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正文內(nèi)容

歷年高考數(shù)列試題(編輯修改稿)

2025-05-14 00:02 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ????,又因?yàn)閧 na}為等比數(shù)列,所以 1r??,公比為, 1()(2)當(dāng) b=2時(shí), 1()2nnab??, 122(log1)(log)nnn?????則 1nb?,所以 1235746nb???? . 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 12121nn????? 成立.① 當(dāng) 1n?時(shí),左邊= 32,右邊= ,因?yàn)?3?,所以不等式成立.② 假設(shè)當(dāng) k時(shí)不等式成立,即 1213572146kbbk??????? ??時(shí),左邊= 112 3kk k?????2223()4()()1()()14()k???????所以當(dāng) 1n??時(shí),不等式也成立 . . 由①、②可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知 nS求 a的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.9.(2022山東)(本小題滿分 12分)等比數(shù)列{ na}的前 n項(xiàng)和為 nS, 已知對(duì)任意的 nN?? ,點(diǎn) (,)nS,均在函數(shù) (0xybr???且. .. . ..學(xué)習(xí)參考1,br?均為常數(shù))的圖像上. (1)求 r的值; (11)當(dāng) b=2時(shí),記 1()4nbNa??? 求數(shù)列 {}nb的前 項(xiàng)和 nT解:因?yàn)閷?duì)任意的 ?,點(diǎn) nS,均在函數(shù) (0xyr??且 1,br?均為常數(shù))??,當(dāng) 1時(shí), 1aSbr?, 當(dāng) 2n?時(shí), 111()()nnnnnbrb??????,又因?yàn)閧 }為等比數(shù)列 , 所以 r, 公比為 , 所以 1nnab?(2)當(dāng) b=2時(shí), 1()2nnab??, 142nnb????則 2341n nT??? 521n??? 相減,得 234512n n?? 12()1n????1234n??所以 11332nnnT????【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知 nS求 a的基本題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前 項(xiàng)和 T.10.(2022 全國(guó)卷Ⅱ文) (本小題滿分 10分). 已知等差數(shù)列{ na}中, ,0,166473????a求{ n}前 n項(xiàng)和 s. . 解析:本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力,利用方程的思想可求解。解:設(shè) ??na的公差為 d,則 . ??1126350d???????. .. . ..學(xué)習(xí)參考即2218164ad??????解得 11,82ad???或因此 ??????9819n nSnSn?????????, 或11.( 2022 廣 東 ) (本小題滿分 14分). 已知曲線 22:0(1,)nCxy? .從點(diǎn) (,0)P向曲線 nC引斜率為 (0)nk?的切線 nl,切點(diǎn)為 (,)Py.(1)求數(shù)列 {}nx與 的通項(xiàng)公式;(2)證明: 135212sinnnxxy?????? .解 : ( 1) 設(shè) 直 線 nl: )(?kyn,聯(lián)立 02???得 0)2()1( 22???nnnkxkx,則 014)2(2???nnk,∴ nk( 舍去). 222)(1?kxnn, 即 1??xn, ∴ 12)(??nxynn( 2) 證 明 : ∵ 21??nxn . 12534321531 ????????????? nxn∴ nnx?????12531由于 nnyx?,可令函數(shù) xxfsin2)(??,則 xfcos21)(39。??,令 0)(39。?f,得 2cosx,給定區(qū)間 )4,0(?,則有 0)(39。?f,則函數(shù) )(f在 4,0?上單調(diào)遞減,∴. .. . ..學(xué)習(xí)參考0)(??fxf,即 xsin2?在 )4,0(?恒成立,又 43120?????n,則有 1i12??n,即 nnyxsi?. . 12.(2022 安徽) (本小題滿分 13分)首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列 ??na滿足 21(3),.4nnaN???? (I)證明:若 1為奇數(shù),則對(duì)一切 ?都是奇數(shù);(II)若對(duì)一切 N??都有 1n?,求 1的取值范圍.解:本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí),考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力,考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分 13分。解:(I)已知 1a是奇數(shù),假設(shè) 2kam??是奇數(shù),其中 為正整數(shù),則由遞推關(guān)系得213(1)4k??是奇數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)任何 nN??, na都是奇數(shù)。(II) (方法一)由 1(1)34a????知, 1na??當(dāng)且僅當(dāng) 1na?或 3n?。另一方面,若 0,k?則 1k??;若 k,則??根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法, 1 1,0,。,.n naNaN?????????綜合所述,對(duì)一切 nN??都有 1a?的充要條件是 0?或 13。(方法二)由2113,4a?得 2143,?于是 1a或 1?。221111 ()(),nnnnn aa?????? 因?yàn)?1130,4na???所以所有的 n均大于 0,因此 1na?與 1na?同號(hào)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法, N???, 1na?與 21同號(hào)。 因此,對(duì)一切 n都有 ?的充要條件是 0a?或 13?。13.(2022 安徽)(本小題滿分 12分). .. . ..學(xué)習(xí)參考已知數(shù)列{ } 的前 n項(xiàng)和 ,數(shù)列{ }的前 n項(xiàng)和(Ⅰ)求數(shù)列{ }與{ }的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè) ,證明:當(dāng)且僅當(dāng) n≥3 時(shí), < . 【思路】由 1 (1) 2nas???????可求出 nab和,這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一,在求出 nab和后,進(jìn)而得到 c,接下來用作差法來比較大小,這也是一常用方法?!窘馕觥?1)由于 14as?當(dāng) 2n?時(shí), 22()[(1)()]4nnnn??????*()maN??又當(dāng) x時(shí) 16mbTb1nb?數(shù)列 ??n項(xiàng)與等比數(shù)列,其首項(xiàng)為 1,公比為 2()? . (2)由(1)知 22116()nnCab???? 2(1)26)nC???????由21()n??得即 202?即 3n?又 3?時(shí) 2()1成立,即 1nC??由于 n恒成立. . 因此,當(dāng)且僅當(dāng) n時(shí), 1n?14.(2022 江西) (本小題滿分 12分)數(shù)列 {}na的通項(xiàng) 22(cosi)3n???,其前 n項(xiàng)和為 nS. (1) 求 S。 (2) 3,4nb?求數(shù)列{ nb}的前 n項(xiàng)和 T.解: (1) 由于 22cosicos3????,故312345632132 22()()()(()k kkSaaaak?????? ???8(9)2k???,. .. . ..學(xué)習(xí)參考313(49),2kkkSa???23213(31)321,6kk k? ???故 ,6(1)3,14,6nnkSnk????????? ( *kN?)(2) 39,2nnb????14[]4nT? 13,n??兩式相減得 1 2319199449[][3]8,1242nnnn nT? ??????????故 ???15.(2022 江西) (本小題滿分 14分)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 {}na, 12,b?,且對(duì)滿足 mnpq??的正整數(shù) ,mnpq都有.(1)()pqmna??(1)當(dāng) 4,25b?時(shí),求通項(xiàng) 。na . (2)證明:對(duì)任意 a,存在與 有關(guān)的常數(shù) ?,使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù) n,都有 ??解:(1)由 ()1()1pqmna???得121.()()nna??將 24,5?代入化簡(jiǎn)得. ??. .. . ..學(xué)習(xí)參考所以 11,3nna????? . 故數(shù)列 {}n為等比數(shù)列,從而1,3na???即 1.n??可驗(yàn)證, 1n滿足題設(shè)條件.(2) 由題設(shè) ()mna?的值僅與 n?有關(guān),記為 ,mnb?則 11 .()()1nnaa???? . 考察函數(shù) (0)(1)xfxa??,則在定義域上有. ,(),12,01fxgaa??????????故對(duì) *nN?, ()nbga??恒成立. . 又 22(1)nn?,注意到 0ga??,解上式得 1()2()1()2()() ,12ngaga???????取 ()()ga??,即有 .n?. . 16.(2022 天津) (本小題滿分 12分)已知等差數(shù)列 }{n的公差 d不為 0,設(shè) 121???nnqaaS?*121 ,)(NqaqaTnn ???????(Ⅰ)若 5,31? ,求數(shù)列 }{n的通項(xiàng)公式;. .. . ..學(xué)習(xí)參考(Ⅱ)若 3211,Sda且?成等比數(shù)列,求 q的值。(Ⅲ)若 *222 ,1)()(, NndTqqnn ???????)證 明 (【答案】 (1) 34?an(2) (3)略【解析】 (1)解:由題設(shè), 15,)2()( 3111 ???? SaqdaqaS將代入解得 d,所以 ?n*N? (2)解:當(dāng) 3212321 ,3,da ?? 成等比數(shù)列,所以31S,即 )2qq??()( ,注意到 0?d,整理得 ??q(3)證明:由題設(shè),可得 1??nb,則223212?nn aa? ①12???qqT? ②①②得, )(212342 ???nnaaS?①+②得, )( 212312 ??nn qqT? ③③式兩邊同乘以 q,得 )(( 21232 ????nn qaaTS?所以 212322 ())1)( dqdqSnnn ????(3)證明: nlklklk bababac n)(((2121 121 ???= 11 )))( ???nqdqdldblk?因?yàn)?0,1?,所以 12112 )()()( ????nqlkqlkldbc?若 nlk?,取 i=n,若 ?,取 i滿足 ilk?,且 jjl?, nji??1由(1) (2)及題設(shè)知, n??1,且. .. . ..學(xué)習(xí)參考12112 )()()( ??????nqlkqlkldbc? . ① 當(dāng) ilk?時(shí), ?il,由 ?, 1,2,???iili ?即 1??q, ?),1()(2?qk 21)()(??iiii qk所以 11212 ???iiiidbc?因此 02??② 當(dāng) ilk?時(shí),同理可得 ,121??dbc因此 02?c . 綜上, 21c?【考點(diǎn)定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和等基本知識(shí),考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。17.(2022湖北)(本小題滿分 13分) (注意:在試題卷上作答無效)已知數(shù)列 ??na的前 n項(xiàng)和 1()2nnSa???(n 為正整數(shù)) 。(Ⅰ)令 2b?,求證數(shù)列 ??b是等差數(shù)列,并求數(shù)列 ??na的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)令 1nnc?, T與 521?的大小,并予以證明。:(I)在 ()Sa?中,令 n=1,可得 1nS??,即 12a?當(dāng) 2?時(shí), 21 1()n nn nnaa????, ,1a(),n????即. 1 1, 2n nbbb? ????即 當(dāng) 時(shí) , . . 又 12?數(shù)列 ??n是首項(xiàng)和公差均為 1的等差數(shù)列. 于是 (),2n na????.(II)由(I)得 1()nnc?,所以231123()4()nnT???K41()2??. .. .
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