運算中，可以根據(jù)運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單．　　例1 計算：　　　　　　分析 中學數(shù)學中，由于負數(shù)的引入，符號“+”與“”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數(shù)與負數(shù)的性質(zhì)符號．因此進行有理數(shù)運算時，一定要正確運用有理數(shù)的運算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化．　　　　　　　　注意 在本例中的乘除運算中，常常把小數(shù)變成分數(shù)，把帶分數(shù)變成假分數(shù)，這樣便于計算．　　例2 計算下式的值：　　211555+445789+555789+211445．　　分析 直接計算很麻煩，根據(jù)運算規(guī)則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單．本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結(jié)合起來計算．　　解 原式=(211555+211445)+(445789+555789)　　　　 　=211(555+445)+(445+555)789　　　　 　=2111000+1000789　　　　 　=1000(211+789)　　　　 　=1 000 000．　　說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧．　　例3 計算：S=12+34+…+(1)n+1n．　　分析 不難看出這個算式的規(guī)律是任何相鄰兩項之和或為“1”或為“1”．如果按照將第一、第二項，第三、第四項，…，分別配對的方式計算，就能得到一系列的“1”，于是一改“去括號”的習慣，而取“添括號”之法．　　解 S=(12)+(34)+…+(1)n+1n．　　下面需對n的奇偶性進行討論：　　當n為偶數(shù)時，上式是n／2個(1)的和，所以有　　當n為奇數(shù)時，上式是(n1)／2個(1)的和，再加上最后一項(1)n+1n=n，所以有　　例4 在數(shù)1，2，3，…，1998前添符號“+”和“”，并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？　　分析與解 因為若干個整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符號“+”或“”，不會改變和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998247。2個奇數(shù)，即有999個奇數(shù)，所以任意添加符號“+”或“”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負數(shù)不小于1．　　現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“”，顯然n(n+1)(n+2)+(n+3)=0．　　這啟發(fā)我們將1，2，3，…，1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號，即(123+4)+(567+8)+…+(199319941995+1996)1997+1998=1．　　所以，所求最小非負數(shù)是1．　　說明 本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化．　　2．用字母表示數(shù)　　我們先來計算(100+2)(1002)的值：(100+2)(1002)=1001002100+21004=100222．　　這是一個對具體數(shù)的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變?yōu)?a+b)(ab)=a2ab+abb2=a2b2．　　于是我們得到了一個重要的計算公式(a+b)(ab)=a2b2， ①　　這個公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算．　　例5 計算 30012999的值．　　解 30012999=(3000+1)(30001)=3000212=8 999 999．　　例6 計算 1039710 009的值．　　解 原式=(100+3)(1003)(10000+9)=(10029)(1002+9)=100492=99 999 919．　　例7 計算：　　分析與解 直接計算繁．仔細觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù)：12 345，12 346，12 347．可設(shè)字母n=12 346，那么12 345=n1，12 347=n+1，于是分母變?yōu)閚2(n1)(n+1)．應(yīng)用平方差公式化簡得n2(n212)=n2n2+1=1，　　即原式分母的值是1，所以原式=24 690．　　例8 計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．　　分析 式子中2，22，24，…每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(21)，就可以連續(xù)遞進地運用(a+b)(ab)=a2b2了．　　解 原式=(21)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)　　 　　　=(221)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)　　　　　 =(241)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……　　　　 　=(2321)(232+1)　　　　　 =2641．　　例9 計算：　　分析 在前面的例題中，應(yīng)用過公式(a+b)(ab)=a2b2．　　這個公式也可以反著使用，即a2b2=(a+b)(ab)．　　本題就是一個例子．　　　　　　通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計算帶來很大的益處．下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化．　　例10 計算：　　　　　我們用一個字母表示它以簡化計算．　　　　　 　　3．觀察算式找規(guī)律　　例11 某班20名學生的數(shù)學期末考試成績?nèi)缦拢堄嬎闼麄兊目偡峙c平均分．　　87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．　　分析與解 若直接把20個數(shù)加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負”，考察這20個數(shù)與90的差，這樣會大大簡化運算．所以總分為　　9020+(3)+1+4+(2)+3+1+(1)+(3)　　　　+2+(4)+0+2+(2)+0+1+(4)+(1)　　　　+2+5+(2)　　=18001=1799，　　平均分為 90+(1)247。20=．　　例12 計算1+3+5+7+…+1997+1999的值． 　　分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法．　　解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999． ①　　再將S各項倒過來寫為S=1999+1997+1995+…+3+1． ②　　將①，②兩式左右分別相加，得　　2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)　　　=2000+2000+…+2000+2000(500個2000)　　　=2000500．　　從而有 S=500 000．　　說明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題31=53=75=…=19991997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決．　　例13 計算 1+5+52+53+…+599+5100的值．　　分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍．如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算．　　解 設(shè)S=1+5+52+…+599+5100， ①　　所以5S=5+52+53+…+5100+5101． ②　　②—①得4S=51011，　　　　　　　　　說明 如果一列數(shù)，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決．　　例14 計算：　　　　　　　　　　　　　　分析 一般情況下，分數(shù)計算是先通分．本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關(guān)系式來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法． 　　解 由于　　　　　所以　　　　　　說明 本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用．練習一　　1．計算下列各式的值：　　(1)1+35+79+11…1997+1999；　　(2)11+121314+15+161718+…+99+100；　　(3)1991199919902000；　　(4)4726342+472 6352472 633472 635472 634472 636；　 　　(6)1+4+7+…+244；　 　　2．某小組20名同學的數(shù)學測驗成績?nèi)缦?，試計算他們的平均分．　?1，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．專題九 代數(shù)式及代數(shù)式求值首先簡要說明字母能表示什么？ 字母可以表示任何數(shù)，用字母可以表達數(shù)量之間的運算關(guān)系，展示規(guī)律，簡化公式的書寫。 相關(guān)知識鏈接加法交換律：乘法交換律：乘法結(jié)合律：乘法分配律：長方形的周長=長方形的面積=長方體的體積=圓柱的體積=圓的周長=圓的面積= 教材知識詳解【知識點1】用字母表示運算律及公式用a、b、c表示三個數(shù)，則加法交換律：a + b = b + a加法結(jié)合律：（a + b）+ c = a +（b + c）乘法交換律：ab = ba乘法結(jié)合律：（ab）c = a（bc）乘法分配律：a（b + c）=ab + ac長方形的周長=長方形的面積=長方體的體積=圓柱的體積=圓的周長=圓的面積=【例1】 用a，b分別表示梯形上底和下底，h表示高，用S表示面積，則梯形的面積公式是 【例2】 如果小明今年a歲，爸爸今年的歲數(shù)是小明得倍，媽媽比爸爸小兩歲，則媽媽今年 歲?！局R點2】代數(shù)式 由數(shù)和表示數(shù)的字母經(jīng)有限次加、減、乘、除、乘方等代數(shù)運算所得的式子叫做代數(shù)式，單獨一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。例如：a、3b、5a+2b、…………注：（1）在代數(shù)式中不能出現(xiàn)“=”“”“”或“”等表達數(shù)量關(guān)系的符號；（2）代數(shù)式中除含有數(shù)、字母和運算符號外，還可以有括號，如a + b（m + n）；（3）代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須是這個代數(shù)式有意義，如中a0.【例3】對于代數(shù)式，正確的讀法是 （ ）A. 的3倍與的的差 B. 與的的差的3倍C. 與除以2