數列求和問題教案(編輯修改稿)
2025-05-14 00:33 本頁面
【文章內容簡介】 減法可解決差比數列求和問題．師：也就是說，可解決這類數列{}的求和問題，=anbn，其中{an}為等差數列，{bn}為等比數列．例如求數列{2n1}}的前n項和，你能解決此問題嗎？（學生進一步體會）師：這是一個通項是分數形式的數列，分母是相鄰兩個自然數的積，且相鄰兩項的分母中有相同因數．（稍微停頓）既然有相同的成分，那么我們能否消去它們，促成求和呢？（留給學生思考的時間）師：正像前面我們推導等差數列通項公式使用疊加法．（板書）a2a1=da3a2=da4a3=d……an1an2=danan1=d．將上面n1個式子的等號兩邊分別相加得到ana1=（n1）d，消去了絕大部分的項，只留下了第一項a1和最后一項an．對于這個題目，同學們能否類似地實現(xiàn)求和呢？（讓學生學會類比的思維方法）（學生討論）生：要達到消去的目的，必須出現(xiàn)差的形式．觀察數列的第一項可（學生敘述，教師板書）師：這位同學的解法非常漂亮．他把通項是分數形式的數列的每一項，分裂成兩個分數之差，這些分數的和，除首末兩項（有時也可能是首末若干項）外，其余各項前后抵消，實現(xiàn)了求和．我們把這種方法叫做裂項求和法．這種方法，在解決通項是分數形式的數列求和問題時經常用到．下面請看第（2）小題．（學生先練習，然后師生共同討論）師：這個數列有何特點？考慮用什么方法求和？生：這個數列中的每一項都有規(guī)律的分數形式，不妨試試裂項求和法解題．師：怎樣裂項？師：先從通項入手進行分析，具有一般性，很好．分析裂項時，需師：由（*）式的變形過程可知4是由（4k3）（4k+1）得來的．觀察數列1，5，9，13，…，4n3，…是什么數列？生：公差為4的等差數列．生：湊的系數恰為數列1，5，9，…，4n3，…的公差的倒數．師：能不能推廣成更具一般性的結論？（學生討論）生：如果{an}為等差數列，d為公差，則師：這樣就全面了．同學們得出具有共性的結論．我們要善于解題后回顧與反思，多題歸一．當然，有的不具有此規(guī)律的分數數列裂項并師：怎樣求得A，B，C？生：可用待定系數法．師：課后同學們可繼續(xù)探討．例4 求和Sn=13+23+33+…+n3（n∈N+）．
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